Aksjomaty Diraca-von Neumanna

W fizyce matematycznej aksjomaty Diraca – von Neumanna dają matematyczne sformułowanie mechaniki kwantowej w postaci operatorów w przestrzeni Hilberta . Zostały one wprowadzone przez Paula Diraca w 1930 roku i Johna von Neumanna w 1932 roku.

Sformułowanie przestrzeni Hilberta

Przestrzeń jest ustaloną zespoloną $przestrzenią$ Hilberta o policzalnie wymiarze .

• Obserwabli systemu kwantowego definiuje $się$ jako $_$ prawdopodobnie nieograniczone ) samosprzężone .
• Stan układu $wielokrotności$ jest wektorem jednostkowym aż do $skalarnych$ lub równoważnie promień przestrzeni Hilberta ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$ .
• Wartość oczekiwana obserwowalnego A dla systemu w stanie $jest$ określona przez iloczyn wewnętrzny ${\ Displaystyle \ langle \ psi, A \ psi \ rangle$ .

Sformułowanie algebry operatorów

Aksjomaty Diraca – von Neumanna można sformułować w kategoriach C * -algebry w następujący sposób.

• Ograniczone obserwable układu mechaniki kwantowej są definiowane jako samosprzężone elementy C*-algebry.
• Stany układu mechaniki kwantowej są zdefiniowane jako stany C * -algebry (innymi słowy znormalizowane dodatnie funkcjonały $)$ .
• Wartość $stanu$ na elemencie $jest$ oczekiwaną wartością obserwowalnego $}$$A$ _ system jest w stanie ${\ displaystyle \ omega}$ .

Przykład

Jeśli C * -algebra jest algebrą wszystkich operatorów ograniczonych w przestrzeni Hilberta $mathbb$ to ograniczone obserwowalne są tylko ograniczonymi operatorami samosprzężonymi na ${H}} }$ . Jeśli jest wektorem jednostkowym $\$$Displaystyle \ mathbb {H}},$ to $}$${\ Displaystyle \ omega (A) = \ langle v, Av \$ jest stanem w C*-algebrze, co oznacza, że ​​wektory jednostkowe (aż do mnożenia przez skalar) określają stany systemu. Jest to podobne do sformułowania mechaniki kwantowej Diraca, chociaż Dirac dopuszczał również nieograniczone operatory i nie rozróżniał wyraźnie między operatorami samosprzężonymi i hermitowskimi.

Zobacz też

• Aksjomatyczna kwantowa teoria pola

• Dirac, Paul (1930), Zasady mechaniki kwantowej
•    Strocchi, F. (2008), „Wprowadzenie do matematycznej struktury mechaniki kwantowej. Krótki kurs dla matematyków”, Wprowadzenie do matematycznej struktury mechaniki kwantowej. Seria: Advanced Series in Mathematical Physics , Advanced Series in Mathematical Physics (2 wyd.), World Scientific Publishing Co., 28 , Bibcode : 2008ASMP...28.....S , doi : 10.1142/7038 , ISBN 9789812835222 , MR 2484367
•    Takhtajan, Leon A. (2008), Mechanika kwantowa dla matematyków , Studia podyplomowe z matematyki , tom. 95, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, doi : 10.1090/gsm/095 , ISBN 978-0-8218-4630-8 , MR 2433906
•   von Neumann, John (1932), Matematyczne podstawy mechaniki kwantowej , Berlin: Springer, MR 0066944