Ciągły model spontanicznej lokalizacji

Model ciągłej spontanicznej lokalizacji ( CSL ) to model spontanicznego kolapsu w mechanice kwantowej , zaproponowany w 1989 roku przez Philipa Pearle'a. i sfinalizowane w 1990 Gian Carlo Ghirardi , Philip Pearle i Alberto Rimini.

Wstęp

Najszerzej badanym spośród modeli dynamicznej redukcji (znanej również jako kolaps) jest model CSL. Opierając się na Ghirardi-Rimini-Weber , model CSL opisuje załamanie funkcji falowej jako występujące w sposób ciągły w czasie, w przeciwieństwie do modelu Ghirardi-Rimini-Weber.

Niektóre z kluczowych cech modelu to:

• Lokalizacja odbywa się w pozycji, która jest preferowaną podstawą w tym modelu.
• Model nie zmienia znacząco dynamiki układów mikroskopowych, natomiast staje się mocny dla obiektów makroskopowych: mechanizm amplifikacji zapewnia to skalowanie.
• Zachowuje właściwości symetrii identycznych cząstek.
• Charakteryzuje się dwoma parametrami: $i , które są odpowiednio współczynnikiem$ i $długością$ .

Równanie dynamiczne

Równanie dynamiczne CSL dla funkcji falowej jest stochastyczne i nieliniowe:

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {d} \! | \ psi _ {t} \ rangle = \ lewo [- {\ Frac {i} {\ hbar}} {\ kapelusz {H}} \ nazwa operatora {d} \! t + {\frac {\sqrt {\lambda}}{m_{0}}}\int \operatorname {d} \!{\bf {x}}\,{\hat {N}}_{t}({\ bf {x}})\nazwa_operatora {d} \!W_{t}({\bf {x}})\right.\left.-{\frac {\lambda}}{2m_{0}^{2}} }\int \nazwa_operatora {d} \!{\bf {x}}\int \nazwa_operatora {d} \!{\bf {y}}\,g({\bf {x}}-{\bf {y }}){\kapelusz {N}}_{t}({\bf {x}}){\kapelusz {N}}_{t}({\bf {y}})\nazwa operatora {d} \! t\right]|\psi _{t}\rangle .}$$

Tutaj jest hamiltonianem opisującym dynamikę mechaniki kwantowej, ${\ Displaystyle {\ hat {H}}$ masą odniesienia równą masie nukleonu, ${\ Displaystyle g ({\ bf {x}} - {\ bf {y}}) = e ^ {- {({\ bf {x}} - {\ bf {y}}) ^ {2}}/{4r_ {C} ^ {2}}}}$$}$ i pole szumu ${\ Displaystyle w_ {t}({\bf {x}})=\operatorname {d} \!W_{t}({\bf {x}})/\operatorname {d} \!t} ma zerową średnią i korelację$ równą

$${\ Displaystyle \ mathbb {E} [w_ {t} ({\ bf {x}}) w_ {s}({\bf {y}})]=g({\bf {x}}-{\bf {y}})\delta (ts)}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbb {E} [\ \ cdot \ ]}$ oznacza średnią stochastyczną w stosunku do szumu. W końcu piszemy

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {N}} _ {t} ({\ bf {x}}) = {\ kapelusz {M}} ({\ bf {x}}) - \ langle \ psi _ {t}|{\kapelusz {M}}({\bf {x}})|\psi _{t}\rangle ,}$$

gdzie ${\ Displaystyle {\ kapelusz {M}} ({\ bf {x}})}$ jest operatorem gęstości masy, który brzmi

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {M}} ({\ bf {x}}) = \sum _{j}m_{j}\sum _{s}{\kapelusz {a}}_{j}^{\sztylet}({\bf {x}},s){\kapelusz {a}} _{j}({\bf {x}},s),}$$

gdzie ${\ Displaystyle {\ kapelusz {a}} _ {j} ^ {\ sztylet} ({\ bf {y}}, s)}$ i ${\ Displaystyle {\ hat {a}} _ {j} ({\ bf {y}}, s)} są$ odpowiednio drugim skwantyzowanym operatorem tworzenia i anihilacji cząstki typu ${\ displaystyle j}$ ze spinem ${\ Displaystyle s}$ w punkcie masy ${\ Displaystyle {\ bf {y}}}$${\ Displaystyle m_ {j}}$ . Użycie tych operatorów spełnia warunek zachowania właściwości symetrii identycznych cząstek. Ponadto proporcjonalność masy automatycznie realizuje mechanizm wzmocnienia. $.$ formy podstawy

