Analiza wielorozdzielcza

Analiza wielorozdzielcza ( MRA ) lub aproksymacja wieloskalowa ( MSA ) jest metodą projektowania większości praktycznie istotnych dyskretnych transformat falkowych (DWT) i uzasadnieniem algorytmu szybkiej transformaty falkowej (FWT). Został wprowadzony w tym kontekście w latach 1988/89 przez Stephane'a Mallata i Yvesa Meyera i ma poprzedników w analizie mikrolokalnej w teorii równań różniczkowych (tzw. metoda prasowania ) oraz piramidowe metody przetwarzania obrazu wprowadzone w latach 1981/83 przez Petera J. Burta, Edwarda H. Adelsona i Jamesa L. Crowleya .

Definicja

Wielorozdzielcza analiza przestrzeni Lebesgue'a składa się z sekwencji zagnieżdżonych podprzestrzeni ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

{\ Displaystyle \ {0 \} \ kropki \ podzbiór V_ {1} \subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset V_{-n}\subset V_{-(n+1)}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb { R} )}

który spełnia pewne relacje samopodobieństwa w czasie-przestrzeni i skali-częstotliwości, a także relacje zupełności i regularności.

Samopodobieństwo w czasie wymaga, aby każda podprzestrzeń V _k była niezmienna przy przesunięciach o całkowite wielokrotności 2 ^k . $zdefiniowanej$ to dla funkcji jako ${\ Displaystyle g (x) = f (x-m2 ^ {k})}$ również zawarte w ${\ Displaystyle V_ {k}}$ .
Samopodobieństwo w skali $wymaga$ wszystkie były skalowanie odpowiednio współczynnika dylatacji 2 ^k-l . $Displaystyle g \ in V_ {l$ dla każdego istnieje $}$ z ${\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}: \; g (x) = f (2 ^ {kl} x)}$ .
W ciągu podprzestrzeni dla k > l rozdzielczość przestrzenna 2 ^l l - tej podprzestrzeni jest większa niż rozdzielczość 2 ^k k - tej podprzestrzeni.
Regularność wymaga, aby podprzestrzeń modelu V ₀ była generowana jako liniowy kadłub ( algebraicznie lub nawet topologicznie zamknięty ) całkowitych przesunięć jednej lub skończonej liczby funkcji generujących lub ${\ displaystyle \ phi}$ lub ${\ styl wyświetlania \fi _{1},\kropki,\fi _{r}}$ . Te całkowite przesunięcia powinny przynajmniej tworzyć ramkę dla podprzestrzeni ${\ Displaystyle V_ {0} \ podzbiór L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ , co nakłada pewne warunki na rozpad w nieskończoności . Funkcje generujące są również znane jako funkcje skalujące lub falki ojcowskie . W większości przypadków wymaga się, aby te funkcje były fragmentarycznie ciągłe ze zwartym nośnikiem .
Kompletność $.$ powinno być w , i aby nie były zbyt zbędne, tj , ich przecięcie powinno zawierać tylko element zerowy .

Ważne wnioski

W przypadku jednej ciągłej (lub przynajmniej z ograniczoną wariacją) zwięźle obsługiwanej funkcji skalującej z przesunięciami ortogonalnymi, można dokonać kilku dedukcji. Dowód istnienia tej klasy funkcji pochodzi od Ingrid Daubechies .

$,$ ${\ Displaystyle a_ {k} = 2 \ langle \ phi (x), \ phi (2x-k) \ rangle}$ że funkcja skalująca ma zwarte wsparcie, to że istnieje skończona dla ${\ Displaystyle | k | \ równoważnik N}$ i ${\ displaystyle a_ {k} = 0}$ dla ${\ Displaystyle | k|> N}$ takie, że

{\ Displaystyle \ phi (x) = \ suma _ {k = -N} ^ {N} a_ {k} \ phi (2x-k).}

Definiowanie innej funkcji, zwanej falką macierzystą lub po prostu falką

{\ Displaystyle \ psi (x): = \ suma _ {k = -N} ^ { N}(-1)^{k}a_{1-k}\phi (2x-k),}

$,$ że przestrzeń przesunięć falki macierzystej, jest ${\ Displaystyle V_ {0}}$ wewnątrz ${\ Displaystyle V_ {-1}}$ . Lub inaczej mówiąc, jest ortogonalną sumą (oznaczoną przez $}$ W $\ oplus}$ ${\ Displaystyle W_ {0}}$ i ${\ Displaystyle V_ {0}}$ . Dzięki samopodobieństwu istnieją skalowane wersje ${0}}$ $displaystyle$ W_ i dzięki kompletności

{\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R}) = {\ mbox {zamknięcie}} \ bigoplus _ {k \ w \ mathbb {Z } }W_{k},}

więc zestaw

{\ Displaystyle \ {\ psi _ {k, n} (x) = {\ sqrt {2 }}^{-k}\psi (2^{-k}xn):\;k,n\in \mathbb {Z} \}}

gdzie jest policzalną kompletną ortonormalną bazą falkową w ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ .

Zobacz też

Chui, Charles K. (1992). Wprowadzenie do falek . San Diego: prasa akademicka. ISBN 0-585-47090-1 .
Akansu, AN ; Haddad, RA (1992). Dekompozycja sygnału wielorozdzielczego: transformaty, podpasma i falki . Prasa akademicka. ISBN 978-0-12-047141-6 .
Crowley, JL, (1982). Reprezentacje informacji wizualnej , praca doktorska, Carnegie-Mellon University, 1982.
Burrus, CS ; Gopinath, RA; Guo, H. (1997). Wprowadzenie do falek i transformacji falkowych: elementarz . Prentice Hall. ISBN 0-13-489600-9 .
Mallat, SG (1999). Wavelet Tour of Signal Processing . Prasa akademicka. ISBN 0-12-466606-X .