Wprowadzenie do krat i porządku
Wprowadzenie do krat i porządku to matematyczny podręcznik teorii porządku autorstwa Briana A. Daveya i Hilary Priestley . Został opublikowany przez Cambridge University Press w serii Cambridge Mathematical Textbooks w 1990 r., a drugie wydanie w 2002 r. Drugie wydanie znacznie różni się pod względem tematyki i organizacji oraz zostało poprawione, aby uwzględnić najnowsze osiągnięcia w tej dziedzinie, zwłaszcza w jego zastosowania w informatyce . Komitet Podstawowej Listy Bibliotecznej Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego zasugerował włączenie go do licencjackich bibliotek matematycznych.
Tematy
Oba wydania książki mają 11 rozdziałów; w drugiej książce są one uporządkowane, przy czym pierwsze cztery stanowią ogólne odniesienie dla matematyków i informatyków, a pozostałe siedem koncentruje się na bardziej specjalistycznym materiale dla logików , topologów i teoretyków sieci .
Pierwszy rozdział dotyczy zbiorów częściowo uporządkowanych , których podstawowym przykładem są funkcje cząstkowe uporządkowane relacją podzbioru na ich wykresach , i omawia podstawowe pojęcia, w tym elementy górny i dolny oraz zbiory górne i dolne . Te idee prowadzą do drugiego rozdziału, o kratach , w którym każde dwa elementy (lub w pełnych kratach , każdy zbiór) ma największą dolną granicę i najmniejszą górną granicę . Ten rozdział obejmuje budowę sieci z niższych zbiorów dowolnego rzędu częściowego oraz twierdzenie Knastera-Tarskiego o konstruowaniu sieci ze stałych punktów funkcji zachowujących porządek na pełnej siatce. Rozdział trzeci dotyczy formalnej analizy pojęciowej , jego konstrukcja „sieci pojęciowych” ze zbiorów obiektów i ich właściwości, przy czym każdy element sieci reprezentuje zarówno zestaw obiektów, jak i zestaw właściwości posiadanych przez te obiekty, oraz uniwersalność tej konstrukcji w tworzeniu kompletnych krat. Czwarty z rozdziałów wprowadzających dotyczy specjalnych klas krat, w tym krat modularnych , rozdzielczych i boolowskich .
W drugiej części książki rozdział 5 dotyczy twierdzenia , że każda skończona krata boolowska jest izomorficzna z kratą podzbiorów zbioru skończonego oraz (mniej trywialnie) twierdzenia Birkhoffa o reprezentacji , zgodnie z którym każda skończona krata rozdzielcza jest izomorficzna z kratą niższych zbiorów skończonego rzędu częściowego. Rozdział 6 obejmuje relacje kongruencji na kratach. Tematy w rozdziale 7 obejmują operacje zamknięcia i połączenia Galois w zamówieniach częściowych oraz zakończenie Dedekinda – MacNeille'a częściowego porządku na najmniejszą zawierającą go kompletną kratę. Następne dwa rozdziały dotyczą zupełnych rzędów częściowych , ich twierdzeń o punkcie stałym, systemów informacyjnych i ich zastosowań w semantyce denotacyjnej . Rozdział 10 omawia ekwiwalenty aksjomatu wyboru w teorii porządku , w tym rozszerzenia twierdzeń o reprezentacji z rozdziału 5 na nieskończone kraty, a ostatni rozdział omawia reprezentację krat z przestrzeniami topologicznymi , w tym twierdzenie Stone'a o reprezentacji dla algebr Boole'a oraz teoria dualizmu dla sieci dystrybucyjnych .
Dwa dodatki zawierają podstawowe informacje na temat topologii potrzebnej w ostatnim rozdziale oraz bibliografię z adnotacjami.
Publiczność i odbiór
Ta książka jest przeznaczona dla początkujących studentów studiów magisterskich, chociaż może być również używana przez zaawansowanych studentów. Dzięki licznym ćwiczeniom nadaje się jako podręcznik do kursu i służy zarówno uzupełnieniu szczegółów ekspozycji zawartej w książce, jak i wskazówkom na dodatkowe tematy. Chociaż od czytelników wymaga się pewnego matematycznego wyrafinowania, głównymi wymaganiami wstępnymi są matematyka dyskretna , algebra abstrakcyjna i teoria grup .
Pisząc o pierwszym wydaniu, recenzent Josef Niederle nazywa je „doskonałym podręcznikiem”, „aktualnym i przejrzystym”. Podobnie Thomas S. Blyth chwali pierwsze wydanie jako „dobrze napisany, satysfakcjonujący, pouczający i stymulujący opis aplikacji, które cieszą się dużym zainteresowaniem”, aw zaktualizowanej recenzji pisze, że drugie wydanie jest równie dobre jak pierwsze. Podobnie, chociaż Jon Cohen ma pewne zastrzeżenia co do uporządkowania i wyboru tematów (zwłaszcza włączenia kongruencji kosztem teorii kategorii pogląd na temat), konkluduje, że książka jest „wspaniałym i przystępnym wprowadzeniem do teorii sieci, równie interesującym zarówno dla informatyków, jak i matematyków”.
LaTeX-a w książce do tworzenia diagramów oraz pomocne opisy sposobu tworzenia diagramów.