Bifurkacja Bogdanowa – Takensa

Diagramy bifurkacyjne z parametrami β ₁ , β ₂ = (od lewej górnej do prawej dolnej): (−1,1), (1/4,−1), (1,0), (0,0), ( −6/25,−1), (0,1).

W teorii bifurkacji , dziedzinie matematyki , bifurkacja Bogdanowa – Takensa jest dobrze zbadanym przykładem bifurkacji ze współwymiarem dwa, co oznacza, że ​​​​należy zmienić dwa parametry, aby doszło do bifurkacji. Jej nazwa pochodzi od Rifkata Bogdanova i Florisa Takensa , którzy niezależnie i jednocześnie opisali to rozwidlenie.

Układ y' = f ( y ) przechodzi bifurkację Bogdanowa – Takensa, jeśli ma punkt stały, a linearyzacja f wokół tego punktu ma podwójną wartość własną wynoszącą zero (przy założeniu, że spełnione są pewne techniczne warunki niezdegenerowania).

W pobliżu występują trzy bifurkacje w jednym wymiarze: bifurkacja siodło-węzeł , bifurkacja Andronowa – Hopfa i bifurkacja homokliniczna . Wszystkie powiązane krzywe bifurkacji spotykają się w bifurkacji Bogdanowa – Takensa.

Normalna postać bifurkacji Bogdanowa – Takensa to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} y_ {1} '& = y_ {2}, \\ y_ {2} '& = \ beta _ {1} + \ beta _ {2} y_ {1} + y_ { 1}^{2}\pm y_{1}y_{2}.\end{wyrównane}}}$

Istnieją dwa codimension - trzy zdegenerowane bifurkacje Takensa – Bogdanowa, znane również jako bifurkacje Dumortier – Roussarie – Sotomayor.

• Bogdanov, R. „Bifurkacje cyklu granicznego dla rodziny pól wektorowych na płaszczyźnie”. Wybierz matematykę. Radziecki 1, 373–388, 1981.
• Kuzniecow, YA Elementy stosowanej teorii bifurkacji . Nowy Jork: Springer-Verlag, 1995.
• Takens, F. „Wymuszone oscylacje i bifurkacje”. Kom. Matematyka Inst. Rijksunów. Utrecht 2, 1–111, 1974.
• Dumortier F., Roussarie R., Sotomayor J. i Zoladek H., Bifurkacje płaskich pól wektorowych , notatki z wykładów z matematyki. tom. 1480, 1–164, Springer-Verlag (1991).

Linki zewnętrzne

• Guckenheimer, Jan ; Jurij A. Kuzniecow (2007). „Rozwidlenie Bogdanowa – Takensa” . Scholarpedia . Źródło 2007-03-09 .