Przypuszczenie Arnolda-Giventala

Hipoteza Arnolda-Giventala , nazwana na cześć Vladimira Arnolda i Alexandra Giventala , jest stwierdzeniem dotyczącym podrozmaitości Lagrange'a . Daje dolną granicę pod względem liczb Bettiego podrozmaitości Lagrange'a L liczby punktów przecięcia L z inną podrozmaitością Lagrange'a, która jest otrzymywana z L za pomocą izotopii hamiltonowskiej i która przecina L poprzecznie.

Oświadczenie

Niech ${\ Displaystyle (M, \ omega)}$ będzie zwartą ${\ Displaystyle 2n}$ -wymiarową rozmaitością symplektyczną . Antysymplektyczna inwolucja to dyfeomorfizm ${\ Displaystyle \ tau: M \ do M}$ taki, że ${\ Displaystyle \ tau ^ {*} \ omega = - \ omega}$ . $displaystyle$ punktów stałych $\ tau}$ koniecznie podrozmaitością Lagrange'a .

Niech ${\ Displaystyle H_ {t} \ in C ^ {\ infty} (M), 0 \ równoważnik t \ równoważnik 1} będzie gładką$ rodziną hamiltonowskich funkcji na ${\ displaystyle M}$ , która generuje 1-parametrową rodzinę hamiltonowskich dyfeomorfizmów ${\ Displaystyle \ varphi _ {t}: M \ do M}$ . Hipoteza Arnolda-Giventala mówi, że załóżmy, że przecina $poprzecznie$ \ $}$

${\ Displaystyle \ # (\ varphi _ {1} (L) \ cap L) \ geq \ suma _ {i = 0} ^ {n} {\ rm {dim}} H_ {*} (L; {\ mathbb {Z}}_{2}).}$

Status

Hipoteza Arnolda-Giventala została udowodniona w pewnych szczególnych przypadkach.

Givental udowodnił to w przypadku, gdy ${\ Displaystyle (M, L) = (\ mathbb {CP} ^ {n}, \ mathbb {RP} ^ {n })}$ (patrz ).

Yong-Geun Oh udowodnił to dla rzeczywistych form zwartych przestrzeni hermitowskich przy odpowiednich założeniach dotyczących indeksów Masłowa (patrz ).

Lazzarini udowodnił to dla ujemnego przypadku monotonicznego przy odpowiednich założeniach dotyczących minimalnej liczby Masłowa.

Kenji Fukaya , Yong-Geun Oh, Ohta i $patrz$ w przypadku, gdy pół-dodatni (

Frauenfelder udowodnił to dla sytuacji, gdy $jest$ pewną symplektyczną redukcją, używając teorii mierzonego

Zobacz też

• Przypuszczenie Arnolda

•   Frauenfelder, Urs (2004), „The Arnold-Givental conjecture and moment Floer homology”, International Mathematics Research Notices , 2004 (42): 2179–2269, arXiv : math / 0309373 , doi : 10.1155 / S1073792804133941 , MR 2076142 .
•   Oh, Yong-Geun (1992), „Floer cohomology and Arnol'd-Givental's conjecture of [on] Lagrangian skrzyżowaniach”, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 315 (3): 309–314, MR 1179726 .