Model Diosiego-Penrose'a

Diósi -Penrose'a został wprowadzony jako możliwe rozwiązanie problemu pomiarowego , w którym załamanie funkcji falowej jest związane z grawitacją. Model został po raz pierwszy zasugerowany przez Lajosa Diósiego podczas badania, w jaki sposób możliwe fluktuacje grawitacyjne mogą wpływać na dynamikę układów kwantowych. Później, podążając innym tokiem rozumowania, R. Penrose doszedł do oszacowania czasu zapadania się superpozycji spowodowanego efektami grawitacyjnymi, który jest taki sam (w ramach nieistotnego czynnika liczbowego), jak ten znaleziony przez Diósiego, stąd nazwa Diósi- modelu Penrose'a. Należy jednak zauważyć, że podczas gdy Diósi podał precyzyjne dynamiczne równanie zapadania się, Penrose przyjął bardziej konserwatywne podejście, szacując jedynie czas zapadania się superpozycji.

Model Diosiego

W modelu Diósiego załamanie funkcji falowej jest indukowane oddziaływaniem układu z klasycznym polem szumu, gdzie przestrzenna funkcja korelacji tego szumu jest związana z potencjałem newtonowskim. Ewolucja wektora stanu ${\ Displaystyle |\ psi _ {t} \ rangle}$ odbiega od równania Schrödingera i ma typową strukturę równań modeli upadku :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} d | \ psi _ {t} \ rangle & = {\ Bigg [} - {\ Frac {i} {\ hbar}} H \, dt + {\ sqrt { \frac {G}{\hbar }}}\int d\mathbf {x} \,{\big (}{\mathcal {M}}(\mathbf {x} )-\langle {\mathcal {M}} (\mathbf {x} )\rangle _{t}{\big )}\,dW(\mathbf {x} ,t)\\&\qquad {}-{\frac {G}{2\hbar }} \int d\mathbf {x} \int d\mathbf {y} \,{\frac {{\big (}{\mathcal {M}}(\mathbf {x} )-\langle {\mathcal {M} }(\mathbf {x} )\rangle _{t}{\big )}{\big (}{\mathcal {M}}(\mathbf {y})-\langle {\mathcal {M}}(\ mathbf {y} )\rangle _{t}{\big )}}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dt{\Bigg ]}|\psi _{t}\rangle ,\koniec {wyrównane}}}

()

Gdzie

{\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (\ mathbf {x}) = \ suma _ {j} m_ {j} \ mu _ { R_{0}}(\mathbf {x} -{\kapelusz {\mathbf {x}}}_{j})}

()

jest funkcją gęstości masy, gdzie ${\ Displaystyle m_ {j}}$ , ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {x}}} _ {j}}$ i $)}$ ${\ Displaystyle \ mu _ {R_ {0}} (\ mathbf {x$ $-tej$ odpowiednio masa, operator położenia i funkcja gęstości masy cząstki układu. ${\ displaystyle R_ {0}}$ to parametr wprowadzony w celu rozmycia funkcji gęstości masy, wymaganej od przyjęcia punktowego rozkładu masy

{\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ tekst {punkt}} (\ mathbf {x}) = \ suma _ {j=1}^{N}m_{j}\delta (\mathbf {x} -{\kapelusz {\mathbf {x}}}_{j})}

prowadziłoby do rozbieżności w przewidywaniach modelu, np. nieskończonej szybkości zapadania się lub wzrostu energii. Zazwyczaj dwa różne rozkłady gęstości masy ${\ Displaystyle \ mu _ {R_ {0}} (\ mathbf {x} - {\ kapelusz {\ mathbf {x}}} _ { j})}$ rozważano w literaturze: sferyczny lub gaussowski profil gęstości masy, podany odpowiednio przez

{\ Displaystyle \ mu _ {R_ {0}} ^ {\ tekst {s}} (\ mathbf {x} -{\hat {\mathbf {x}}}_{j})={\frac {3}{4\pi R_{0}^{3}}}\theta {\big (}| \mathbf {x} -{\kapelusz {\mathbf {x}}}_{j}|-R_{0}{\big )}}

I

{\ Displaystyle \ mu _ {R_ {0}} ^ {\ tekst {g}} (\ mathbf {x} - {\ kapelusz {\ mathbf {x}}} _ {j}) = {\ frac {1} {(2\pi R_{0}^{2})^{3/2}}}\,\exp \left(-{\frac {(\mathbf {x} -{\kapelusz {\mathbf {x} }}_{j})^{2}}{2R_{0}^{2}}}\prawo).}

