Próżnia theta

W kwantowej teorii pola próżnia theta jest półklasycznym stanem próżni nieabelowych teorii Yanga-Millsa, określonym przez kąt próżni θ , który powstaje, gdy stan jest zapisywany jako superpozycja nieskończonego zbioru topologicznie odrębnych stanów próżni. Dynamiczne efekty próżni są ujęte w formalizmie Lagrange'a poprzez obecność członu θ , który w chromodynamice kwantowej prowadzi do dostrajania znany jako problem silnego CP . Został odkryty w 1976 roku przez Curtisa Callana , Rogera Dashena i Davida Grossa oraz niezależnie przez Romana Jackiwa i Claudio Rebbi.

Próżnia Yanga-Millsa

Próżnia topologiczna

Półklasyczna struktura $próżni$ nieabelowych teorii Yanga-Millsa jest często badana w czasoprzestrzeni euklidesowej w pewnym stałym cechowaniu , jak czasowy . Klasyczne stany podstawowe tej teorii mają znikający tensor natężenia pola , który odpowiada czystym konfiguracjom cechowania. $= i \ Omega \ nabla _ {i} \ Omega ^ {- 1}}$ , gdzie w każdym punkcie czasoprzestrzeni jest jakaś transformacja cechowania należąca do nieabelowej grupy $\ Displaystyle \$ $Omega (x) }$ { Aby upewnić się $,$ $zbliża$ jest skończona ${\ Displaystyle | {\ boldsymbol {x}} | \ rightarrow \ infty}$ pewnej ustalonej jako . Ponieważ wszystkie punkty w $\ Displaystyle S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}}$ przestrzennej zachowują się teraz jak pojedynczy nowy punkt, rozmaitość przestrzenna zachowuje $się$ jak 3-kula tak, że każdy czysty wybór cechowania dla pola cechowania jest opisany przez odwzorowanie ${\ styl wyświetlania \Omega (x):S^{3}\rightarrow G}$ .

Kiedy każdą konfigurację stanu podstawowego można płynnie przekształcić w każdą inną konfigurację stanu podstawowego poprzez płynną transformację cechowania, wówczas teoria ma pojedynczy stan próżni, ale jeśli istnieją topologicznie różne konfiguracje, to ma wiele próżni. Dzieje się tak, ponieważ jeśli istnieją dwie różne konfiguracje, które nie są płynnie połączone, to aby przekształcić jedną w drugą, trzeba przejść przez konfigurację z niezerowym tensorem natężenia pola, który będzie miał niezerową energię. Oznacza to, że istnieje bariera energetyczna między dwiema próżniami, co czyni je odrębnymi.

Kwestia, czy dwie konfiguracje cechowania można płynnie zdeformować względem siebie, jest formalnie opisana przez grupę homotopii odwzorowania ${\ Displaystyle \ Omega (x): S ^ {3} \ rightarrow G }$ . Na przykład grupa mierników ma podstawową rozmaitość ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ , więc mapowanie to ${\ Displaystyle G = {\ tekst {SU}} (2)}$ ${\ Displaystyle \ Omega (x): S ^ {3} \ rightarrow S ^ {3}}$ , który ma grupę homotopii ${\ Displaystyle \pi _ {3}({\text{SU}}(2))=\mathbb {Z} }$ . Oznacza to, że z każdym odwzorowaniem związana jest pewna liczba całkowita zwana liczbą uzwojenia , znaną również jako indeks Pontryagina , która z grubsza opisuje, ile razy przestrzenny ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $mapowany$ grupę , z ujemnymi uzwojeniami występującymi z powodu odwróconej orientacji . Tylko odwzorowania o tym samym numerze uzwojenia mogą być płynnie zdeformowane względem siebie i mówi się, że należą do tej samej klasy homotopii. Transformacje skrajni, które zachowują numer uzwojenia, nazywane są transformacjami małego rozstawu, natomiast te, które zmieniają numer uzwojenia, nazywane są transformacjami dużego rozstawu .

