Bezpośrednia metoda wielokrotnego strzelania

W dziedzinie matematyki zwanej numerycznymi równaniami różniczkowymi zwyczajnymi bezpośrednia metoda wielokrotnych strzałów jest numeryczną metodą rozwiązywania problemów brzegowych . Metoda dzieli przedział, w którym szuka się rozwiązania, na kilka mniejszych przedziałów, rozwiązuje problem wartości początkowej w każdym z mniejszych przedziałów i nakłada dodatkowe warunki dopasowania, aby utworzyć rozwiązanie na cały przedział. Metoda ta stanowi znaczną poprawę rozkładu nieliniowości i stabilności numerycznej w porównaniu z metodami pojedynczego strzału .

Pojedyncze metody strzelania

Metody strzelania mogą być używane do rozwiązywania problemów z wartościami granicznymi (BVP), takich jak

${\ Displaystyle y'' (t) = f(t,y(t),y'(t)),\kwadrat y(t_{a})=y_{a},\kwadrat y(t_{b})=y_{b},}$

w którym punkty czasowe t _a i t _b są znane i szukamy

${\ Displaystyle y (t), \ quad t \ w (t_ {a}, t_ {b}).}$

₀₀ Pojedyncze metody fotografowania przebiegają w następujący sposób. Niech y ( t ; t , y ) oznacza rozwiązanie problemu z wartością początkową (IVP)

${\ Displaystyle y'' (t) = f (t, y(t),y'(t)),\kwadrat y(t_{0})=y_{0},\kwadrat y'(t_{0})=p}$

₀ Zdefiniujmy funkcję F ( p ) jako różnicę między y ( t _b ; p ) a określoną wartością brzegową y _b : F ( p ) = y ( t _b ; p ) − y _b . Wtedy dla każdego rozwiązania ( y _a , y _b ) problemu wartości brzegowych mamy y _a = y , podczas gdy y _b odpowiada pierwiastkowi z F . Ten pierwiastek można rozwiązać dowolną metodą znajdowania pierwiastków, pod warunkiem spełnienia pewnych warunków wstępnych zależnych od metody. Często będzie to wymagało wstępnego zgadywania y _a i y _b . Zazwyczaj analityczne znalezienie pierwiastka jest niemożliwe i do tego zadania stosuje się metody iteracyjne, takie jak metoda Newtona .

Zastosowanie pojedynczego strzelania do numerycznego rozwiązywania problemów z wartościami granicznymi ma kilka wad.

• ₀ Dla danej wartości początkowej y rozwiązanie IVP oczywiście musi istnieć w przedziale [ t _a , t _b ], abyśmy mogli obliczyć funkcję F , której pierwiastek jest poszukiwany.

₀ W przypadku wysoce nieliniowych lub niestabilnych ODE wymaga to, aby początkowe przypuszczenie y było bardzo bliskie rzeczywistemu, ale nieznanemu rozwiązaniu y _a . Wartości początkowe, które są wybrane nieco odbiegające od rzeczywistego rozwiązania, mogą prowadzić do osobliwości lub awarii metody solwera ODE. Wybór takich rozwiązań jest jednak nieunikniony w iteracyjnej metodzie wyszukiwania pierwiastków.

• Liczby o skończonej precyzji mogą w ogóle uniemożliwić znalezienie wartości początkowych, które pozwalają na rozwiązanie ODE w całym przedziale czasu.
• Nieliniowość ODE faktycznie staje się nieliniowością F i wymaga techniki znajdowania pierwiastków zdolnej do rozwiązywania układów nieliniowych. Takie metody zazwyczaj zbiegają się wolniej, gdy nieliniowości stają się poważniejsze. Cierpi na tym wydajność narzędzia do rozwiązywania problemów z wartościami granicznymi.
• ₀₀ Nawet stabilne i dobrze uwarunkowane ODE mogą powodować niestabilne i źle uwarunkowane BVP. Niewielka zmiana wartości początkowej y może generować niezwykle duży skok w rozwiązaniu ODE y ( t _b ; t _a , y ), a tym samym w wartościach funkcji F , której pierwiastek jest poszukiwany. Nieanalityczne metody wyszukiwania pierwiastków rzadko radzą sobie z tym zachowaniem.

Strzelanie wielokrotne

Bezpośrednia metoda wielokrotnego strzelania dzieli interwał [ t _a , t _b ] poprzez wprowadzenie dodatkowych punktów siatki

${\ Displaystyle t_ {a} = t_ {0}<t_ {1}<\ cdots <t_ {N} = t_ {b}}$ .

w jakiś sposób wartości y we wszystkich punktach siatki tk _. z 0 ≤ k ≤ N - 1. Oznacz te domysły przez y _k Niech y ( t ; tk _początkową , y _k ) oznaczają rozwiązanie wychodzące z k -tego punktu siatki, czyli rozwiązanie problemu z wartością

${\ Displaystyle y' (t) = f (t, y (t)), \ quad y (t_ {k}) = y_ {k}.}$

Wszystkie te rozwiązania można złożyć razem, aby utworzyć ciągłą trajektorię, jeśli wartości y pasują do punktów siatki. Zatem rozwiązania problemu wartości brzegowych odpowiadają rozwiązaniom następującego układu N równań:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & y (t_ {1}; t_ {0}, y_ {0}) = y_ {1} \\&\ qquad \ qquad \ vdots \\& y (t_ {N-1} ;t_{N-2},y_{N-2})=y_{N-1}\\&y(t_{N};t_{N-1},y_{N-1})=y_{b} .\end{wyrównane}}}$

Środkowe równania N -2 to warunki dopasowania, a pierwsze i ostatnie równania to warunki y ( t _a ) = y _a i y ( t _b ) = y _b z problemu wartości brzegowych. Metoda wielokrotnego strzelania rozwiązuje problem wartości brzegowych, rozwiązując ten układ równań. do tego drugiego zadania stosuje się modyfikację metody Newtona .

Wiele metod strzelania i równoległych w czasie

Przyjęto strzelanie wielokrotne w celu wyprowadzenia równoległych solwerów dla problemów z wartościami początkowymi . Na przykład Parareal można wyprowadzić jako algorytm wielokrotnego strzelania ze specjalnym przybliżeniem jakobianu .

•   Stoer, Józef; Bulirsch, Roland (2002), Wprowadzenie do analizy numerycznej (wyd. 3), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95452-3 . Patrz rozdziały 7.3.5 i dalsze.
• Bock, Hans Georg; Plitt, Karl J. (1984), „Algorytm wielokrotnego strzelania do bezpośredniego rozwiązania optymalnych problemów sterowania”, Proceedings of the 9th IFAC World Congress , Budapeszt
•   Morrison, David D.; Riley, James D.; Zancanaro, John F. (grudzień 1962), „Metoda wielokrotnego fotografowania dla dwupunktowych problemów z wartościami granicznymi” (PDF) , Commun. ACM , 5 (12): 613–614, doi : 10.1145/355580.369128 , S2CID 8774159