Wybór jednego lub drugiego rozkładu ${\ Displaystyle \ mu _ {R_ {0}} (\ mathbf {x} - {\ kapelusz {\ mathbf {x}}} _ {j})} nie wpływa$ $znacząco$ na przewidywania modelu, o ile brana jest pod uwagę ta sama wartość . ${dt}}}$ ${\ Displaystyle w (\ mathbf {x}, t): = {\ Frac {dW (\ mathbf {x}, t)$ } w równaniu ( 1 ) ma zerową średnią i korelację określoną przez

{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ lewo [w (\ mathbf {x}, t) w (\ mathbf {y}, s) \ prawej] = {\ Frac {1} {| \mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\delta (ts),}

()

gdzie „ ${\ displaystyle \ mathbb {E}}$ ” oznacza średnią z szumu. Można wtedy zrozumieć z równania. ( 1 ) i ( 3 ) w tym sensie model jest powiązany z grawitacją: stała sprzężenia między układem a hałasem jest proporcjonalna do stałej grawitacji $i$ przestrzennej pola szumu $ma$ typową postać Podobnie jak inne modele upadku, model Diósiego – Penrose'a ma następujące dwie cechy:

Model opisuje załamanie pozycji.
Istnieje mechanizm amplifikacji, który gwarantuje, że bardziej masywne obiekty lokalizują się efektywniej.

Aby pokazać te cechy, wygodnie jest napisać główne równanie dla operatora statystycznego ${\ Displaystyle \ rho (t) = \ mathbb {E} {\ duży [} | \ psi _ {t} \ rangle \ langle \ psi _ {t} | {\ duży ]}} odpowiada równaniu$ . ( 1 ):

{\ Displaystyle {\ Frac {d \ rho (t)} {dt}} = - {\ Frac {i} {\ hbar}} [H, \ rho (t)] + {\ Frac {G} {\ hbar }}\iint {\frac {d\mathbf {x} \,d\mathbf {y} }{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\left({\mathcal {M}}( \mathbf {x} )\rho (t){\mathcal {M}}(\mathbf {y})-{\frac {1}{2}}\{{\mathcal {M}}(\mathbf {x } ){\mathcal {M}}(\mathbf {y}),\rho (t)\}\right).}

()

Warto zauważyć, że to główne równanie zostało ostatnio ponownie wyprowadzone przez L. Diósiego przy użyciu podejścia hybrydowego, w którym skwantowane masywne cząstki oddziałują z klasycznymi polami grawitacyjnymi.

Jeśli weźmiemy pod uwagę równanie główne w bazie pozycji, wprowadzając ${\ Displaystyle \ rho ({\ vec {\ boldsymbol {a}}}, {\ vec {\ boldsymbol {b}}}, t): = \ langle {\ vec {\ boldsymbol {a}}} |\rho (t)|{\vec {\boldsymbol {b}}}\rangle }$ z ${\ Displaystyle | {\ vec {\ pogrubiony symbol {a}}} \ rangle: = | {\ pogrubiony symbol {a}} _ {1} \ rangle \ otimes \ kropki \ otimes | {\ pogrubiony symbol {a}} _{N}\rangle }$ , gdzie ${\ Displaystyle | {\ boldsymbol {a}} _ {j} \ rangle}$ $jest$ stanem własnym pozycji cząstki, pomijając swobodną ewolucję, którą można znaleźć

{\ Displaystyle {\ Frac {d \ rho ({\ vec {\ pogrubiony symbol {a}}},{\vec {\boldsymbol {b}}},t)}{dt}}=-\Lambda ({\vec {\boldsymbol {a}}},{\vec {\boldsymbol {b }}})\rho ({\vec {\boldsymbol {a}}},{\vec {\boldsymbol {b}}},t)}

()

z

{\ Displaystyle \ Lambda ({\ vec {\ boldsymbol {a}}}, {\ vec {\ boldsymbol {b}}}) = {\ Frac {G} {2 \ hbar}} \ iint d \ mathbf { x} \,d\mathbf {y} \,{\frac {{\big (}{\mathcal {M}}(\mathbf {x} ,{\vec {\boldsymbol {a}}})-{\ mathcal {M}}(\mathbf {x} ,{\vec {\boldsymbol {b}}}){\big )}{\big (}{\mathcal {M}}(\mathbf {y} ,{\ vec {\boldsymbol {a}}}) - {\mathcal {M}}(\mathbf {y}, {\vec {\boldsymbol {b}}}){\big)}}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}},}

