BPST natychmiast

Współczynnik dx ¹ ⊗σ ₃ BPST instanton na (x ¹ ,x ² ) -wycinku R ⁴ , gdzie σ ₃ jest trzecią macierzą Pauliego (lewy górny róg). Współczynnik dx ² ⊗σ ₃ (prawy górny róg). Te współczynniki A ₁ ³ i A ₂ ³ określają ograniczenie BPST chwili A z g=2, ρ=1, z=0 do tego wycinka. Odpowiednie natężenie pola wyśrodkowane wokół z=0 (lewy dolny róg). ^Wizualna reprezentacja natężenia pola instantonu BPST ze środkiem z na zwartości S4 ^R4 (prawy dolny róg).

W fizyce teoretycznej momenton BPST jest momentem z uzwojeniem numer 1 znalezionym przez Alexandra Belavina , Alexandra Polyakova , Alberta Schwarza i Yu. S. Tiupkin. Jest to klasyczne rozwiązanie równań ruchu teorii SU(2) Yanga-Millsa w czasoprzestrzeni euklidesowej (tj. po obrocie Wicka ), czyli opisuje przejście pomiędzy dwiema różnymi topologicznymi próżniami teorii. Pierwotnie oczekiwano, że otworzy to drogę do rozwiązania problemu uwięzienia , zwłaszcza odkąd Polyakov udowodnił w 1987 r., że instantony są przyczyną uwięzienia w trójwymiarowej zwartej QED. Nadzieja ta nie spełniła się jednak.

Opis

Natychmiastowy

BPST instanton ma nietrywialny numer uzwojenia , który można zwizualizować jako nietrywialne odwzorowanie okręgu na sobie.

BPST instanton jest zasadniczo nieperturbacyjnym klasycznym rozwiązaniem równań pola Yanga-Millsa. Można go znaleźć, minimalizując gęstość Lagrange'a Yanga – Millsa SU (2) :

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ Frac {1} {4}} F _ {\ mu \ nu} ^ {a} F_ {\ mu \nu }^{a}}$

gdzie F _μν ^a = ∂ _{μ ZA ν} a ^– ∂ _ν A _μ ^a + g ε ^abc A _μ ^b A _ν ^c natężenie pola . Instanton jest rozwiązaniem o skończonym działaniu, więc F _μν musi dążyć do zera w nieskończoności czasoprzestrzennej, co oznacza, że ​​A _μ przechodzi w czystą konfigurację cechowania. Nieskończoność czasoprzestrzenna naszego czterowymiarowego świata to S ³ . Grupa cechowania SU(2) ma dokładnie taką samą strukturę, więc rozwiązania z A _μ w nieskończoności są odwzorowaniami z S ³ na siebie. Te odwzorowania mogą być oznaczone liczbą całkowitą q , indeksem Pontriagina (lub numerem uzwojenia ). Momentony mają q = 1, a zatem odpowiadają (w nieskończoności) przekształceniom cechowania, których nie można w sposób ciągły odkształcać do jedności. Rozwiązanie BPST jest więc stabilne topologicznie.

Można wykazać, że samodualne konfiguracje spełniające zależność F _μν ^a = ± ½ ε ^μναβ F _αβ ^a minimalizują działanie. Rozwiązania ze znakiem plus nazywamy instantonami, te ze znakiem minus anty-instantonami.

Można pokazać, że momenty i anty-błyski minimalizują działanie lokalnie w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ tylda {F}} _ {\ mu \ nu} {\ tylda {F}} ^ {\ mu \ nu} = F_ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}$ , gdzie ${\ Displaystyle {\ tylda {F}} _ {\ mu \ nu} = {\ frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu }^{\rho \sigma }F_{\rho \sigma }}$ .

${\ Displaystyle S = \ int dx ^ {4} {\ frac { 1}{4}}F^{2}=\int dx^{4}{\frac {1}{8}}(F\pm {\tylda {F}})^{2}\mp \int dx ^{4}{\frac {1}{4}}F{\tylda {F}}}$

Pierwszy człon jest minimalizowany przez konfiguracje samodualne lub anty-samodualne, podczas gdy ostatni człon jest całkowitą pochodną i dlatego zależy tylko od granicy (tj.) rozwiązania x $\ displaystyle x \ rightarrow \ infty}$ ; jest zatem niezmiennikiem topologicznym i można wykazać, że jest liczbą całkowitą pomnożoną przez pewną stałą (stała tutaj wynosi ${\ Displaystyle {\ Frac {8 \ pi ^ {2}}} {g ^ {2}} }}$ ). Liczba całkowita nazywana jest liczbą instanton (patrz grupa Homotopia ).

