Całka Duhamela

W teorii drgań całka Duhamela jest sposobem obliczania odpowiedzi układów i struktur liniowych na dowolne, zmieniające się w czasie zewnętrzne zaburzenia .

Wstęp

Tło

Odpowiedź liniowego, lepko tłumionego układu o jednym stopniu swobody (SDOF) na zmienne w czasie wymuszenie mechaniczne p ( t ) jest wyrażona następującym równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu

${\ Displaystyle m {\ Frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^{2}}}+c{\frac {dx(t)}{dt}}+kx(t)=p(t)}$

gdzie m jest (równoważną) masą, x oznacza amplitudę drgań, t czas, c współczynnik tłumienia lepkości, a k sztywność układu lub konstrukcji.

Jeśli układ początkowo spoczywa w swoim położeniu równowagi , skąd działa na niego impuls jednostkowy w chwili t = 0, tj. p ( t ) w powyższym równaniu jest funkcją delta Diraca δ ( t ), ${\textstyle x(0)=\left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0} , to rozwiązując równanie różniczkowe można otrzymać$ rozwiązanie fundamentalne ( znany jako funkcja odpowiedzi na impuls jednostkowy )

${\ Displaystyle h (t) = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {1} {m \ omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}t}\sin \omega _{d}t,&t>0\\0,&t<0\end{przypadki}}}$

gdzie ${\ textstyle \ varsigma = {\ frac {c} {2 {\ sqrt {km}}}}}$ nazywa się współczynnikiem tłumienia układu, ${\ textstyle \ omega _ {n} = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}$ jest naturalną częstotliwością kątową układu nietłumionego (gdy c = 0) i $} = \ omega _ {n} {\ sqrt {1- \ varsigma ^ {2}}}}$${\ textstyle \ omega _ {$${\ Displaystyle c \ neq 0$ to częstotliwość kołowa z uwzględnieniem efektu tłumienia (kiedy ) do } . Jeśli impuls występuje w t = τ zamiast t = 0, tj. ${\ Displaystyle p (t) = \ delta (t- \ tau)}$ , odpowiedź impulsowa jest

${\ Displaystyle h (t-\ tau) = {\ Frac {1} m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau)}\sin[\omega _{d}(t-\tau)]}$ ， ${ \ displaystyle t \ geq \ tau}$

Wniosek

Jeśli chodzi o dowolnie zmieniające się wzbudzenie p ( t ) jako superpozycję szeregu impulsów:

${\ Displaystyle p (t) \ w przybliżeniu \ suma _ {\ tau <t} {p (\ tau) \ cdot \ Delta \tau \cdot \delta }(t-\tau )}$

wtedy z liniowości systemu wiadomo, że ogólną odpowiedź można również podzielić na superpozycję szeregu odpowiedzi-impulsów:

${\ Displaystyle x (t) \ w przybliżeniu \ suma _ {\ tau <t} {p (\ tau) \ cdot \ Delta \tau \cdot h}(t-\tau )}$

Pozwalając ${\ Displaystyle \ Delta \ tau \ do 0}$ i zastępując sumowanie przez integrację , powyższe równanie jest ściśle poprawne

${\ Displaystyle x (t) = \ int _ {0} ^ {t} {p (\ tau) h (t-\ tau) d\tau }}$

Podstawienie wyrażenia h ( t - τ ) do powyższego równania prowadzi do ogólnego wyrażenia całki Duhamela

${\ Displaystyle x (t) = {\ Frac { 1}{m\omega _{d}}}\int _{0}^{t}{p(\tau)e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau)}\sin[ \omega _{d}(t-\tau )]d\tau }}$

Dowód matematyczny

Powyższe równanie równowagi dynamicznej SDOF w przypadku p ( t )=0 jest równaniem jednorodnym :

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^ {2} }}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t)=0} ,$ gdzie ${\ Displaystyle {\ bar {c}} = {\ Frac {c} {m}}, {\ bar {k}} = {\ Frac {k} {m}}}$