()

Gdzie

{\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (\ mathbf {x}, {\ vec {\ boldsymbol {a}}}) :=\suma _{j}m_{j}\mu _{R_{0}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {a}}_{j})}

jest gęstością masy, gdy cząstki układu są wyśrodkowane w punktach ${\ displaystyle {\ boldsymbol {a}} _ {1}}$ , ..., ${\ displaystyle {\ boldsymbol {a}} _ {N}}$ . równanie ( 5 ) można rozwiązać dokładnie i otrzymujemy

{\ Displaystyle \ rho ({\ vec {\ boldsymbol {a}} },{\vec {\boldsymbol {b}}},t)=\rho ({\vec {\boldsymbol {a}}},{\vec {\boldsymbol {b}}},0)e^{- t/\tau _{\text{DP}}({\vec {\boldsymbol {a}}},{\vec {\boldsymbol {b}}})},}

()

Gdzie

{\ Displaystyle \ tau _ {\ text {DP}} ({\ vec {\ boldsymbol {a}}}, {\ vec {\ boldsymbol {b}}}) = {\ Frac {1} {\ Lambda ({ \vec {\boldsymbol {a}}}, {\vec {\boldsymbol {b}}}}}}.}

()

$, dla$ macierzy gęstości, gdy jeden ${\ Displaystyle \ Lambda ({\ vec {\ boldsymbol {a}}}, {\ vec {\ boldsymbol {a}}}) = 0}, tj. czas rozpadu dąży do nieskończoności$ , co sugeruje, że upadek nie ma wpływu na stany z dobrze zlokalizowaną pozycją. $,$ wyrażenia poza przekątną , są różne od zera, w grę wchodzi superpozycja przestrzenna, rozpadnie się z czasem rozpadu określonym przez równanie. ( 8 ).

Aby zorientować się, w jakiej skali kolaps indukowany grawitacyjnie staje się istotny, można obliczyć czas rozpadu w równaniu. ( 8 $)$ w przypadku kuli o promieniu masie $|$ superpozycji przestrzennej na odległość ${\ Displaystyle d: = | {\ boldsymbol {a}} - {\ boldsymbol {b}} |}$ . Następnie czas rozpadu można obliczyć) za pomocą równania. ( 8 ) z

{\ Displaystyle \ Lambda (d) = {\ rozpocząć {przypadki} {\ dfrac {6GM ^ {2}} {5R_ {0} \ hbar}} \ lewo ({\ dfrac {5} {3} }\lambda ^{2}-{\dfrac {5}{4}}\lambda ^{3}+{\dfrac {1}{6}}\lambda ^{5}\right)&{\text{kiedy }}0\leq \lambda \leq 1,\\{\dfrac {6GM^{2}}{5R_{0}\hbar }}\left(1-{\dfrac {5}{12\lambda }}\ po prawej)&{\text{kiedy}}\lambda \geq 1,\end{przypadki}}}

()

gdzie ${\ Displaystyle \ lambda = d / (2R_ {0})}$ . Aby podać kilka przykładów, jeśli weźmie się pod uwagę proton, dla którego ${\ Displaystyle m \ simeq 1,67 \ razy 10 ^ {-27}}$ kg i ${\ Displaystyle R_ {0} \ simeq 10 ^ {-15}}$ m, w superpozycji z ${\ Displaystyle d \ gg R_ {0}}$ τ $\ Displaystyle \ tau _ {\ tekst {DP}} \simeq 10^{6}}$ lat. Wręcz przeciwnie, dla ziarna pyłu o $\ simeq 6 \ razy 10 ^ {-12}}}$ m ${\ Displaystyle R_ {0} \ simeq 10 ^ {-5}}$ m, jeden dostaje jeden dostaje ${\ Displaystyle \ tau _ {\ tekst {DP}} \ simeq 10 ^ {-8}}$ s. Dlatego wbrew temu, czego można by się spodziewać, biorąc pod uwagę słabości siły grawitacyjnej, skutki kolapsu grawitacyjnego stają się istotne już w skali mezoskopowej.

Ostatnio model został uogólniony poprzez włączenie efektów dyssypatywnych i niemarkowskich.