Jawnie rozwiązanie instanton jest podane przez

${\ Displaystyle A_ {\ mu} ^ {a} (x) = {\ Frac {2} {g}}{\frac {\eta _{\mu \nu }^{a}(xz)_{\nu }}{(xz)^{2}+\rho ^{2}}}}$

gdzie z _μ jest środkiem, a ρ skalą chwili. η ^a _μν jest symbolem 't Hoofta :

${\ Displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} ^ {a} = {\ rozpocząć {przypadki} \ epsilon ^ {a \ mu \ nu} i \ mu, \ nu = 1,2,3 \\-\ delta ^{a\nu }&\mu =4\\\delta ^{a\mu }&\nu =4\\0&\mu =\nu =4\end{przypadki}}.}$

Dla dużych x ² ρ ​​staje się pomijalne, a pole cechowania zbliża się do pola czystej transformacji cechowania: ${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {0} + i \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\sigma} }{\sqrt {x^{2}}}}}$ . Rzeczywiście, siła pola wynosi:

$_ {ijk} F^{a}}_{jk}={F^{a}}_{0i}={\frac {4{\rho}^{2}\delta _{ai}}{g(x^{2) }+\rho ^{2})^{2}}}}$

i zbliża się do zera tak szybko, jak r ^-4 w nieskończoności.

Anty-instanton jest opisany podobnym wyrażeniem, ale z symbolem „t Hooft” zastąpionym symbolem anty-'t Hooft. ${\ Displaystyle {\ bar {\ eta}} _ {\ mu \ nu} ^{a}}$ , co jest równe zwykłemu symbolowi 't Hoofta, z tą różnicą, że składowe z jednym z indeksów Lorentza równym cztery mają przeciwny znak.

Rozwiązanie BPST ma wiele symetrii. Tłumaczenia i dylatacje przekształcają rozwiązanie w inne rozwiązania. Odwrócenie współrzędnych ( x ^μ → x ^μ / x ² ) przekształca momenton o rozmiarze ρ w anty-instanton o rozmiarze 1/ρ i odwrotnie. Obroty w czteroprzestrzeni euklidesowej i specjalne transformacje konforemne pozostawiają rozwiązanie niezmienne (aż do transformacji cechowania).

Klasyczne działanie instantonu jest równe

${\ Displaystyle S = {\ Frac {8 \ pi ^ {2}} {g ^ {2}}}.}$

Ponieważ ta wielkość występuje wykładniczo w formalizmie całkowym po ścieżce , jest to zasadniczo efekt nieperturbacyjny, ponieważ funkcja e ^{−1/ x^2} ma znikający szereg Taylora na początku, mimo że gdzie indziej jest różna od zera.

Inne mierniki

Podane powyżej wyrażenie na instanton BPST jest wyrażone w tak zwanej regularnej skrajni Landaua . Istnieje inna forma, która jest równoważna z wyrażeniem podanym powyżej, w liczbie pojedynczej skrajni Landaua . W obu tych miernikach wyrażenie spełnia ∂ _μ A ^μ = 0. W mierniku osobliwym instanton to

${\ Displaystyle A _ {\ mu} ^ {a} (x) = {\ Frac {2} {g}}} {\ Frac {\ rho ^ {2}} {(xz) ^ {2}}} {\ frac {{\bar {\eta}}_{\mu \nu }^{a}(xz)_{\nu }}{(xz)^{2}+\rho ^{2}}}.}$

W skrajni pojedynczej wyrażenie ma osobliwość w środku chwili, ale szybciej dąży do zera dla x do nieskończoności.

Podczas pracy w innych miernikach niż miernik Landau, w literaturze można znaleźć podobne wyrażenia.

Uogólnienie i osadzanie w innych teoriach

W skończonej temperaturze moment BPST uogólnia się do tak zwanego kaloronu .

