Algebra Liego Malceva

W matematyce algebra Liego Malceva lub algebra Liego Malcewa jest uogólnieniem wymiernej nilpotentnej algebry Liego , a grupy Malceva są podobne. Oba zostały wprowadzone przez Quillena (1969 , Dodatek A3), na podstawie pracy ( Mal'cev 1949 ).

Definicja

Według Papadimy i Suciu (2004) $filtracją$${\ Displaystyle \ {F_ {r} L \} _ {r \ geq 1}}$ wymierną algebrą Liego wraz z kompletną, malejącą przestrzeni wektorowej $displaystyle$ tak, że:

• ${\ Displaystyle F_ {1} L = L}$
• ${\ Displaystyle [F_ {r} L, F_ {s} L] \ podzbiór F_ {r + s} L}$
• powiązana stopniowana algebra Liego ${\ Displaystyle \ oplus _ {r \ geq 1} F_ {r} L / F_ ​​{r + 1} L}$ jest generowana przez elementy stopnia jeden.

Aplikacje

Związek z algebrami Hopfa

Quillen (1969 , Dodatek A3) wykazał, że algebry Liego Malceva i grupy Malceva są równoważne kompletnym algebrom Hopfa , tj. algebrom Hopfa H wyposażonym w filtrację , tak że H jest izomorficzny z ${\ Displaystyle \ \ varprojlim H/F_{n}H}$ . Funktory zaangażowane w te równoważności są następujące: grupa Malceva G jest odwzorowana na zakończenie (w odniesieniu do ideału augmentacji ) jej pierścień grupowy Q sol , z odwrotnością określoną przez grupę elementów grupowych algebry Hopfa H , zasadniczo te elementy 1 + x takie, że ${\ Displaystyle \ Delta (x) = x \ czasami x}$ . Od kompletnych algebr Hopfa do algebr Malceva Liego można dojść biorąc (dopełnienie) elementów pierwotnych , z funktorem odwrotnym określonym przez dopełnienie uniwersalnej algebry obwiedniowej .

Ta równoważność kategorii została wykorzystana przez Goodwilliego (1986) do udowodnienia, że ​​po tensorowaniu z Q względna teoria K K( A , I ) dla nilpotentnego ideału I jest izomorficzna ze względną homologią cykliczną HC( A , I ). Twierdzenie to było pionierskim wynikiem w dziedzinie metod śladowych.

Teoria Hodge'a

Algebry Malceva Liego pojawiają się również w teorii mieszanych struktur Hodge'a .

•    Goodwillie, Thomas G. (1986), „Względna algebraiczna teoria K i homologia cykliczna”, Annals of Mathematics , druga seria, 124 (2): 347–402, doi : 10,2307/1971283 , JSTOR 1971283 , MR 0855300
•    Mal'cev, AI (1949), „Nilpotentne grupy bez skrętu”, Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 13 : 201–212, ISSN 0373-2436 , MR 0028843
•    Papadima, Stefan; Suciu, Alexander I. (2004), „Algebry Chen Lie”, International Mathematics Research Notices , 2004 (21): 1057–1086, arXiv : math / 0307087 , doi : 10.1155/S1073792804132017 , ISSN 1073-7928 , MR 2037 049
•     Quillen, Daniel (1969), „Racjonalna teoria homotopii”, Annals of Mathematics , druga seria, 90 (2): 205–295, doi : 10.2307/1970725 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970725 , MR 0258031