Propozycja Penrose'a

Powszechnie wiadomo, że ogólna teoria względności i mechanika kwantowa , nasze najbardziej podstawowe teorie opisujące wszechświat, nie są ze sobą kompatybilne i nadal brakuje ich połączenia. Standardowym podejściem do przezwyciężenia tej sytuacji jest próba zmodyfikowania ogólnej teorii względności poprzez kwantyzację grawitacji . Penrose sugeruje przeciwne podejście, które nazywa „grawitacją mechaniki kwantowej”, gdzie mechanika kwantowa ulega modyfikacji, gdy efekty grawitacyjne stają się istotne. Rozumowanie leżące u podstaw tego podejścia jest następujące: weź masywny system dobrze zlokalizowanych stanów w przestrzeni. W tym przypadku, będąc stanem dobrze zlokalizowanym, indukowana krzywizna czasoprzestrzenna jest dobrze zdefiniowana. Zgodnie z mechaniką kwantową, ze względu na zasadę superpozycji, układ można umieścić (przynajmniej w zasadzie) w superpozycji dwóch dobrze zlokalizowanych stanów, co prowadziłoby do superpozycji dwóch różnych czasoprzestrzeni. Kluczową ideą jest to, że skoro metryka czasoprzestrzenna powinna być dobrze zdefiniowana, natura „nie lubi” tych superpozycji czasoprzestrzennych i tłumi je, sprowadzając funkcję falową do jednego z dwóch zlokalizowanych stanów.

Aby osadzić te idee na bardziej ilościowym gruncie, Penrose zasugerował, że sposobem pomiaru różnicy między dwiema czasoprzestrzeniami w granicy Newtona jest

{\ Displaystyle \ Delta E_ {G} = {\ Frac {1} {G}} \ int d {\ pogrubiony symbol {r}}\,{\big (}g_{a}({\boldsymbol {r}})-g_{b}({\boldsymbol {r}}){\big)}^{2},}

()

gdzie $g_ {i} ({\ boldsymbol {r}$ przyspieszeniem grawitacyjnym Newtonina w punkcie, w którym układ jest zlokalizowany wokół sol $Displaystyle$ } sol $\ Displaystyle g_ {i} ({\ boldsymbol {r}})}$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {i} ({ \boldsymbol {r}})}$ można zapisać w kategoriach odpowiednich potencjałów grawitacyjnych , tj. ${\ Displaystyle g_ {i} ({\ boldsymbol {r}}) = - \ nabla \ Phi _ {i} ( {\boldsymbol {r}})}$ . Używając tej relacji w równaniu. ( 9 ), wraz z równaniem Poissona ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi _ {i} ({\ boldsymbol {r}}) = 4 \ pi G \ mu _ {i} ({\ boldsymbol {r}})}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ mu _ {i} ({\ boldsymbol {r}})}$ podając gęstość masy gdy stan jest zlokalizowany wokół $i$ rozwiązanie, dochodzi się do

{\ Displaystyle \ Delta E_ {G} = 4 \ pi G \ int d {\ boldsymbol {r}} \ int d {\ boldsymbol {r}} '\, {\ Frac {[\ mu _ {a} ({ \boldsymbol {r}})-\mu _{b}({\boldsymbol {r}})][\mu _{a}({\boldsymbol {r}}')-\mu _{b}({ \boldsymbol {r}}')]}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}.}

()

niepewności czasowo-energetycznej Heisenberga :

{\ Displaystyle \ tau _ {G} = {\ Frac {\ hbar} {\ Delta E_ {G}}},}

()

który, poza współczynnikiem $wyprowadzony$ po prostu z zastosowania różnych konwencji, jest dokładnie taki sam, jak zanik czasu przez $}}}$ Model Diosiego. To jest powód, dla którego obie propozycje zostały nazwane razem modelem Diósiego – Penrose'a.

