Arytmetyka księżycowa

Arytmetyka księżycowa , dawniej nazywana arytmetyką ponurą , to wersja arytmetyki , w której operacje dodawania i mnożenia na cyfrach są zdefiniowane jako operacje maksymalne i minimalne . Tak więc w arytmetyce księżycowej

${\ Displaystyle 2 + 7 = \ maks \ {2,7 \} = 7}$ i ${\ Displaystyle 2 \ razy 7=\min\{2,7\}=2.}$

Księżycowe operacje arytmetyczne na nieujemnych liczbach wielocyfrowych są wykonywane jak w zwykłej arytmetyce, jak pokazano w poniższych przykładach. Świat arytmetyki księżycowej jest ograniczony do zbioru nieujemnych liczb całkowitych .

976 + 348 ---- 978 (dodawanie cyfr po kolumnach) 976 × 348 ---- 876 (mnożenie cyfr 976 przez 8) 444 (mnożenie cyfr 976 przez 4) 333 (mnożenie cyfr 976 przez 3) ------ 34876 (dodawanie cyfr po kolumnach)

Koncepcję arytmetyki księżycowej zaproponowali David Applegate, Marc LeBrun i Neil Sloane .

W ogólnej definicji arytmetyki księżycowej bierze się pod uwagę liczby wyrażone w dowolnej $podstawie$ definiuje księżycowe operacje arytmetyczne jako operacje maksymalne i minimalne na cyfrach odpowiadających wybranej podstawie. Jednak dla uproszczenia w poniższym omówieniu założymy, że liczby są reprezentowane przy użyciu 10 jako podstawy .

Właściwości operacji księżycowych

Poniżej wymieniono kilka elementarnych właściwości operacji księżycowych.

1. Księżycowe operacje dodawania i mnożenia spełniają prawa przemienności i asocjacji .
2. Mnożenie księżycowe rozkłada się na dodatek księżycowy.
3. Cyfra 0 to tożsamość w ramach dodatku księżycowego. Żadna liczba różna od zera nie ma odwrotności przy dodawaniu księżycowym.
4. Cyfra 9 to tożsamość w mnożeniu księżycowym. Żadna liczba inna niż 9 nie ma odwrotności przy mnożeniu księżycowym.

Niektóre standardowe sekwencje

Liczby parzyste

Można zauważyć, że w arytmetyce księżycowej ${\ Displaystyle n + n \ neq 2 \ razy n}$ i $}$ n Liczby parzyste to liczby postaci ${\ displaystyle 2 \ razy n}$ . Kilka pierwszych odrębnych liczb parzystych w arytmetyce księżycowej wymieniono poniżej:

${\ Displaystyle 0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,120 ,121,122 ,\ldkropki}$

Są to liczby, których wszystkie cyfry są mniejsze lub równe 2.

Kwadraty

Liczba kwadratowa to liczba postaci ${\ displaystyle n \ razy n}$ . Tak więc w arytmetyce księżycowej kilka pierwszych kwadratów wygląda następująco.

${\ Displaystyle$

Liczby trójkątne

Liczba trójkątna to liczba postaci ${\ Displaystyle 1 + 2 + \ cdots + n}$ . Kilka pierwszych trójkątnych liczb księżycowych to:

${\ Displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,19,19,19,19,19,19,19,19,19,19,29,29,29,29 ,29,\ldkropki }$

Silnie

W arytmetyce księżycowej kilka pierwszych wartości silni ${\ Displaystyle n! = 1 \ razy 2 \ razy \ cdots \ razy n}$ są następujące:

${\ Displaystyle 1,1,1,1,1,1,1,1, 1,10,110,1110,11110,111110,1111110,\ldkropki }$

liczby pierwsze

W zwykłej arytmetyce liczba pierwsza jest definiowana jako liczba , $.$ jedynym możliwym rozkładem na czynniki jest ${\ displaystyle 1 \ razy p$ } Analogicznie, w arytmetyce księżycowej liczba pierwsza jest definiowana jako liczba, $displaystyle$ jedynym rozkładem na czynniki jest $9 \ razy n}$ , gdzie 9 jest tożsamością multiplikatywną, która odpowiada 1 w zwykłej arytmetyce. W związku z tym poniżej przedstawiono kilka pierwszych liczb pierwszych w arytmetyce księżycowej:

${\ DisplayStyle 19 29,39 ,49,59,69,79,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,109,209,219,}$

$, \ kropki }$

$Każda$$w$ postaci , jest , . Ponieważ $dowolne,$ pokazuje to, że w arytmetyce księżycowej istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych.

Sumy i mnożenie księżycowe

Istnieje interesująca zależność między operacją tworzenia sum podzbiorów liczb całkowitych nieujemnych a mnożeniem księżycowym na liczbach binarnych . Niech i $całkowitych$ niepustymi $.$$nieujemnych$ liczb Sumset jest zdefiniowany przez . ${\ displaystyle A + B}$

${\ Displaystyle A + B = \ {a + b: a \ w A, \, b \ w B \}.}$

$Do$ zbioru $binarną$ unikalną liczbę w Niech ${\ Displaystyle m = \ max (A)}$ . ja $= 0,1, \ ldots, m}$ definiujemy

${\ Displaystyle b_ {i} = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i {\ tekst {jeśli}} ja \ w A \\ 0 i {\ tekst {jeśli}} ja \notin A\end{przypadki}}}$

a następnie określamy

${\ Displaystyle \ beta (A) = b_ {m} b_ {m-1} \ ldots b_ {0}.}$

Zostało to udowodnione

${\ Displaystyle \ beta (A + B) = \ beta (A) \ razy \ beta (B)}$ gdzie " ${\ Displaystyle \ razy}$ „ po prawej stronie oznacza księżycowe mnożenie liczb binarnych.

Magiczne kwadraty kwadratów za pomocą arytmetyki księżycowej

Magiczny kwadrat kwadratów to magiczny kwadrat utworzony z kwadratów liczb. Nie wiadomo, czy istnieją magiczne kwadraty rzędu 3 ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb całkowitych. Jednak zaobserwowano, że jeśli weźmiemy pod uwagę księżycowe operacje arytmetyczne, istnieje nieskończona ilość magicznych kwadratów kwadratów rzędu 3. Oto przykład:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} 44 ^ {2} i 38 ^ {2} i 45 ^ {2} \\ 46 ^ {2} i 0 ^ {2}&28^{2}\\18^{2}&47^{2}&8^{2}\end{macierz}}}$

Zobacz też

• Arytmetyka tropikalna

Linki zewnętrzne

• na YouTubie