$\ displaystyle r_ {C}}$ CSL jest określane ilościowo przez wartości dwóch parametrów fenomenologicznych ${$ r . Pierwotnie proponowany model Ghirardi-Rimini-Weber ${\ Displaystyle \ lambda = 10 ^ {-17} \,}$ s ${\ Displaystyle ^ {- 1}}$ w ${ \ Displaystyle r_ {C} = 10 ^ {- 7} \,}$ m, podczas gdy później Adler rozważał większe wartości: ${\ Displaystyle \ lambda = 10 ^ {- 8 \ pm 2} \,}$ s ${\ Displaystyle ^ {- 1}}$ dla $\ Displaystyle r_ {C} = 10 ^ {- 7} \,}$ m i ${\ Displaystyle \ lambda = 10 ^ {- 6 \ pm 2} \,}$ s ${\ Displaystyle ^ {- 1}}$ dla $\ Displaystyle r_ {C} = 10 ^ {- 6} \,}$ M. Ostatecznie wartości te muszą być ograniczone przez eksperymenty.

Z dynamiki funkcji falowej można uzyskać odpowiednie równanie główne dla operatora statystycznego ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ rho}} _ {t}}$ :

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ nazwa operatora {d} \! {\ kapelusz {\ rho}} _ {t}} {\ nazwa operatora {d} \! t}} = - {\ frac {i} {\ hbar} }\left[{\kapelusz {H}},{{\kapelusz {\rho}}_{t}}\right]-{\frac {\lambda}}{2m_{0}^{2}}}\int \operatorname {d} \!{\bf {x}}\int \operatorname {d} \!{\bf {y}}\,g({\bf {x}}-{\bf {y}}) \left[{{\kapelusz {M}}({\bf {x}})},\left[{{{\kapelusz {M}}({\bf {y}})},{{\kapelusz { \rho }}_{t}}}\prawo]\prawo].}$$

Gdy równanie główne zostanie przedstawione w podstawie pozycji, staje się jasne, że jego bezpośrednim działaniem jest diagonalizacja macierzy gęstości w pozycji. Czyta się, że dla pojedynczej punktowej cząstki o masie ${\ displaystyle m}$

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy \ langle {{\ bf {x}} | {\ kapelusz {\ rho}} _ {t} | {\ bf {y}}} \ rangle} {\ częściowy t}}=-{\frac {i}{\hbar }}\langle {{\bf {x}}|\left[{\kapelusz {H}},{{\kapelusz {\rho}}_{t }}\right]|{\bf {y}}}\rangle -\lambda {\frac {m^{2}}{m_{0}^{2}}}\left(1-e^{-{ \tfrac {({\bf {x}}-{\bf {y}})^{2}}{4r_{C}^{2}}}}\right)\langle {{\bf {x}} |{\kapelusz {\rho}}_{t}|{\bf {y}}}\rangle ,}$$

gdzie wyrazy poza przekątną, które $zanikają$ wykładniczo $są$ , wyrazy ukośne, scharakteryzowane przez . W przypadku układu złożonego współczynnik zapadania się pojedynczej cząstki należy zastąpić współczynnikiem układu złożonego ${\ displaystyle \ lambda}$

$${\ Displaystyle \ lambda {\ Frac {m ^ {2}} {m_ {0} ^ {2}}} \ do \ lambda {\ Frac {r_ {C} ^ {3 }}{\pi ^{3/2}m_{0}^{2}}}\int \operatorname {d} \!{\bf {k}}|{\tylda {\mu}}({\bf {k}})|^{2}e^{-k^{2}r_{C}^{2}},}$$

gdzie $.$ układu

Testy eksperymentalne

W przeciwieństwie do większości innych proponowanych rozwiązań problemu pomiarowego, modele upadku można przetestować eksperymentalnie. Eksperymenty testujące model CSL można podzielić na dwie klasy: eksperymenty interferometryczne i nieinterferometryczne, które odpowiednio badają bezpośrednie i pośrednie efekty mechanizmu kolapsu.

Eksperymenty interferometryczne

interferometryczne mogą wykryć bezpośrednie działanie kolapsu, czyli zlokalizować funkcję falową w przestrzeni. Obejmują one wszystkie eksperymenty, w których generowana jest superpozycja i po pewnym czasie sondowana jest jej interferencja. Działanie CSL polega na redukcji kontrastu interferencyjnego, który jest kwantyfikowany przez redukcję pozadiagonalnych wyrazów operatora statystycznego

$${\ Displaystyle \ rho (x, x', t) = {\ Frac {1} {2 \ pi \ hbar}} \ int _ {- \ infty }^{+\infty }\operatorname {d} \!k\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} \!w\,e^{-ikw/\hbar }F_{ CSL}(k,xx',t)\rho ^{QM}(x+w,x'+w,t),}$$

gdzie ${\ textstyle \ rho ^ {QM}}$ oznacza operator statystyczny opisany przez mechanikę kwantową, a my definiujemy

$${\ Displaystyle F_ {CSL} (k, q, t) = \ exp {\ bigg [} - \ lambda {\ Frac {m ^ {2}} {m_ {0} ^ {2}}} t \ lewo ( 1-{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\operatorname {d} \!\tau \,e^{-{(q-{\frac {k\tau}} m}})^{2}}/{4r_{C}^{2}}}\right){\bigg ]}.}$$

Eksperymenty testujące taką redukcję kontrastu interferencyjnego przeprowadza się z zimnymi atomami, cząsteczkami i splątanymi diamentami.