Niedawno Penrose zasugerował nowy i dość elegancki sposób uzasadnienia potrzeby kolapsu wywołanego grawitacją, oparty na unikaniu napięć między zasadą superpozycji a zasadą równoważności, kamieniami węgielnymi mechaniki kwantowej i ogólnej teorii względności. Aby to wyjaśnić, zacznijmy od porównania ewolucji stanu ogólnego w obecności jednolitego przyspieszenia grawitacyjnego ${\ displaystyle {\ boldsymbol {g}}}$ . Jeden ze sposobów wykonania obliczeń, który Penrose nazywa „perspektywą newtonowską”, polega na pracy w $czasoprzestrzennymi$ rozwiązaniu $_$ potencjału _ zazwyczaj współrzędne wybiera się w taki sposób, że przyspieszenie ${\ styl wyświetlania V(z)=mgz}$ $skierowane$ $wzdłuż$ osi w którym to przypadku ). ${\ Displaystyle ({\ boldsymbol {r}}, t)}$ , ze względu na zasadę równoważności, można wybrać układ odniesienia swobodnego spadku ze współrzędnymi ( $\ Displaystyle ({\ boldsymbol {R}}, T$ przez $}}t^{2}}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {R}} = {\ boldsymbol {r}} + {\ Frac {1} {2}} {\boldsymbol {$ $rozwiąż$ swobodne Schrödingera w tym układzie odniesienia, a następnie zapisz wyniki w kategoriach współrzędnych bezwładności ${\ Displaystyle ({\ pogrubiony symbol {r}}, t)}$ . To właśnie Penrose nazywa „perspektywą einsteinowską”. Ψ ${\ Displaystyle \ Psi ({\ boldsymbol {r}}, t)} otrzymane$ perspektywy Einsteina i jedno ${\ Displaystyle \ psi ({\ boldsymbol {r }},t)}$ otrzymane w perspektywie newtonowskiej są ze sobą powiązane przez

{\ Displaystyle \ Psi ({\ boldsymbol {r}}, t) = e ^ {i {\ Frac {m} {\ hbar}} \ lewo ({\ Frac {1} {6}} g ^ {2} t ^ {3}+ {\boldsymbol {g}}\cdot {\boldsymbol {r}}\,t\right)}\psi ({\boldsymbol {r}},t).}

()

Ponieważ te dwie funkcje falowe są równoważne dla całej fazy, prowadzą one do tych samych przewidywań fizycznych, co oznacza, że nie ma problemów w sytuacji, gdy pole grawitacyjne ma zawsze dobrze określoną wartość. Jeśli jednak metryka czasoprzestrzenna nie zostanie dobrze zdefiniowana, to znajdziemy się w sytuacji, w której nastąpi superpozycja pola grawitacyjnego odpowiadającego przyspieszeniu sol za {\ displaystyle {\ boldsymbol {g}} _ { $}$ i jeden odpowiadający przyspieszeniu ${\ displaystyle {\ boldsymbol {g}} _ {b}}$ . Nie stwarza to problemów, o ile trzyma się perspektywy Newtona. Jednak przy użyciu perspektywy Einstenowskiej będzie to implikować różnicę faz między dwiema gałęziami superpozycji określoną przez ${\ Displaystyle e ^ {i {\ Frac {m} {\ hbar}} \ lewo ({\ Frac {1} {6}} ({\ boldsymbol {g}} _ {a} - {\ boldsymbol { g}}_{b})^{2}t^{3}+({\boldsymbol {g}}_{a}-{\boldsymbol {g}}_{b})\cdot {\boldsymbol {r }}\,t\prawo)}}$ . Podczas gdy człon w $wykładniku$ liniowym w czasie nie prowadzi do żadnych trudności koncepcyjnych, pierwszy człon, proporcjonalny do , problematyczny, ponieważ nie jest to ${\ displaystyle t ^ {3}}$ -relatywistyczna pozostałość tzw. efektu Unruha : innymi słowy, dwa wyrazy w superpozycji należą do różnych przestrzeni Hilberta i, ściśle mówiąc, nie mogą być nałożone. Tutaj rolę odgrywa zapaść wywołana grawitacją, która załamuje superpozycję, gdy pierwszy termin fazy ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {6}} (g_ { a}-g_{b})^{2}t^{3}}$ staje się za duże.

Dalsze informacje na temat pomysłu Penrose'a na zawalenie się wywołane grawitacją można również znaleźć w interpretacji Penrose'a .

