Teoria Ghirardiego – Riminiego – Webera

Ghirardiego – Riminiego – Webera ( GRW ) to teoria spontanicznego upadku w mechanice kwantowej , zaproponowana w 1986 roku przez Giancarlo Ghirardiego , Alberto Riminiego i Tullio Webera .

Problem pomiarowy i zawalenia samoistne

Mechanika kwantowa ma dwie zasadniczo różne zasady dynamiczne: liniowe i deterministyczne równanie Schrödingera oraz nieliniowy i stochastyczny postulat redukcji pakietu falowego . Ortodoksyjna interpretacja, czyli kopenhaska interpretacja mechaniki kwantowej, zakłada załamanie funkcji falowej za każdym razem, gdy obserwator wykonuje pomiar. Pojawia się zatem problem zdefiniowania, czym jest „obserwator” i „pomiar”. Inną kwestią mechaniki kwantowej jest przewidywanie superpozycji obiektów makroskopowych, których nie obserwuje się w Naturze (zob paradoks kota Schrödingera ). Teoria nie mówi, gdzie przebiega granica między światem mikroskopowym i makroskopowym, czyli kiedy mechanika kwantowa powinna zostawić miejsce mechanice klasycznej . Powyższe zagadnienia stanowią problem pomiarowy w mechanice kwantowej.

Teorie upadku pozwalają uniknąć problemu pomiaru, łącząc dwie dynamiczne zasady mechaniki kwantowej w unikalny opis dynamiczny. Fizyczna idea, która leży u podstaw teorii kolapsu, polega na tym, że cząstki ulegają spontanicznym kolapsom funkcji falowej, które zachodzą losowo zarówno w czasie (z określoną średnią szybkością), jak iw przestrzeni (zgodnie z regułą Borna) . ). W ten sposób unika się nieprecyzyjnego mówienia o „obserwatorze” i „pomiarze”, które jest plagą ortodoksyjnej interpretacji, ponieważ funkcja falowa załamuje się spontanicznie. Co więcej, dzięki tak zwanemu „mechanizmowi amplifikacji” (omówionemu później), teorie kolapsu odzyskują zarówno mechanikę kwantową dla obiektów mikroskopowych, jak i mechanikę klasyczną dla obiektów makroskopowych.

GRW jest pierwszą teorią spontanicznego upadku, która została opracowana. W następnych latach dziedzina ta rozwinęła się i zaproponowano różne modele, między innymi model CSL , który jest sformułowany w kategoriach identycznych cząstek; model Diósiego – Penrose'a , który wiąże spontaniczne zapadanie się z grawitacją; model QMUPL, który dowodzi ważnych wyników matematycznych teorii upadku; kolorowy model QMUPL, jedyny model upadku obejmujący kolorowe procesy stochastyczne, dla którego znane jest dokładne rozwiązanie.

Teoria

Pierwszym założeniem teorii GRW jest to, że funkcja falowa (lub wektor stanu) przedstawia najdokładniejszą możliwą specyfikację stanu układu fizycznego. Jest to cecha, którą teoria GRW dzieli ze standardowymi interpretacjami mechaniki kwantowej i odróżnia ją od teorii ukrytych zmiennych , takich jak teoria de Broglie-Bohma , zgodnie z którym funkcja falowa nie daje pełnego opisu układu fizycznego. Teoria GRW różni się od standardowej mechaniki kwantowej dynamicznymi zasadami, według których ewoluuje funkcja falowa. Po bardziej filozoficzne zagadnienia związane z teorią GRW i ogólnie z teoriami upadku należy się odnieść do.