W przypadku innych nieabelowych grup mierników $,$ skupić się na jednej z ${\ Displaystyle \ pi _ {3} (G) = \ mathbb {Z}}$ $podgrup$ upewniając . Dzieje się tak ponieważ każde odwzorowanie na $S ^ {3}}$ może być w sposób ciągły przekształcane w odwzorowanie na $\ displaystyle$ ${\ Displaystyle {\ tekst {SU}} (2)}$ podgrupa ${\ displaystyle G}$ , wynik wynikający z twierdzenia Bottsa . Kontrastuje to z abelowymi grupami cechowania, w których każde $zdeformować$ jest pojedynczy połączony stan próżni. Dla konfiguracji pola miernika ${\ Displaystyle A ^ {i}}$ , zawsze można obliczyć jego liczbę uzwojeń z całki objętościowej, którą w mierniku czasowym dana jest przez

Displaystyle n = {\ Frac {ig ^ {3}} {24 \ pi ^ {2}} }\int d^{3}r\ {\text{Tr}}(\epsilon _{ijk}A^{i}A^{j}A^{k}),}

gdzie jest stałą sprzężenia. sol $\ displaystyle g}$ Różne klasy stanów próżni z różnymi numerami uzwojeń ${\ Displaystyle | n \ rangle}$ są określane jako próżnia topologiczna .

Próżnia

Próżnia topologiczna nie jest kandydującymi stanami próżni teorii Yanga-Millsa, ponieważ nie są stanami własnymi transformacji o dużych cechach, a zatem nie są niezmiennikami cechowania. Zamiast tego działając na stan ${\ Displaystyle | n \ rangle}$ z dużą transformacją skrajni ${\ Displaystyle \ Omega _ {m}}$ $z$ numerem uzwojenia ją na inną próżnię topologiczną ${\ Displaystyle \ Omega _ {m} | n \ rangle = | n + m \ rangle}$ . Prawdziwa próżnia musi być stanem własnym zarówno małych, jak i dużych przekształceń cechowania. Podobnie jak stany własne przyjmują okresowe potencjały zgodnie z twierdzeniem Blocha , stan próżni jest spójną sumą próżni topologicznej

{\ Displaystyle | \ teta \ rangle = \ suma _ {n} e ^ {w \ teta} | n \ rangle.}

jako Ten zestaw stanów $jest$ znany Są to stany własne obu typów przekształceń cechowania od teraz ${\ Displaystyle \ Omega _ {m} | \ teta \ rangle = e ^ {-i \ teta m} | \ teta \ rangle}$ . W czystym Yang-Mills każda wartość ${\ displaystyle \ theta}$ da inny stan podstawowy, na którym budowane są stany wzbudzone, co prowadzi do innej fizyki. Innymi słowy, przestrzeń Hilberta rozkłada się na sektory superselekcji , ponieważ wartości oczekiwane operatorów niezmienników cechowania między dwoma różnymi θ -vacua znikają ${\ Displaystyle \ langle \ teta | {\ mathcal {O}} | \ teta '\ rangle = 0}$ jeśli ${\ Displaystyle \ teta \ neq \ teta '}$ .

Teorie Yanga-Millsa przedstawiają rozwiązania równań ruchu o skończonych działaniach , zwane momentami . Są odpowiedzialni za tunelowanie między różnymi próżniami topologicznymi z momentem z numerem uzwojenia $za$ tunelowanie z próżni topologicznej ${\ Displaystyle | n_ {-} \ rangle}$ do ${\ Displaystyle | n_ {+} \ rangle = | n_ {-} + \ nu \ rangle}$ . $_$ z są jako momenty Bez tunelowania różne θ -próżnia byłyby zdegenerowane , jednak momenty znoszą degenerację, powodując, że różne różne θ -próżnia fizycznie różnią się od siebie. Energia stanu podstawowego różnych próżni jest rozdzielana i przyjmuje postać ${\ Displaystyle E (\ theta) \ propto \ cos \ theta}$ , gdzie stała proporcjonalności będzie zależeć od tego, jak silne jest tunelowanie instanton.