Podobnie można również określić ilościowo minimalną wytrzymałość na zawalenie, aby rozwiązać problem pomiaru na poziomie makroskopowym. W szczególności oszacowanie można uzyskać, wymagając, aby superpozycja jednowarstwowego dysku grafenowego o promieniu m zapadła się w mniej niż $} simeq 10^{-2}}$$displaystyle \ simeq 10 ^ {$ s.

Eksperymenty nieinterferometryczne

Eksperymenty nieinterferometryczne polegają na testach CSL, które nie opierają się na przygotowaniu superpozycji. Wykorzystują pośredni efekt zawalenia się, który polega na ruchu Browna wywołanym interakcją z hałasem zawalenia się. Efekt tego szumu sprowadza się do efektywnej siły stochastycznej działającej na układ i można zaprojektować kilka eksperymentów w celu ilościowego określenia takiej siły. Zawierają:

• Emisja promieniowania z cząstek naładowanych . Jeśli cząstka jest naładowana elektrycznie, działanie sprzężenia z hałasem zapadania się spowoduje emisję promieniowania. Wynik ten kontrastuje netto z przewidywaniami mechaniki kwantowej, zgodnie z którą nie oczekuje się żadnego promieniowania od swobodnej cząstki. Przewidywana szybkość emisji indukowana przez CSL przy częstotliwości ${\ displaystyle$ cząstki o ładunku jest dana wzorem: $\ omega }$

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ nazwa operatora {d} \! \ Gamma (\ omega)} {\ nazwa operatora { d} \!\omega }}={\frac {\hbar Q^{2}\lambda }{2\pi ^{2}\epsilon _{0}c^{3}m_{0}^{2} r_{C}^{2}\omega}},}$$

gdzie $stałą$ dielektryczną próżni i $prędkością$ światła. To przewidywanie CSL można przetestować, analizując widmo emisji promieniowania rentgenowskiego z masowej masy testowej germanu.

• Ogrzewanie w materiałach sypkich . Przewidywanie CSL to wzrost całkowitej energii układu. Na przykład całkowita energia swobodnej cząstki o masie $Displaystyle$ trzech wymiarach rośnie liniowo w czasie zgodnie z mi { $E}$
  $${\ Displaystyle E (t) = E (0) + {\ Frac {3 m \ lambda \ hbar ^ {2}} { 4m_{0}^{2}r_{C}^{2}}}t,}$$
  gdzie $początkową$ układu Ten wzrost jest faktycznie niewielki; $\ simeq 10 ^ {-14}$ przykład temperatura atomu wodoru wzrasta o K wartości ${\ Displaystyle$ s ${\ Displaystyle ^ {- 1}}$ i $\ Displaystyle r_ {C} = 10 ^ {- 7}}$ m. Chociaż niewielki, taki wzrost energii można przetestować, monitorując zimne atomy. oraz materiały sypkie, takie jak sieci Bravais, eksperymenty w niskich temperaturach, gwiazdy neutronowe i planety