Zasady pracy

Każda cząstka układu opisana wielocząstkową funkcją falową ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ niezależnie przechodzi spontaniczny proces lokalizacji (lub skok):

${\ Displaystyle |\ psi \ rangle \ rightarrow {\ Frac {|\ psi _ {x} ^ {i} \ rangle} {\ sqrt {\ langle \ psi _ {x} ^ {i} |\ psi _{x}^{i}\rangle }}}}$ ,

gdzie ${\ Displaystyle |\ psi _ {x} ^ {i} \ rangle = {\ kapelusz {L}} _ {x} ^ {i} | \ psi \ rangle} to stan po$ operatorze ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {x} ^ {i}}$ zlokalizował $displaystyle$ cząstkę wokół pozycji $x}$ .

Proces lokalizacji jest losowy zarówno w czasie, jak iw przestrzeni. Skoki mają Poissona w czasie ze średnią szybkością ${\ displaystyle \ lambda}$ ; gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia skoku $pozycji$ wynosi ${\ Displaystyle P_ {i} (x) = \ langle \ psi _ {x} ^ {i} | \ psi _ {x} ^ {i} \ rangle}$ .
Operator lokalizacji ma postać Gaussa :

${\ Displaystyle {\ kapelusz {L}} _ {x} ^ {i} = \ lewo ( {\frac {1}{\pi r_{C}^{2}}}\right)^{\frac {3}{4}}e^{-{\frac {({\kapelusz {q}}_ {i}-x)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}}$ ,

gdzie ${ \$ operatorem pozycji $-tej$ cząstki, a $}}$ jest .

Pomiędzy dwoma procesami lokalizacji funkcja falowa ewoluuje zgodnie z równaniem Schrödingera .

Zasady te można wyrazić w bardziej zwięzły sposób za pomocą formalizmu operatora statystycznego . $załamanie , tj$ , w przedziale czasu istnieje prawdopodobieństwo $,$ ${\ Displaystyle \ rho =|\ psi \ rangle \ langle \ psi |}$ stan czysty przekształca się w następującą mieszaninę statystyczną:

${\ Displaystyle {\ kapelusz {T}} _ {i} [\ rho] \ równoważnik \ int dx \ {\ kapelusz {L}} _ {x} ^ {i} | \ psi \ rangle \ kąt \psi |{\ kapelusz {L}}_{x}^{i}}$ .

W tym samym przedziale czasu istnieje prawdopodobieństwo $z$ system ewoluuje zgodnie $z tym$ brzmi główne równanie GRW dla

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}}\rho (t)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\kapelusz {H}},\rho (t)]-\suma _{i=1}^{N} \lambda _{i}\left(\rho (t)-{\kapelusz {T}}_{i}[\rho ]\right)}$ ,

gdzie jest $hamiltonianem$ , a nawiasy kwadratowe komutator .

$zapadania$ GRW wprowadza dwa nowe parametry, a mianowicie szybkość $i$ lokalizacji . Są to parametry fenomenologiczne, których wartości nie są ustalone żadną zasadą i należy je rozumieć jako nowe stałe Natury. Porównanie przewidywań modelu z danymi eksperymentalnymi pozwala na ograniczenie wartości parametrów (patrz model CSL). Szybkość zapadania się powinna być taka, aby mikroskopijne obiekty prawie nigdy nie były zlokalizowane, co skutecznie przywraca standardową mechanikę kwantową. Pierwotnie proponowana wartość wynosiła ${\ Displaystyle \ lambda = 10 ^ {-16} \ operatorname {s} ^ {-1}}$ , podczas gdy ostatnio Stephen L. Adler zaproponował, że wartość $.$ rzędów wielkości) jest bardziej odpowiedni Istnieje ogólna zgoda co do wartości ${\ Displaystyle r_ {C} = 10 ^ {- 7} \ operatorname {m}}$ dla odległości lokalizacyjnej. Jest to odległość mezoskopowa, w której superpozycje mikroskopowe pozostają niezmienione, a makroskopowe są załamane.

Przykłady

Kiedy funkcja falowa zostaje uderzona nagłym skokiem, działanie operatora lokalizacji zasadniczo skutkuje pomnożeniem funkcji falowej przez załamanie Gaussa.

