Metoda wiązki sprzężonej

(0) belka rzeczywista, (1) ścinanie i moment, (2) belka sprzężona, (3) nachylenie i przemieszczenie

Metody wiązki sprzężonej to inżynierska metoda wyznaczania nachylenia i przemieszczenia belki. Belka sprzężona jest zdefiniowana jako belka urojona o takich samych wymiarach (długości) jak belka oryginalna, ale obciążenie w dowolnym punkcie belki sprzężonej jest równe momentowi zginającemu w tym punkcie podzielonemu przez EI.

Metoda wiązki sprzężonej została opracowana przez Heinricha Müllera-Breslau w 1865 r. Zasadniczo wymaga ona takiej samej ilości obliczeń, jak twierdzenia o polu momentu, aby określić nachylenie lub ugięcie belki; jednak ta metoda opiera się tylko na zasadach statyki, więc jej zastosowanie będzie bardziej znane.

Podstawą metody jest podobieństwo równania. 1 i Równanie 2 do Równanie 3 i Równanie 4. Aby pokazać to podobieństwo, równania te pokazano poniżej.

${\ Displaystyle Eq.1 \; {\ Frac {dV} {dx}} = w}$	${\ Displaystyle Równanie 3 \; {\ Frac {d ^ {2} M} {dx ^ {2}}} = w}$
${\ Displaystyle Eq.2 \; {\ Frac {d \ theta} {dx}} = {\ Frac {M} {EI}}}$	${\ Displaystyle Eq.4 \; {\ Frac {d ^ {2} v} {dx ^ {2}}} = {\ Frac {M} {EI }}}$

Zintegrowane równania wyglądają tak.

${\ Displaystyle V = \ int w \, dx}$	${\ Displaystyle M = \ int \ lewo [\ int w \, dx \ prawej] dx}$
${\ Displaystyle \ teta = \ int \ lewo ({\ Frac {M} {EI}} \ prawej) dx}$	${\ Displaystyle v = \ int \ lewo [\ int \ lewo ({\ Frac {M} {EI}} \ prawo) dx \ prawo] dx}$

Tutaj ścinanie V porównuje się z nachyleniem θ, moment M porównuje się z przemieszczeniem v, a obciążenie zewnętrzne w porównuje się z wykresem M/EI. Poniżej znajduje się wykres ścinania, momentu i ugięcia. Diagram AM/EI to diagram momentów podzielony przez moduł Younga belki i moment bezwładności .

Aby skorzystać z tego porównania, rozważymy teraz wiązkę mającą taką samą długość jak wiązka rzeczywista, ale określaną tutaj jako „wiązka sprzężona”. Wiązka sprzężona jest „obciążana” wykresem M/EI wyprowadzonym z obciążenia belki rzeczywistej. Z powyższych porównań możemy wywnioskować dwa twierdzenia związane z belką sprzężoną:

Twierdzenie 1: Nachylenie w punkcie belki rzeczywistej jest liczbowo równe ścinaniu w odpowiednim punkcie belki sprzężonej.

Twierdzenie 2: Przemieszczenie punktu w belce rzeczywistej jest liczbowo równe momentowi w odpowiednim punkcie belki sprzężonej.

Podpory belki sprzężonej

Podczas rysowania belki sprzężonej ważne jest, aby ścinanie i moment powstające na podporach belki sprzężonej uwzględniały odpowiednie nachylenie i przemieszczenie rzeczywistej belki na jej podporach, co jest konsekwencją Twierdzeń 1 i 2. Na przykład, jak pokazano poniżej , wspornik sworznia lub rolki na końcu belki rzeczywistej zapewnia zerowe przemieszczenie, ale nachylenie niezerowe. W konsekwencji, z Twierdzeń 1 i 2, belka sprzężona musi być podparta przez sworzeń lub wałek, ponieważ ta podpora ma moment zerowy, ale ma reakcję ścinającą lub końcową. Gdy belka rzeczywista jest unieruchomiona, zarówno nachylenie, jak i przemieszczenie są równe zeru. Tutaj wiązka sprzężona ma wolny koniec, ponieważ na tym końcu nie ma ścinania i momentu zerowego. Odpowiednie podpory rzeczywiste i sprzężone przedstawiono poniżej. Należy zauważyć, że z reguły, pomijając siły osiowe, statycznie wyznaczalne mają belki sprzężone statycznie wyznaczalne; a statycznie niewyznaczalne belki rzeczywiste mają niestabilne belki sprzężone. Chociaż tak się dzieje, obciążenie M/EI zapewni niezbędną „równowagę” do utrzymania stabilności wiązki sprzężonej.