Rozwiązaniem tego równania jest:

${ \ Displaystyle x_ {h} (t) = C_ {1} \ cdot e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ lewo ({\ bar {c}} + {\ sqrt {{\ bar {c }}^{2}-4\cdot {\bar {k}}}}\right)t}+C_{2}\cdot e^{{\frac {1}{2}}\left(-{\ bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4\cdot {\bar {k}}}}\right)t}}$

Podstawienie: ${\ Displaystyle A = {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ bar {c}} - {\ sqrt {{\ bar {c}} ^ {2} -4 {\ bar {k }}}}\right),\;B={\frac {1}{2}}\left({\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4 {\bar {k}}}}\right),\;P={\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}},\;P=BA}$ prowadzi do:

${\ Displaystyle x_ {h} (t) = C_ {1} e ^ {- B \ cdot t} \; + \; C_{2}e^{-A\cdot t}}$

Jedno częściowe rozwiązanie niejednorodnego równania: ${\ textstyle {\ frac {d ^{2}x(t)}{dt^{2}}}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t) = {\ bar {p}} (t)}$ , gdzie ${\ textstyle {\ bar {p}} (t) = {\ Frac {p (t)} {m }}}$ , można otrzymać metodą Lagrange'a do wyprowadzania częściowego rozwiązania niejednorodnych równań różniczkowych zwyczajnych .

Rozwiązanie to ma postać:

$Displaystyle x_ {p} ( t)={\frac {\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{At}dt}\cdot e^{-At}-\int {{\bar {p(t)} }\cdot e^{Bt}dt}\cdot e^{-Bt}}{P}}}$

Teraz podstawiając: ${\textstyle \left.\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{At}dt}\right|_{t=z}=Q_{z},\ lewo.\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{Bt}dt}\right|_{t=z}=R_{z}} ,$ gdzie $.\int x(t)dt\right|_{t=z}}$ left jest prymitywem x ( t ) obliczonym w t = z , w przypadku z = t ta całka jest sam prymitywny daje:

${\ Displaystyle x_ {p} (t) = {\ Frac {Q_ {t} \ cdot e ^ {- At} - R_{t}\cdot e^{-Bt}}{P}}}$

Ostatecznie ogólne rozwiązanie powyższego niejednorodnego równania jest reprezentowane jako:

${ \displaystyle x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=C_{1}\cdot e^{-Bt}+C_{2}\cdot e^{-At}+{ \frac {Q_{t}\cdot e^{-At}-R_{t}\cdot e^{-Bt}}{P}}}$

z pochodną czasu:

${\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dt}} = - Ae ^ {- At} \ cdot C_ {2} -Be ^ {- Bt} \ cdot C_ {1}+{\frac {1}{P}}\left[{\kropka {Q_{t}}}\cdot e^{-At}-AQ_{t}\cdot e^{-At}-{ \dot {R_{t}}}\cdot e^{-Bt}+BR_{t}\cdot e^{-Bt}\right]} ,$ gdzie $\ Displaystyle {\ kropka {Q_ {t}}} = p (t) \ cdot e ^ {At}, {\ kropka {R_ {t}}} = p ( t)\cdot e^{Bt}}$

Aby znaleźć nieznane stałe, zostaną zastosowane zerowe warunki początkowe: do $\ displaystyle C_ {1}, C_ {2}}$

${\ Displaystyle x (t) | _ {t = 0} = 0: C_ {1} + C_ {2} + {\ Frac { Q_ {0} \ cdot 1-R_ {0} \ cdot 1 {P}} = 0}$ ⇒ ${\ Displaystyle C_ {1} + C_ {2} = {\ frac {R_{0}-Q_{0}}{P}}}$