Testy doświadczalne i ograniczenia teoretyczne

Ponieważ model Diósiego – Penrose'a przewiduje odchylenia od standardowej mechaniki kwantowej, model można przetestować. Jedynym wolnym parametrem modelu jest wielkość rozkładu gęstości masy, określona przez ${\ displaystyle R_ {0}}$ . Wszystkie ograniczenia występujące w literaturze opierają się na pośrednim efekcie kolapsu grawitacyjnego: dyfuzji podobnej do Browna, wywołanej przez kolaps na ruch cząstek. Ta dyfuzja podobna do Browna jest wspólną cechą wszystkich teorii załamania się celu i zazwyczaj pozwala na ustalenie najsilniejszych granic parametrów tych modeli. Pierwsza granica na ${0}}$ gdzie wykazano, że m $,$ aby uniknąć nierealnego ogrzewanie z powodu tej dyfuzji indukowanej Brownem. $m przez$ została dodatkowo ograniczona do grawitacyjnych $,$ do badając ogrzewanie gwiazd

Jeśli chodzi o bezpośrednie testy interferometryczne modelu, w którym układ jest przygotowywany w przestrzennej superpozycji, rozważane są obecnie dwie propozycje: układ optomechaniczny z mezoskopowym zwierciadłem umieszczanym w superpozycji za pomocą lasera oraz eksperymenty z superpozycją Bosego- Einsteina kondensaty .

Zobacz też

^ Diósi, L. (16.03.1987). „Uniwersalne równanie główne dla grawitacyjnego naruszenia mechaniki kwantowej”. Fizyka Litery A. 120 (8): 377–381. Bibcode : 1987PhLA..120..377D . doi : 10.1016/0375-9601(87)90681-5 . ISSN 0375-9601 .
^ ^ab ^Diósi , L. (1989-08-01). „Modele uniwersalnej redukcji makroskopowych fluktuacji kwantowych”. Przegląd fizyczny A. 40 (3): 1165–1174. Bibcode : 1989PhRvA..40.1165D . doi : 10.1103/PhysRevA.40.1165 . PMID 9902248 .
^ ^a ^b Penrose, Roger (1996-05-01). „O roli grawitacji w redukcji stanu kwantowego”. Ogólna teoria względności i grawitacja . 28 (5): 581–600. Bibcode : 1996GReGr..28..581P . doi : 10.1007/BF02105068 . ISSN 1572-9532 . S2CID 44038399 .
^ ^a ^b ^c Penrose, Roger (2014-05-01). „O grawitacji mechaniki kwantowej 1: redukcja stanu kwantowego” . Podstawy fizyki . 44 (5): 557–575. Bibcode : 2014FoPh...44..557P . doi : 10.1007/s10701-013-9770-0 . ISSN 1572-9516 .
^ Diósi, Lajos (2013-06-10). „Załamanie funkcji falowej związanej z grawitacją: rozdzielczość gęstości masy” . Journal of Physics: seria konferencji . 442 (1): 012001. arXiv : 1302.5365 . Bibcode : 2013JPhCS.442a2001D . doi : 10.1088/1742-6596/442/1/012001 . ISSN 1742-6596 .
^ ^ab ^; Ghirardi, GianCarlo Grassi, Renata; Rimini, Alberto (1990-08-01). „Model ciągłej spontanicznej redukcji z udziałem grawitacji”. Przegląd fizyczny A. 42 (3): 1057–1064. Bibcode : 1990PhRvA..42.1057G . doi : 10.1103/PhysRevA.42.1057 . PMID 9904128 .
^ ^a ^b Bahrami, M .; Smirne, A.; Bassi, A. (2014-12-01). „Rola grawitacji w załamaniu się funkcji falowej: sonda do modelu Diósiego-Penrose'a”. Przegląd fizyczny A. 90 (6): 062105. arXiv : 1408.6460 . Bibcode : 2014PhRvA..90f2105B . doi : 10.1103/PhysRevA.90.062105 . S2CID 118601408 .
^ Diósi, Lajos (2011-07-08). „Główne równanie dekoherencji związanej z grawitacją z dynamiki hybrydowej” . Journal of Physics: seria konferencji . 306 (1): 012006. arXiv : 1101.0672 . Bibcode : 2011JPhCS.306a2006D . doi : 10.1088/1742-6596/306/1/012006 . ISSN 1742-6596 .
^ ^a ^b ^c ^d Howl, Richard; Penrose, Roger; Fuentes, Ivette (2019-04-25). „Badanie unifikacji teorii kwantowej i ogólnej teorii względności za pomocą kondensatu Bosego-Einsteina” . New Journal of Physics . 21 (4): 043047. arXiv : 1812.04630 . Bibcode : 2019NJPh...21d3047H . doi : 10.1088/1367-2630/ab104a . ISSN 1367-2630 . równanie (23).
Bibliografia _ Toroš, M.; Donadi S.; Bassi, A. (2017-11-13). „Załamanie funkcji falowej wywołane grawitacją”. Przegląd fizyczny D. 96 (10): 104013. arXiv : 1701.02236 . Bibcode : 2017PhRvD..96j4013G . doi : 10.1103/PhysRevD.96.104013 . S2CID 118881695 .
Bibliografia _ Mermin, N. David (grudzień 1990). „Nowy umysł cesarza: o komputerach, umysłach i prawach fizyki”. American Journal of Physics . 58 (12): 1214–1216. Bibcode : 1990AmJPh..58.1214P . doi : 10.1119/1.16207 . ISSN 0002-9505 .
^ Penrose, Roger, autor. (31 marca 2016). Droga do rzeczywistości: kompletny przewodnik po prawach wszechświata . ISBN 978-1-4464-1820-8 . OCLC 959367695 . {{ cite book }} : |last= ma nazwę ogólną ( pomoc ) CS1 maint: wiele nazw: lista autorów ( link )
^ Penrose, Roger (15.08.1998). „Obliczenia kwantowe, splątanie i redukcja stanu”. Transakcje filozoficzne Royal Society of London. Seria A: Nauki matematyczne, fizyczne i inżynierskie . 356 (1743): 1927–1939. Bibcode : 1998RSPTA.356.1927P . doi : 10.1098/rsta.1998.0256 . ISSN 1364-503X . S2CID 83378847 .
^ Helou, Bassam; Slagmolen, BJJ; McClelland, David E.; Chen, Yanbei (2017-04-28). „LISA pathfinder znacznie ogranicza modele upadku” . Przegląd fizyczny D. 95 (8): 084054. arXiv : 1606.03637 . Bibcode : 2017PhRvD..95h4054H . doi : 10.1103/PhysRevD.95.084054 .
Bibliografia _ Stace, Thomas M. (21.08.2019). „Ograniczenia ogrzewania gwiazd neutronowych w modelach załamania funkcji falowej” (PDF) . Fizyczne listy przeglądowe . 123 (8): 080402. arXiv : 1901.05477 . Bibcode : 2019PhRvL.123h0402T . doi : 10.1103/PhysRevLett.123.080402 . PMID 31491197 . S2CID 119272121 .
^ Marshall, William; Szymon, Krzysztof; Penrose, Roger; Bouwmeester, Dik (2003-09-23). „W kierunku kwantowych superpozycji lustra”. Fizyczne listy przeglądowe . 91 (13): 130401. arXiv : quant-ph/0210001 . Bibcode : 2003PhRvL..91m0401M . doi : 10.1103/PhysRevLett.91.130401 . PMID 14525288 . S2CID 16651036 .

