Dystrybucja (teoria porządku)

W matematycznym obszarze teorii porządku istnieją różne pojęcia wspólnej koncepcji rozdzielności , stosowanej do tworzenia supremy i infimy . Większość z nich dotyczy częściowo uporządkowanych zbiorów , które są co najmniej kratami , ale w rzeczywistości koncepcję można rozsądnie uogólnić również na półsieci .

Kraty rozdzielcze

Prawdopodobnie najbardziej powszechnym typem rozdzielności jest ta zdefiniowana dla sieci , gdzie tworzenie supremy binarnej i infimy zapewnia całkowite operacje łączenia ( ) i spotykania się ( $}$$\ displaystyle \ klin}$ . Dystrybucyjność tych dwóch operacji jest następnie wyrażana przez wymaganie tożsamości

${\ Displaystyle x \ klin (y \ vee z) = (x \ klin y) \ vee (x \ klin z)}$

trzymaj dla wszystkich elementów x , y i z . To prawo rozdzielności definiuje klasę sieci rozdzielczych . Zauważ, że to wymaganie można przeformułować, mówiąc, że binarny spełnia wymagania zachowania połączeń binarnych. Wiadomo, że powyższe stwierdzenie jest równoważne jego podwójnemu rzędowi

${\ Displaystyle x \ vee (y \ klin z) = (x \ vee y) \ klin (x \ vee z)}$

tak, że jedna z tych właściwości wystarczy do zdefiniowania rozdzielności dla krat. Typowymi przykładami sieci dystrybucyjnej są zbiory całkowicie uporządkowane , algebry Boole'a i algebry Heytinga . Każda skończona sieć rozdzielcza jest izomorficzna z siecią zbiorów uporządkowaną przez inkluzję ( twierdzenie Birkhoffa o reprezentacji ).

Dystrybucja dla półsieci

Diagram Hassego do definicji rozdzielności dla spotkania-semilattice.

Semilattice jest częściowo uporządkowanym zestawem tylko z jedną z dwóch operacji kratowych, albo meet- lub join-semilattice . Biorąc pod uwagę, że istnieje tylko jedna operacja binarna, rozdzielności oczywiście nie można zdefiniować w standardowy sposób. Niemniej jednak, ze względu na interakcję pojedynczej operacji z danym porządkiem, możliwa jest następująca definicja rozdzielności. Meet -semilattice jest rozdzielna , jeśli dla wszystkich a , b i x :

Jeśli a ∧ b ≤ x to istnieją a ′ i b ′ takie, że a ≤ a ′ , b ≤ b' i x = a ′ ∧ b' .

Dystrybucyjne semi-semilattice są zdefiniowane dwojako : a join-semilattice jest rozdzielna , jeśli dla wszystkich a , b i x :

Jeśli x ≤ a ∨ b to istnieją a ′ i b ′ takie, że a ′ ≤ a , b ′ ≤ b i x = a ′ ∨ b' .

W obu przypadkach a' i b' nie muszą być unikalne. Definicje te są uzasadnione faktem, że przy dowolnej sieci L , wszystkie następujące stwierdzenia są równoważne:

• L jest rozdzielczy jako spotkanie-semilattice
• L jest rozdzielny jako semi-semilattice łączenia
• L jest siecią rozdzielczą.

Tak więc każda rozdzielcza półsemilattyka, w której istnieją łączenia binarne, jest siatką rozdzielczą. Semilattyka łączenia jest rozdzielcza wtedy i tylko wtedy, gdy krata jej ideałów (pod warunkiem włączenia) jest rozdzielcza.

Ta definicja rozdzielności pozwala na uogólnienie niektórych stwierdzeń dotyczących sieci rozdzielczych na półsieci rozdzielcze.

Prawa rozdzielności dla pełnych krat

W przypadku pełnej sieci dowolne podzbiory mają zarówno infima, jak i suprema, a zatem dostępne są nieskończone operacje spotkań i łączenia. Można zatem opisać kilka rozszerzonych pojęć rozdzielności. Na przykład, dla nieskończonego prawa rozdzielności , skończone spotkania mogą rozkładać się na dowolne łączenia, tj

${\ Displaystyle x \ klin \ bigvee S = \ bigvee \ {x \ klin s \ środkowy s \ w S \}}$

może zachodzić dla wszystkich elementów x i wszystkich podzbiorów S sieci. Kompletne kraty z tą właściwością nazywane są ramkami , lokalizacjami lub kompletnymi algebrami Heytinga . Powstają w związku z bezsensowną topologią i kamienną dualnością . To prawo dystrybucji nie jest równoważne z jego podwójnym stwierdzeniem

${\ Displaystyle x \ vee \ bigwedge S = \ bigwedge \ {x \ vee s \ mid s \ w S \}}$

który definiuje klasę podwójnych ramek lub kompletnych algebr ko-Heytinga.

Teraz można pójść jeszcze dalej i zdefiniować porządki, w których arbitralne łączenia rozkładają się na dowolne spotkania. Takie struktury nazywane są sieciami całkowicie rozdzielczymi . Jednak wyrażenie tego wymaga sformułowań, które są nieco bardziej techniczne. Rozważmy podwójnie indeksowaną rodzinę { x _{j , k} | j w J , k w K ( j )} elementów kompletnej sieci i niech F będzie zbiorem funkcji wyboru f wybierających dla każdego indeksu j z J jakiś indeks f ( j ) w K ( j ). Kompletna krata jest całkowicie rozdzielcza , jeśli dla wszystkich takich danych zachodzi następujące stwierdzenie:

${\ Displaystyle \ bigwedge _ {j \ w J} \ bigvee _ {k \ in K(j)}x_{j,k}=\bigvee _{f\in F}\bigwedge _{j\in J}x_{j,f(j)}}$

Całkowita rozdzielność jest ponownie samodwoistą właściwością, tj. dualizacja powyższego stwierdzenia daje tę samą klasę kompletnych krat. Całkowicie dystrybucyjne kompletne kraty (zwane także w skrócie sieciami całkowicie dystrybucyjnymi ) są rzeczywiście wysoce specjalnymi strukturami. Zobacz artykuł o sieciach całkowicie dystrybucyjnych .

Literatura

Dystrybutywność jest podstawową koncepcją omawianą w każdym podręczniku teorii sieci i porządku. Zobacz literaturę podaną w artykułach na temat teorii porządku i teorii sieci . Bardziej szczegółowa literatura obejmuje:

• GN Raney, Całkowicie dystrybucyjne pełne sieci , Proceedings of the American Mathematical Society , 3: 677 - 680, 1952.