${\ Displaystyle \ lewo. {\ Frac {dx} {dt}} \ prawo | _ { t=0}=0:-A\cdot C_{2}-B\cdot C_{1}+{\frac {1}{P}}\cdot [-A\cdot Q_{0}+B\cdot R_ {0}] = 0}$ ⇒ ${\ Displaystyle A \ cdot C_ {2} + B \ cdot C_ {1} = { \frac {1}{P}}\cdot [B\cdot R_{0}-A\cdot Q_{0}]}$

Teraz, łącząc razem oba warunki początkowe, obserwuje się następny układ równań:

${\ Displaystyle \ lewo. {\ rozpocząć {wyrównane dat} {5} C_ {1} &&\;+&&\; C_ {2}&&\;=&&\; {\ frac {R_{0}-Q_{0}}{P}}&\\B\cdot C_{1}&&\;+&&\;A\cdot C_{2}&&\;=&&\;{\frac {1}{P}}\cdot [B\cdot R_{0}-A\cdot Q_{0}]\end{alignedat}}\right|{\begin{alignedat}{5}C_{1}&&\ ;=&&\;{\frac {R_{0}}{P}}&\\C_{2}&&\;=&&\;-{\frac {Q_{0}}{P}}\end{wyrównany }}}$

Podstawienie wsteczne stałych $}$ do powyższego wyrażenia na x ( t ) daje: $displaystyle C_ {1}$

${\ Displaystyle x (t) = {\ Frac {Q_ {t} -Q_ {0}} {P}}\cdot e^{-A\cdot t}-{\frac {R_{t}-R_{0}}{P}}\cdot e^{-B\cdot t}}$

Q ${\ Displaystyle Q_ {t} -Q_ {0}}$ i $\ Displaystyle R_ {t} -R_ {0}}$ (różnica między prymitywami w t = t i t = 0 ) z całkami oznaczonymi (przez inną zmienną τ ) ujawni rozwiązanie ogólne z zerowymi warunkami początkowymi, a mianowicie:

${\ Displaystyle x(t)={\frac {1}{P}}\cdot \left[\int _{0}^{t}{{\bar {p}}(\tau )\cdot e^{A\tau }d\tau }\cdot e^{-At}-\int _{0}^{t}{{\bar {p}}(\tau )\cdot e^{B\tau }d\tau }\ cdot e^{-Bt}\right]}$

Na koniec podstawiając odpowiednio ${\ Displaystyle {\ bar {c}} = 2 \ xi \ omega, {\ bar {k}} = \ omega ^ {2}}$$\ Displaystyle c = 2 \ xi \ omega m, \; k = \ omega ^ {2} m}$ , odpowiednio do , gdzie ξ <1 daje:

${\ Displaystyle P = 2 \ omega _ {D} ja, \; A = \ xi \ omega - \ omega _ {D} ja, \; B = \ xi \ omega + \ omega _ {D} i}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ omega _ {D} = \ omega \ cdot {\ sqrt {1-\xi ^{2}}}}$ a i jest jednostką urojoną .

Podstawienie tych wyrażeń do powyższego ogólnego rozwiązania z zerowymi warunkami początkowymi i użycie wykładniczego wzoru Eulera doprowadzi do anulowania warunków urojonych i ujawni rozwiązanie Duhamela:

${\ Displaystyle x (t) = {\ Frac {1 }{\omega _{D}}}\int _{0}^{t}{{\bar {p}}(\tau)e^{-\xi \omega (t-\tau)}\sin( \omega _{D}(t-\tau ))d\tau }}$

Zobacz też

• Zasada Duhamela

• RW Clough, J. Penzien, Dynamika struktur , Mc-Graw Hill Inc., Nowy Jork, 1975.
• Anil K. Chopra, Dynamika struktur — teoria i zastosowania w inżynierii trzęsień ziemi , Pearson Education Asia Limited i Tsinghua University Press, Pekin, 2001
• Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis , Mc-Graw Hill Inc., Singapur, 1986

Linki zewnętrzne

• Formuła Duhamela na „Dispersive Wiki”.