[1] Diósi, L. (16.03.1987). „Uniwersalne równanie główne dla grawitacyjnego naruszenia mechaniki kwantowej”. Fizyka Litery A. 120 (8): 377–381. Bibcode : 1987PhLA..120..377D . doi : 10.1016/0375-9601(87)90681-5 . ISSN 0375-9601 .

[:3-2] Diósi , L. (1989-08-01). „Modele uniwersalnej redukcji makroskopowych fluktuacji kwantowych”. Przegląd fizyczny A. 40 (3): 1165–1174. Bibcode : 1989PhRvA..40.1165D . doi : 10.1103/PhysRevA.40.1165 . PMID 9902248 .

[:4-3] Penrose, Roger (1996-05-01). „O roli grawitacji w redukcji stanu kwantowego”. Ogólna teoria względności i grawitacja . 28 (5): 581–600. Bibcode : 1996GReGr..28..581P . doi : 10.1007/BF02105068 . ISSN 1572-9532 . S2CID 44038399 .

[:0-4] Penrose, Roger (2014-05-01). „O grawitacji mechaniki kwantowej 1: redukcja stanu kwantowego” . Podstawy fizyki . 44 (5): 557–575. Bibcode : 2014FoPh...44..557P . doi : 10.1007/s10701-013-9770-0 . ISSN 1572-9516 .

[5] Diósi, Lajos (2013-06-10). „Załamanie funkcji falowej związanej z grawitacją: rozdzielczość gęstości masy” . Journal of Physics: seria konferencji . 442 (1): 012001. arXiv : 1302.5365 . Bibcode : 2013JPhCS.442a2001D . doi : 10.1088/1742-6596/442/1/012001 . ISSN 1742-6596 .