Rozważmy funkcję falową Gaussa z rozpiętością $x =a}$ $punkcie$ w i załóżmy, że podlega ona procesowi lokalizacji w pozycji $za$ . Tak więc ma się (w jednym wymiarze)

${\ Displaystyle \ psi (x) = {\ Frac {1} {(\ pi \ sigma) ^ {\ Frac {1} {4}}}} \, e ^ {-{\frac {(xa)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\quad \longrightarrow \quad \psi _{a}(x)={\hat {L}}_{ x=a}\,\psi (x)={\cal {N}}e^{-{\frac {(xa)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}\,e ^{-{\frac {(xa)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ ,

gdzie jest współczynnikiem normalizacji. ${\ displaystyle {\ cal {N}}}$ Załóżmy dalej, że stan początkowy jest zdelokalizowany, tj. ${\ displaystyle \ sigma \ gg r_ {C}}$ . W tym przypadku jeden ma

${\ Displaystyle \ psi _ {a} (x) \ simeq {\ cal {N}} 'e ^ {- {\ Frac { (xa)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}}$ ,

gdzie ${\ displaystyle {\ cal {N}} '}$ jest kolejnym czynnikiem normalizującym. Stwierdza się zatem, że po wystąpieniu nagłego skoku, początkowo zdelokalizowana funkcja falowa została zlokalizowana.

Innym interesującym przypadkiem jest sytuacja, gdy stan początkowy jest superpozycją dwóch stanów Gaussa, wyśrodkowanych odpowiednio w ${\ displaystyle x = -a}$ i ${\ displaystyle x = a}$ odpowiednio: ${\ Displaystyle \ psi (x) = {\ Frac {1} {2 (\ pi \ sigma) ^ {\ Frac {1} {4}}}} \, \ lewo [ e^{-{\frac {(x+a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {(xa)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\prawo]}$ . Jeśli lokalizacja występuje np. w okolicach ${\ displaystyle x=a},$ ma się

${\ Displaystyle \ psi _ {a} (x) = {\ cal {N}} e ^ {- {\ Frac {(xa) ^ {2}} {2r_ {C} ^ {2} }}}\left[e^{-{\frac {(x+a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {(xa)^{2 }}{2\sigma ^{2}}}}\right]={\cal {N}}\left[e^{-{\frac {\sigma ^{2}+r_{C}^{2} }{2\sigma ^{2}r_{C}^{2}}}\,\left(x+{\frac {\sigma ^{2}-r_{C}^{2}}{\sigma ^{ 2}+r_{C}^{2}}}a\right)^{2}-{\frac {2a^{2}}{\sigma ^{2}+r_{C}^{2}}} }+e^{-{\frac {\sigma ^{2}+r_{C}^{2}}{2\sigma ^{2}r_{C}^{2}}}\,(xa)^ {2}}\prawo]}$ .

Jeśli założyć, że każdy gaussowski jest zlokalizowany ( ) $\ displaystyle 2a \ gg r_ {C$ $2$ superpozycja jest zdelokalizowana ( ), znajduje się

${\ Displaystyle \ psi _ {a} (x) \ simeq {\ cal {N}} '\ lewo [e ^ {- {\ Frac {\ lewo (x + a \ prawo) ^ {2}} {2 \ sigma ^{2}}}-{\frac {2a^{2}}{r_{C}^{2}}}}+e^{-{\frac {(xa)^{2}}{2\ sigma ^{2}}}}\right]}$ .

Widzimy zatem, że gaussowski trafiony przez lokalizację pozostaje niezmieniony, podczas gdy drugi jest tłumiony wykładniczo.