• Efekty dyfuzyjne . Innym przewidywaniem modelu CSL jest wzrost rozrzutu położenia środka masy układu. Dla cząstki swobodnej odczytuje się rozłożenie pozycji w jednym wymiarze
  $${\ Displaystyle \ langle {{\ kapelusz {x}} ^ {2}} \ rangle _ {t }=\langle {{\kapelusz {x}}^{2}}\rangle _{t}^{(QM)}+{\frac {\hbar ^{2}\eta t^{3}}{3m ^{2}}},}$$
  gdzie ${\ Displaystyle \ langle {{\ kapelusz {x}} ^ {2}} \ rangle _ {t} ^ {(QM)}}$ jest swobodnym rozrzutem mechaniki kwantowej i ${\ displaystyle \ eta}$ to stała dyfuzji CSL, zdefiniowana jako
  $${\ Displaystyle \ eta = {\ Frac {\ lambda r_ {C} ^ {3}} {2 \ pi ^ {3/2} m_ {0} ^ {2}}} \ int \ nazwa operatora {d} \!{\bf {k}}\,e^{-{\bf {k}}^{2}r_{C}^{2}}k_{x}^{2}|{\tylda {\mu }}({\bf {k}})|^{2},}$$
  $,$ że ruch zachodzi wzdłuż ; ${\ Displaystyle {\ tylda {\ mu}} ({\ bf {k}})}$ to transformata Fouriera gęstości masy ${\ Displaystyle \ mu ({\ bf {r} })}$ . W eksperymentach taki wzrost jest ograniczony szybkością rozpraszania ${\ displaystyle \ gamma}$ . Zakładając, że eksperyment przeprowadza się w temperaturze $T$$}$ o masie $,$ harmonicznie uwięziona na częstotliwości w równowadze osiąga rozrzut w podanej pozycji T {\ displaystyle przez
  $${\ Displaystyle \ langle {{\ kapelusz {x}} ^ {2}} \ rangle _ {równ.} = {\frac {k_{B}T}{m\omega _{0}^{2}}}+{\frac {\hbar ^{2}\eta}{2m^{2}\omega _{0} ^{2}\gamma}},}$$
  gdzie $jest$ stałą Kilka eksperymentów może przetestować taki spread. Obejmują one ekspansję bez zimnych atomów, nano-wsporniki schłodzone do temperatur milikelwinów, detektory fal grawitacyjnych, lewitowaną optomechanikę, wahadło torsyjne.

Rozpraszające i kolorowe rozszerzenia

Model CSL konsekwentnie opisuje mechanizm upadku jako proces dynamiczny. Ma jednak dwa słabe punkty.

• CSL nie zachowuje energii izolowanych systemów . Chociaż wzrost ten jest niewielki, jest to nieprzyjemna cecha dla modelu fenomenologicznego. Rozpraszające rozszerzenie modelu CSL daje lekarstwo. $w$ się skończoną temperaturę, której system ostatecznie . Zatem dla swobodnej punktowej cząstki o masie w trzech wymiarach ewolucja energii jest opisana przez m $\ displaystyle m}$
  $${\ Displaystyle E (t) = e ^ {- \ beta t} (E (0) -E_ {jak}) +E_{jako},}$$
  gdzie ${\ Displaystyle \ beta = 4 \ chi \ lambda / (1 + \ chi) ^ {5}}$${\ Displaystyle E_ {as} = {\ tfrac {3} {2}} k_ {B} T_ {CSL}$ } i ${\ Displaystyle \ chi =\hbar ^{2}/(8m_{0}k_{B}T_{CSL}r_{C}^{2})}$ . Zakładając, że szum CSL ma pochodzenie kosmologiczne (co jest rozsądne ze względu na jego rzekomą uniwersalność), prawdopodobną wartością, taką jak temperatura, jest K, chociaż tylko eksperymenty mogą wskazać ${\ Displaystyle T_ {CSL} = 1$ określona wartość. Kilka testów interferometrycznych i nieinterferometrycznych ogranicza przestrzeń parametrów CSL dla różnych wyborów ${\ displaystyle T_ {CSL}}$ .

• Widmo szumu CSL jest białe . Jeśli przypisuje się fizyczne pochodzenie szumowi CSL, to jego widmo nie może być białe, ale kolorowe. W szczególności zamiast $szumu$ białego , którego korelacja do delty Diraca w czasie, szum inny niż biały , który charakteryzuje się nietrywialną funkcją korelacji czasowej ${\ Displaystyle f (t)}$ . Efekt można określić ilościowo przez przeskalowanie , które staje się ${\ Displaystyle F_ {CSL} (k, q, t)$
  $${\ Displaystyle F_ {cCSL} (k, q, t) = F_ {CSL} (k, q, t) \ exp \ lewo [{\ Frac {\ lambda$$
  gdzie ${\ Displaystyle {\ bar {\ tau}} = \ int _ {0} ^ {t} \ nazwa operatora {d} \! S \, f (s)}$ . Jako przykład można rozważyć zanikający wykładniczo szum, którego funkcja korelacji w czasie może mieć postać ${\ Displaystyle f (t) = {\ tfrac {1} {2}} \ Omega _ {C} e ^ {- \ Omega _ {C} | t |}}$ . W ten sposób wprowadza się odcięcie częstotliwości $.$ korelacji szumów Parametr działa teraz jako trzeci parametr kolorowego modelu CSL wraz z i $C}}$$displaystyle$${$ . Zakładając kosmologiczne pochodzenie hałasu, rozsądne jest przypuszczenie ${\ Displaystyle \ Omega _ {C} = 10 ^ {12} \,}$ Hz. Jeśli chodzi o rozszerzenie dyssypatywne, granice $.$ uzyskano dla różnych wartości : obejmują one testy interferometryczne i