Twierdzenie Bettiego

Twierdzenie Bettiego , znane również jako twierdzenie o pracy odwrotnej Maxwella-Bettiego , odkryte przez Enrico Bettiego w 1872 r., stwierdza, że ​​dla liniowej struktury sprężystej poddanej działaniu dwóch zbiorów sił {P _i } i=1,...,n i {Q _j }, j=1,2,...,n, praca wykonana przez zbiór P poprzez przemieszczenia wytworzone przez zbiór Q jest równa pracy wykonanej przez zbiór Q poprzez przemieszczenia wytworzone przez zbiór P. Twierdzenie to ma zastosowanie w inżynierii budowlanej , gdzie służy do definiowania linii wpływu i wyznaczania metody elementów brzegowych .

Twierdzenie Bettiego jest wykorzystywane w projektowaniu mechanizmów zgodnych z podejściem optymalizacji topologii.

Dowód

${i} ^ {Q}$ poddane działaniu pary układów sił zewnętrznych, określanych jako i fa $displaystyle F_$ . Weź pod uwagę, że każdy układ sił powoduje pole przemieszczenia, przy czym przemieszczenia mierzone w punkcie przyłożenia siły zewnętrznej są określane jako $\ Displaystyle d_ {i} ^ {P}}$ i ${\ displaystyle d_ {i} ^{Q}}$ .

Gdy układ sił zostanie zastosowany do konstrukcji, równowaga między pracą wykonaną przez układ sił zewnętrznych a energią odkształcenia wynosi: fa $\ displaystyle F_ {i} ^ {P}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {i = 1}$

Równowaga praca-energia związana z układem sił jest następująca: fa ja $displaystyle F_ {i} ^ {Q}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {i = 1} ^ {n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega}\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _ {ij}^{Q}\,d\Omega }$

$Weźmy$$,$ że po zastosowaniu układu sił stosowany Ponieważ jest już zastosowany i dlatego nie spowoduje żadnego dodatkowego przemieszczenia, bilans pracy i energii przyjmuje następujące wyrażenie: ${\ displaystyle F_ {i} ^ {P}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {i =1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{P}+{\frac {1}{2}}\suma _{i=1}^{n}F_{i} ^{Q}d_{i}^{Q}+\suma _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}={\frac {1}{2 }}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega +{\frac {1}{2}}\int _{\ Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega +\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij }^{Q}\,d\Omega }$

I odwrotnie, jeśli weźmiemy pod uwagę już zastosowany system sił i zastosowany $ja$$\ displaystyle F_ {i} ^ {P}$ , praca -bilans energetyczny przyjmie postać:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {i =1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}+{\frac {1}{2}}\suma _{i=1}^{n}F_{i} ^{P}d_{i}^{P}+\suma _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}={\frac {1}{2 }}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega +{\frac {1}{2}}\int _{\ Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega +\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij }^{P}\,d\Omega }$

Jeśli bilans pracy i energii dla przypadków, w których układy sił zewnętrznych są stosowane oddzielnie, zostanie odpowiednio odjęty od przypadków, w których układy sił są stosowane jednocześnie, otrzymamy następujące równania:

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {P} d_ {$

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {Q} d_ {i} ^ {P} = \ int _ {\ Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega }$

Jeśli ciało stałe, do którego przyłożone są układy sił, jest utworzone przez liniowo sprężysty materiał , a układy sił są takie, że w ciele obserwuje się tylko nieskończenie małe odkształcenia , to równanie konstytutywne ciała , które może być zgodne z prawem Hooke'a , można wyrazić w postaci następujący sposób:

${\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = D_ {ijkl} \ epsilon _ {kl}}$

Zastąpienie tego wyniku w poprzednim zestawie równań prowadzi nas do następującego wyniku:

${i} ^ { P}d_{i}^{Q}=\int _{\Omega }D_{ijkl}\epsilon _{ij}^{P}\epsilon _{kl}^{Q}\,d\Omega }$

$\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {Q$

Jeśli odejmiemy oba równania, otrzymamy następujący wynik:

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {P} d_ {i} ^{Q}=\suma _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}}$

Przykład

Dla prostego przykładu niech m=1 i n=1. Rozważmy belkę poziomą , na której zdefiniowano dwa punkty: punkt 1 i punkt 2. Najpierw przykładamy siłę pionową P do punktu 1 i mierzymy pionowe przemieszczenie punktu 2, oznaczonego Δ P 2 {\ Displaystyle \ Delta $} }$ . Następnie usuwamy siłę P i przykładamy pionową siłę Q w punkcie 2, która powoduje pionowe przemieszczenie w punkcie 1 ${\ Displaystyle \ Delta _ {Q1}}$ . Twierdzenie Bettiego o wzajemności stwierdza, że:

${\ Displaystyle P \, \ Delta _ {Q1} = Q \, \ Delta _ {P2}.}$

Przykład twierdzenia Bettiego

Zobacz też

• zasada D'Alemberta

•   A. Ghali; AM Neville (1972). Analiza strukturalna: ujednolicone podejście klasyczne i macierzowe . Londyn, Nowy Jork: E & FN SPON. P. 215. ISBN 0-419-21200-0 .