Powyższe dotyczy teorii Yanga-Millsa z SU (2) jako grupą cechowania. Można to łatwo uogólnić na dowolną grupę nieabelową. Momentony są wtedy podane przez momenton BPST dla niektórych kierunków w przestrzeni grupowej i przez zero w innych kierunkach.

Zwracając się do teorii Yanga-Millsa ze spontanicznym łamaniem symetrii w wyniku mechanizmu Higgsa , można stwierdzić, że momenty BPST nie są już dokładnymi rozwiązaniami równań pola. W celu znalezienia rozwiązań przybliżonych można zastosować formalizm natychmiastonów z ograniczeniami.

Gaz i ciecz Instanton

w QCD

Oczekuje się, że podobne do BPST instantony odgrywają ważną rolę w strukturze próżni QCD . Instantony rzeczywiście można znaleźć w kratowych . Pierwsze obliczenia wykonane przy użyciu instantonów wykorzystywały przybliżenie gazu rozcieńczonego. Uzyskane wyniki nie rozwiązały problemu podczerwieni QCD, co spowodowało, że wielu fizyków odwróciło się od fizyki chwilowej. Później jednak zaproponowano model cieczy instanton , który okazał się bardziej obiecującym podejściem.

rozcieńczonego gazu instantonowego odbiega od założenia, że ​​próżnia QCD składa się z gazu instantonów BPST. Chociaż dokładnie znane są tylko rozwiązania z jednym lub kilkoma instantonami (lub anty-instantonami), rozcieńczony gaz instantonów i anty-instantonów można przybliżyć, rozważając superpozycję rozwiązań jedno- chwilowych w dużych odległościach od siebie. 't Hooft obliczył efektywne działanie takiego zespołu i znalazł rozbieżność w podczerwieni dla dużych momentów, co oznacza, że ​​nieskończona ilość nieskończenie dużych momentów zapełniłaby próżnię.

Później zbadano płynny model instantonu . Model ten wychodzi z założenia, że ​​zbiór momentów nie może być opisany zwykłą sumą oddzielnych momentów. Zaproponowano różne modele, wprowadzające interakcje między momentami lub wykorzystujące metody wariacyjne (takie jak „przybliżenie doliny”), mające na celu jak najdokładniejsze przybliżenie dokładnego rozwiązania wielu momentów. Osiągnięto wiele fenomenologicznych sukcesów. Uwięzienie wydaje się być największym problemem w teorii Yanga-Millsa, na który momenty nie mają żadnej odpowiedzi.

W teorii elektrosłabej

Oddziaływanie słabe jest opisane przez SU(2), więc można oczekiwać, że momentony również będą odgrywać tu rolę. Jeśli tak, wywołałyby liczby barionowej . Ze względu na mechanizm Higgsa instantony nie są już dokładnymi rozwiązaniami, ale zamiast tego można zastosować przybliżenia. Jednym z wniosków jest to, że obecność masy bozonu cechowania tłumi duże momenty, tak że przybliżenie gazu instantonu jest spójne.

Ze względu na nieperturbacyjny charakter momentów wszystkie ich efekty są tłumione przez współczynnik e ^{−16π²/ g² , który w teorii elektrosłabej jest} rzędu 10 ⁻¹⁷⁹ .

Inne rozwiązania równań pola

Instanton i anty-instantony nie są jedynymi rozwiązaniami równań pola Yanga-Millsa z obrotem knota. Znaleziono rozwiązania wielostantonowe dla q równego dwa i trzy, a także istnieją rozwiązania częściowe dla wyższego q . Ogólne rozwiązania wielostantonowe można aproksymować tylko za pomocą przybliżenia doliny — zaczyna się od pewnego ansatz (zwykle sumy wymaganej liczby instantonów) i minimalizuje się numerycznie działanie przy zadanym ograniczeniu (zachowując liczbę momentonów i rozmiary stałej instantonów).

Istnieją również rozwiązania, które nie są samodualne. Nie są to lokalne minima akcji, ale odpowiadają punktom siodłowym.

Instantony są również blisko spokrewnione z meronami , pojedynczymi niedwoistymi rozwiązaniami euklidesowych równań pola Yanga-Millsa o ładunku topologicznym 1/2. Uważa się, że instantony składają się z dwóch meronów.

Zobacz też

• Instanton
• Meron
• Monopol Wu-Yang