Prawdziwe wsparcie kontra wsparcie koniugatu

Prawdziwy promień		Wiązka sprzężona
Stałe wsparcie		Wolny koniec
${\ displaystyle v = 0}$ ${\ Displaystyle \ teta = 0}$		${\ Displaystyle {\ overline {M}} = 0}$ ${\ Displaystyle {\ overline {Q}} = 0}$
Wolny koniec		Stałe wsparcie
${\ displaystyle v \ nie = 0}$ ${\ Displaystyle \ teta \ nie = 0}$		${\ Displaystyle {\ overline {M}} \ nie = 0}$ ${\ Displaystyle {\ overline {Q}} \ nie = 0}$
Podpora zawiasowa		Podpora zawiasowa
${\ displaystyle v = 0}$ ${\ Displaystyle \ teta \ nie = 0}$		${\ Displaystyle {\ overline {M}} = 0}$ ${\ Displaystyle {\ overline {Q}} \ nie = 0}$
Środkowe wsparcie		Zawias środkowy
${\ displaystyle v = 0}$ ${\ displaystyle \ theta}$ : kontynuuj		${\ Displaystyle {\ overline {M}} = 0}$ ${\ Displaystyle {\ overline {Q}}}$ : kontynuuj
Zawias środkowy		Środkowe wsparcie
${\ displaystyle v}$ : kontynuuj ${\ displaystyle \ theta}$ : przerwać		${\ Displaystyle {\ overline {M}}}$ : kontynuuj ${\ Displaystyle {\ overline {Q}}}$ : przerwać

Przykłady wiązki sprzężonej

Prawdziwy promień		Wiązka sprzężona
Belka prosta
Belka wspornikowa
Lewa belka zwisająca
Dwustronna belka zwisająca
Belka Gerbera (2 przęsła)
Belka Gerbera (3 przęsła)

Procedura analizy

Poniższa procedura przedstawia metodę, której można użyć do wyznaczenia przemieszczenia i ugięcia w punkcie na krzywej sprężystości belki przy użyciu metody wiązki sprzężonej.

Wiązka sprzężona

• Narysuj wiązkę sprzężoną dla wiązki rzeczywistej. Ta belka ma taką samą długość jak belka rzeczywista i ma odpowiednie podpory wymienione powyżej.
• Ogólnie rzecz biorąc, jeśli podpora rzeczywista dopuszcza nachylenie, podpora sprzężona musi rozwinąć ścinanie ; a jeśli rzeczywiste wsparcie pozwala na przemieszczenie, sprzężone wsparcie musi rozwinąć się w momencie .
• Wiązka sprzężona jest ładowana diagramem M/EI belki rzeczywistej. Zakłada się, że to obciążenie jest rozłożone na wiązce sprzężonej i jest skierowane w górę, gdy M/EI jest dodatnie, i w dół, gdy M/EI jest ujemne. Innymi słowy, obciążenie zawsze działa z dala od belki.

równowaga

• Korzystając z równań statyki , wyznacz reakcje na podporach belek sprzężonych.
• Przekrój belkę sprzężoną w punkcie, w którym należy określić nachylenie θ i przemieszczenie Δ belki rzeczywistej. Na przekroju pokaż nieznane ścinanie V' i M' równe odpowiednio θ i Δ dla belki rzeczywistej. W szczególności, jeśli te wartości są dodatnie, a nachylenie jest przeciwne do ruchu wskazówek zegara, a przemieszczenie jest skierowane w górę.

Zobacz też

• Metoda wspornikowa

•   OKAMURA Koichi岡村宏一 (1988). Kouzou kougaku (I) Doboku kyoutei sensyo . Syuppan Kashima. ISBN 4-306-02225-0 .