Całkowicie dystrybucyjna krata

W matematycznym obszarze teorii porządku , całkowicie dystrybucyjna krata jest kompletną kratą , w której arbitralne łączenia rozkładają się na dowolne spotkania .

Formalnie o kompletnej sieci L mówi się, że jest całkowicie rozdzielna , jeśli dla dowolnej podwójnie indeksowanej rodziny { x _{j , k} | j w J , k w K _j } z L , mamy

${\ Displaystyle \ bigwedge _ {j \ w J} \ bigvee _ {k \ w K_ { j}}x_{j,k}=\bigvee _{f\in F}\bigwedge _{j\in J}x_{j,f(j)}}$

gdzie F jest zbiorem funkcji wyboru f wybierających dla każdego indeksu j z J jakiś indeks f ( j ) w K _j .

Całkowita rozdzielność jest właściwością samodualną, tj. dualizacja powyższego stwierdzenia daje tę samą klasę kompletnych krat.

Bez aksjomatu wyboru żadna kompletna krata z więcej niż jednym elementem nie może nigdy spełnić powyższej właściwości, ponieważ można po prostu pozwolić x _{j , k} równać się górnemu elementowi L dla wszystkich indeksów j i k przy wszystkich zbiorach K _j niepusty, ale nie posiadający funkcji wyboru.

Alternatywne charakterystyki

Istnieją różne różne charakterystyki. Na przykład poniżej przedstawiono równoważne prawo, które pozwala uniknąć korzystania z funkcji wyboru . Dla dowolnego zbioru S zbiorów definiujemy zbiór S ^# jako zbiór wszystkich podzbiorów X całej sieci, które mają niepuste przecięcie ze wszystkimi elementami S . Następnie możemy zdefiniować pełną rozdzielność za pomocą instrukcji

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ bigwedge \ {\ bigvee Y \ środkowy Y \ w S \} = \ bigvee \ {\ bigwedge Z\mid Z\in S^{\#}\}\end{wyrównane}}}$

Operator ( ) ^# można nazwać operatorem krzyżowym . Ta wersja całkowitej rozdzielności implikuje jedynie pierwotne pojęcie, gdy dopuszcza Aksjomat Wyboru .

Nieruchomości

Ponadto wiadomo, że następujące stwierdzenia są równoważne dla dowolnej kompletnej sieci L :

• L jest całkowicie rozdzielczy.
• L można osadzić w bezpośrednim iloczynie łańcuchów [0,1] przez osadzanie kolejności , które zachowuje dowolne spotkania i łączenia.
• Zarówno L ^, jak i jego podwójny porządek Lop są pozycjami ciągłymi .

Iloczyny bezpośrednie [0,1], czyli zbiory wszystkich funkcji od pewnego zbioru X do [0,1] uporządkowane punktowo , nazywane są również kostkami .

Swobodne sieci całkowicie rozdzielcze

Każdy poset C można skompletować w całkowicie rozdzielczej siatce.

Całkowicie rozdzielna krata L nazywana jest swobodną całkowicie rozdzielczą siatką nad posetem C wtedy i tylko wtedy $M$ gdy istnieje porządek osadzania , że dla każdej i funkcja monotoniczna ${\ Displaystyle f: C \ rightarrow M}$ , istnieje unikalny pełny homomorfizm ${\ Displaystyle f _ {\ phi} ^ {*}: L \ rightarrow M}$ satysfakcjonujący ${\ Displaystyle f = f _ {\ phi} ^ {*} \ circ \ phi}$ . Dla każdego zestawu C swobodna, całkowicie rozdzielcza sieć nad posetem C istnieje i jest niepowtarzalna aż do izomorfizmu.

Jest to przykład koncepcji swobodnego obiektu . Ponieważ zbiór X można uznać za zbiór z dyskretnym porządkiem, powyższy wynik gwarantuje istnienie swobodnej sieci całkowicie rozdzielczej nad zbiorem X .

Przykłady

• Przedział jednostkowy [ 0,1], uporządkowany w sposób naturalny, jest siatką całkowicie rozdzielczą.
  • Mówiąc bardziej ogólnie, każdy kompletny łańcuch jest siecią całkowicie dystrybucyjną.
• Krata zestawu potęg dla $_$ _ _
• Dla każdego posetu C istnieje swobodna całkowicie dystrybucyjna sieć nad C . Zobacz sekcję dotyczącą bezpłatnych sieci całkowicie dystrybucyjnych powyżej.

Zobacz też

• Słowniczek teorii porządku
• Sieć rozdzielcza