Zbiorowo wyczerpujące wydarzenia

W teorii prawdopodobieństwa i logice zestaw zdarzeń jest łącznie lub zbiorowo wyczerpujący, jeśli co najmniej jedno ze zdarzeń musi nastąpić. Na przykład podczas rzucania sześciościenną kostką zdarzenia 1, 2, 3, 4, 5 i 6 kul jednego wyniku są łącznie wyczerpujące, ponieważ obejmują cały zakres możliwych wyników.

Innym sposobem opisywania zbiorczo wyczerpujących zdarzeń jest to, że ich połączenie musi obejmować wszystkie zdarzenia w całej przestrzeni próbki. Na przykład mówi się, że zdarzenia A i B są łącznie wyczerpujące, jeśli

{\ Displaystyle A \ kubek B = S}

gdzie S jest przestrzenią próbki .

Porównaj to z koncepcją zbioru wzajemnie wykluczających się zdarzeń . W takim zbiorze nie może wystąpić więcej niż jedno zdarzenie w danym czasie. (W niektórych formach wzajemnego wykluczania może wystąpić tylko jedno zdarzenie.) Zbiór wszystkich możliwych rzutów kostką jest zarówno wzajemnie wykluczający się, jak i zbiorowo wyczerpujący (tj. „ MECE ”). Zdarzenia 1 i 6 wzajemnie się wykluczają, ale nie są łącznie wyczerpujące. Zdarzenia „nawet” (2,4 lub 6) i „nie-6” (1,2,3,4 lub 5) są również łącznie wyczerpujące, ale nie wykluczają się wzajemnie. W niektórych formach wzajemnego wykluczenia może wystąpić tylko jedno zdarzenie, niezależnie od tego, czy jest to zbiorowo wyczerpujące, czy też nie. Na przykład rzucanie określonym ciastkiem grupie kilku psów nie może się powtórzyć, bez względu na to, który pies go złapie.

Jednym z przykładów zdarzenia, które jest zarówno zbiorowo wyczerpujące, jak i wzajemnie się wykluczające, jest rzut monetą. Wynikiem musi być orzeł lub reszka lub p (orzeł lub reszka) = 1, więc wyniki są łącznie wyczerpujące. Kiedy pojawia się orzeł, reszka nie może wystąpić lub p (orzeł i reszka) = 0, więc wyniki również wzajemnie się wykluczają.

Innym przykładem zdarzeń, które są zbiorczo wyczerpujące i jednocześnie wzajemnie się wykluczają, są zdarzenie „parzyste” (2,4 lub 6) i zdarzenie „nieparzyste” (1,3 lub 5) w losowym eksperymencie rzucania sześciościenną kostką . Te dwa zdarzenia wykluczają się wzajemnie, ponieważ parzysty i nieparzysty wynik nigdy nie może wystąpić w tym samym czasie. Połączenie „ nieparzystych” zdarzeń daje przykładową przestrzeń rzutu kostką, a zatem jest łącznie wyczerpujące.

Historia

Termin „wyczerpujący” jest używany w literaturze co najmniej od 1914 r. Oto kilka przykładów:

Poniższy tekst pojawia się jako przypis na stronie 23 tekstu Couturata, The Algebra of Logic (1914):

„Jak słusznie zauważyła pani LADD·FRANKLlN (BALDWIN, Dictionary of Philosophy and Psychology, artykuł „Laws of Thought”), zasada sprzeczności nie wystarcza do zdefiniowania sprzeczności; należy dodać zasadę wyłączonego środka, która w równym stopniu zasługuje na nazwa zasady sprzeczności.Dlatego pani LADD-FRANKLIN proponuje nazwać je odpowiednio zasadą wykluczenia i zasadą wyczerpania , ponieważ zgodnie z pierwszym dwa przeciwstawne terminy wykluczają się (jeden drugiego); a zgodnie z drugim są wyczerpujące (wszechświat dyskursu) ”. (kursywa dodana dla podkreślenia)

W omówieniu liczb kardynalnych przez Stephena Kleene'a we wstępie do metamatematyki (1952) używa terminu „wzajemnie wykluczające się” razem z „wyczerpującym”:

„Stąd dla dowolnych dwóch kardynałów M i N trzy relacje M < N, M = N i M > N wykluczają się wzajemnie, tj. nie więcej niż jeden z nich może być utrzymany. ¶ Pojawia się dopiero w zaawansowanym stadium teorii… czy są „wyczerpujące” , tj. czy przynajmniej jedno z trzech musi być spełnione”. (kursywa dodana dla podkreślenia, Kleene 1952:11; oryginał ma podwójne kreski nad symbolami M i N).

Zobacz też

Dodatkowe źródła

Kemeny i in., John G. (1959). Struktury matematyczne skończone (wydanie pierwsze). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. ASIN B0006AW17Y . {{ cite book }} : CS1 maint: używa parametru autorów ( link ) LCCCN: 59-12841
Tarskiego, Alfreda (1941). Wprowadzenie do logiki i metodologii nauk dedukcyjnych (przedruk z 1946 r. Wydanie drugie (wyd. miękka). Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-28462-X .