Mechanizm amplifikacji

Jest to jedna z najważniejszych cech teorii GRW, ponieważ pozwala nam odzyskać mechanikę klasyczną dla obiektów makroskopowych. Rozważmy sztywne ciało $statystyczny$ ewoluuje zgodnie z głównym równaniem opisanym powyżej. Wprowadzamy środek masy ( $i$ $)$ ( operatory położenia, które przepisz operator pozycji każdej cząstki w następujący sposób: ${\ Displaystyle {\ kapelusz {q}} _ {i} = {\ kapelusz {Q}} + {\ kapelusz {r}} _ {i}}$ . Można pokazać, że kiedy system hamiltonian można podzielić na środek masy hamiltonian ${\ Displaystyle H$ względny hamiltonian $operatorname {CM}}}$ \ operatora statystycznego masy ewoluuje zgodnie z następującym głównym równaniem: ${\ Displaystyle \ rho _ {\ operatorname {CM}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ rho _ {\ operatorname {CM}} (t) = - {\ Frac {i} {\ hbar}} [{\ kapelusz {H}} _ {\mathrm {CM}},\rho _{\mathrm {CM}}(t)]-\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\left(\rho _{\mathrm {CM}}(t)-{\kapelusz {T}}_{\mathrm {CM}}[\rho _{\mathrm {CM}}(t)]\right)}$ ,

Gdzie

${\ Displaystyle {\ kapelusz {T}} _ {\ operatorname {CM}} [\ rho _ {\ operatorname {CM}} (t)] = \ lewo ({\ Frac {1} {\pi r_{C}^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{\infty}^{\infty}d^{3}x\,e^{ -{\frac {({\hat {Q}}-x)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}\,\rho _{\mathrm {CM}}(t)\, e^{-{\frac {({\kapelusz {Q}}-x)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}}$ .

Widać więc, że środek masy zapada się z szybkością, $jest$ sumą szybkości jego składników: to jest mechanizm wzmocnienia. Jeśli dla uproszczenia założymy, że wszystkie cząstki zapadają się z tą samą szybkością , po prostu otrzymujemy $\ Lambda = N \, \ lambda$ $Displaystyle$ .

$załamuje się niemal$ z liczby nukleonów Avogadra ( : wartości GRW $dają$ odpowiednio ${\ Displaystyle \ Lambda = 10 ^ {7} \, \ operatorname {s} ^ {-1}}$ i ${\ Displaystyle \ Lambda = 10 ^ {15} \, \ operatorname {s} ^{-1}}$ . W ten sposób zagwarantowana jest szybka redukcja superpozycji obiektów makroskopowych, a teoria GRW skutecznie przywraca mechanikę klasyczną dla obiektów makroskopowych.

Inne funkcje

Teoria GRW przewiduje inne przewidywania niż standardowa mechanika kwantowa i jako taka może być z nią testowana (patrz model CSL).
Hałas zapadania się wielokrotnie odbija cząsteczki, indukując w ten sposób proces dyfuzji ( ruchy Browna ). Wprowadza to stałą ilość energii do układu, prowadząc tym samym do naruszenia zachowania energii . W $czasie$ można pokazać, że energia rośnie liniowo a obiekt makroskopowy wynosi ${\ Displaystyle \ simeq 10 ^ {- 14} \ operatorname {erg \, \, s} ^ {- 1}}$ . Chociaż taki wzrost energii jest znikomy, ta cecha modelu nie jest atrakcyjna. Z tego powodu zbadano dyssypatywne rozszerzenie teorii GRW.
Teoria GRW nie dopuszcza identycznych cząstek. Rozszerzenie teorii o identyczne cząstki zaproponował Tumulka.
GRW nie jest teorią relatywistyczną, jej relatywistyczne rozszerzenie na cząstki nieoddziałujące zostało zbadane przez Tumulkę, podczas gdy modele interakcji są nadal badane.
Główne równanie teorii GRW opisuje proces dekoherencji , zgodnie z którym elementy pozadiagonalne operatora statystycznego są tłumione wykładniczo. Jest to cecha, którą teoria GRW dzieli z innymi teoriami kolapsu: te, które dotyczą białych szumów, są powiązane z głównymi równaniami Lindblada , podczas gdy kolorowy model QMUPL jest zgodny z głównym równaniem Gaussa, które nie jest Markowianem.

Zobacz też