AW*-algebra

W matematyce algebra AW* jest algebraicznym uogólnieniem algebry W* . Zostały one wprowadzone przez Irvinga Kaplansky'ego w 1951 roku. Jako algebry operatorów , algebry von Neumanna, spośród wszystkich C*-algebr , są zwykle obsługiwane za pomocą jednego z dwóch sposobów: są przestrzenią dualną pewnej przestrzeni Banacha i są określone do dużej stopniu przez ich projekcje. Ideą AW*-algebr jest rezygnacja z pierwszego warunku topologicznego i używanie tylko drugiego warunku algebraicznego.

Definicja

Przypomnijmy, że odwzorowanie C*-algebry jest samosprzężonym elementem idempotentnym . AC*-algebra A jest AW*-algebrą, jeśli dla każdego podzbioru S z A , lewy annihilator

${\ Displaystyle \ operatorname {Ann} _ {L} (S) = \ {a \ w A \ mid \ forall s \ w S,as=0\}\,}$

jest generowany jako lewy ideał przez pewną projekcję p z A , i podobnie prawy anihilator jest generowany jako prawy ideał przez pewną projekcję q :

${\ Displaystyle \ forall S \ subseteq A \ \ istnieje p,q\in \mathrm {Proj} (A)\colon \mathrm {Ann} _{L}(S)=Ap,\quad \mathrm {Ann} _{R}(S)=qA}$ .

Stąd algebra AW* jest algebrą C*, która jest jednocześnie *-pierścieniem Baera .

Oryginalna definicja Kaplansky'ego mówi, że algebra AW* jest algebrą C* taką, że (1) każdy zbiór rzutów ortogonalnych ma najmniejszą górną granicę oraz (2) każda maksymalna przemienna C*-podalgebra jest generowana przez jej projekcje. Pierwszy warunek mówi, że projekcje mają interesującą strukturę, a drugi warunek zapewnia, że ​​jest ich wystarczająco dużo, aby były interesujące. Zauważ, że drugi warunek jest równoważny z warunkiem, że każda maksymalna przemienna C*-subalgebra jest monotonicznie kompletna.

Teoria struktury

Wiele wyników dotyczących algebr von Neumanna przenosi się do algebr AW*. Na przykład algebry AW* można klasyfikować zgodnie z zachowaniem ich odwzorowań i rozkładać na typy . Dla innego przykładu, macierze normalne z wpisami w algebrze AW* zawsze mogą być diagonalizowane. AW*-algebry również zawsze mają rozkład biegunowy .

Istnieją jednak również sposoby, w jakie algebry AW* zachowują się inaczej niż algebry von Neumanna. Na przykład algebry AW* typu I mogą wykazywać właściwości patologiczne, mimo że już Kaplansky wykazał, że takie algebry z trywialnym środkiem są automatycznie algebrami von Neumanna.

Przypadek przemienny

Przemienna C*-algebra jest AW*-algebrą wtedy i tylko wtedy, gdy jej widmo jest przestrzenią Stone'a . Dzięki dwoistości Stone'a przemienne algebry AW* odpowiadają zatem kompletnym algebram Boole'a . Rzuty przemiennej algebry AW* tworzą kompletną algebrę Boole'a i odwrotnie, każda kompletna algebra Boole'a jest izomorficzna z rzutami jakiejś przemiennej algebry AW*.