[:1-6] ; Ghirardi, GianCarlo Grassi, Renata; Rimini, Alberto (1990-08-01). „Model ciągłej spontanicznej redukcji z udziałem grawitacji”. Przegląd fizyczny A. 42 (3): 1057–1064. Bibcode : 1990PhRvA..42.1057G . doi : 10.1103/PhysRevA.42.1057 . PMID 9904128 .

[Bahrami_062105-7] Bahrami, M .; Smirne, A.; Bassi, A. (2014-12-01). „Rola grawitacji w załamaniu się funkcji falowej: sonda do modelu Diósiego-Penrose'a”. Przegląd fizyczny A. 90 (6): 062105. arXiv : 1408.6460 . Bibcode : 2014PhRvA..90f2105B . doi : 10.1103/PhysRevA.90.062105 . S2CID 118601408 .

[8] Diósi, Lajos (2011-07-08). „Główne równanie dekoherencji związanej z grawitacją z dynamiki hybrydowej” . Journal of Physics: seria konferencji . 306 (1): 012006. arXiv : 1101.0672 . Bibcode : 2011JPhCS.306a2006D . doi : 10.1088/1742-6596/306/1/012006 . ISSN 1742-6596 .

[:2-9] Howl, Richard; Penrose, Roger; Fuentes, Ivette (2019-04-25). „Badanie unifikacji teorii kwantowej i ogólnej teorii względności za pomocą kondensatu Bosego-Einsteina” . New Journal of Physics . 21 (4): 043047. arXiv : 1812.04630 . Bibcode : 2019NJPh...21d3047H . doi : 10.1088/1367-2630/ab104a . ISSN 1367-2630 . równanie (23).

[10] Bibliografia _ Toroš, M.; Donadi S.; Bassi, A. (2017-11-13). „Załamanie funkcji falowej wywołane grawitacją”. Przegląd fizyczny D. 96 (10): 104013. arXiv : 1701.02236 . Bibcode : 2017PhRvD..96j4013G . doi : 10.1103/PhysRevD.96.104013 . S2CID 118881695 .

[11] Bibliografia _ Mermin, N. David (grudzień 1990). „Nowy umysł cesarza: o komputerach, umysłach i prawach fizyki”. American Journal of Physics . 58 (12): 1214–1216. Bibcode : 1990AmJPh..58.1214P . doi : 10.1119/1.16207 . ISSN 0002-9505 .

[12] Penrose, Roger, autor. (31 marca 2016). Droga do rzeczywistości: kompletny przewodnik po prawach wszechświata . ISBN 978-1-4464-1820-8 . OCLC 959367695 . {{ cite book }} : |last= ma nazwę ogólną ( pomoc ) CS1 maint: wiele nazw: lista autorów ( link )

[13] Penrose, Roger (15.08.1998). „Obliczenia kwantowe, splątanie i redukcja stanu”. Transakcje filozoficzne Royal Society of London. Seria A: Nauki matematyczne, fizyczne i inżynierskie . 356 (1743): 1927–1939. Bibcode : 1998RSPTA.356.1927P . doi : 10.1098/rsta.1998.0256 . ISSN 1364-503X . S2CID 83378847 .

[14] Helou, Bassam; Slagmolen, BJJ; McClelland, David E.; Chen, Yanbei (2017-04-28). „LISA pathfinder znacznie ogranicza modele upadku” . Przegląd fizyczny D. 95 (8): 084054. arXiv : 1606.03637 . Bibcode : 2017PhRvD..95h4054H . doi : 10.1103/PhysRevD.95.084054 .

[15] Bibliografia _ Stace, Thomas M. (21.08.2019). „Ograniczenia ogrzewania gwiazd neutronowych w modelach załamania funkcji falowej” (PDF) . Fizyczne listy przeglądowe . 123 (8): 080402. arXiv : 1901.05477 . Bibcode : 2019PhRvL.123h0402T . doi : 10.1103/PhysRevLett.123.080402 . PMID 31491197 . S2CID 119272121 .

[16] Marshall, William; Szymon, Krzysztof; Penrose, Roger; Bouwmeester, Dik (2003-09-23). „W kierunku kwantowych superpozycji lustra”. Fizyczne listy przeglądowe . 91 (13): 130401. arXiv : quant-ph/0210001 . Bibcode : 2003PhRvL..91m0401M . doi : 10.1103/PhysRevLett.91.130401 . PMID 14525288 . S2CID 16651036 .