Skomplikowaną strukturę próżni θ można bezpośrednio włączyć do Lagrange'a Yanga-Millsa, rozważając przejścia próżnia-próżnia w formalizmie całkowym po ścieżce

{\ Displaystyle \ lim _ {T \ strzałka w prawo \ infty} \ langle \ teta | e ^ {-iHT} | \ teta \ rangle = \ int {\ mathcal {D}} Ae ^ {iS + i \ int d ^ { 4}x{\mathcal {L}}_{\theta}}.}

Tutaj jest hamiltonianem, działaniem Yanga-Millsa, a ${$ nowym wkładem naruszającym CP $L$ $\ displaystyle H}}$ Lagrange'a zwany θ -termem

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ teta} = \ teta {\ Frac {g ^ {2}} {32 \pi ^{2}}}{\text{Tr}}[F^{\mu \nu }{\tylda {F}}_{\mu \nu }],}

gdzie ${\ Displaystyle {\ tylda {F}} ^ {\ mu \ nu} = {\ tfrac {1} {2}} \ epsilon ^ {\ mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }}$ jest tensorem podwójnego natężenia pola, a ślad jest nad generatorami grupy . Termin ten jest całkowitą pochodną, co oznacza, że można go zapisać w postaci ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ theta} = \ częściowe _ {\ mu} K ^ {\ mu }}$ . W $pochodnych,$ można dodać do Lagrange'a, ta ma fizyczne konsekwencje w fizyce nieperturbacyjnej, ponieważ nie jest niezmiennikiem cechowania. W chromodynamice kwantowej $dostrojenia$ tego członu prowadzi do problemu silnego CP, ponieważ powoduje powstanie elektrycznego momentu dipolowego neutronów , którego jeszcze nie zaobserwowano, co wymaga bardzo małego .

Modyfikacja spowodowana fermionami

Jeśli w teorii obecne są bezmasowe fermiony , to kąt próżni staje się nieobserwowalny, ponieważ fermiony tłumią natychmiastowe tunelowanie między próżnią topologiczną. Można to zobaczyć, rozważając teorię Yanga-Millsa z pojedynczym bezmasowym fermionem. ${\ displaystyle \ psi (x)}$ . W formalizmie całkowym po ścieżce przybiera formę tunelowania przez chwilę między dwiema próżniami topologicznymi

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ langle n | n + \ nu \ rangle & \ sim \ int {\ mathcal {D}} A {\ mathcal {D}} \ psi {\ mathcal {D}} {\ bar {\psi}}\exp {\bigg (}-\int d^{4}x{\frac {1}{2g^{2}}}{\text{tr}}F^{\mu \nu} F_{\mu \nu }+i{\bar {\psi }}{D\!\!\!/}\psi {\bigg )}\\&\sim \int {\mathcal {D}}A\ det(i{D\!\!\!/})\exp {\bigg (}-\int d^{4}x{\frac {1}{2g^{2}}}{\text{tr} }F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }{\bigg )}.\end{wyrównane}}}

Różni się to od czystego wyniku Yanga-Millsa determinantą fermionu uzyskaną po całkowaniu po polach fermionowych. Wyznacznik znika, ponieważ operator Diraca z bezmasowymi fermionami ma co najmniej jedną zerową wartość własną dla dowolnej konfiguracji chwilowej. Chociaż instantony nie przyczyniają się już do tunelowania między próżniami topologicznymi, zamiast tego odgrywają rolę w naruszaniu ładunku osiowego , a tym samym powodują powstanie chiralnego kondensatu . Jeśli zamiast tego teoria ma bardzo lekkie fermiony, to θ -term jest nadal obecny, ale jego efekty są mocno stłumione, ponieważ muszą być proporcjonalne do mas fermionów.

Zobacz też