Czynnik fanowski

W statystyce współczynnik Fano , podobnie jak współczynnik zmienności , jest miarą rozproszenia procesu liczenia . Pierwotnie był używany do pomiaru szumu Fano w detektorach jonów. Jej nazwa pochodzi od Ugo Fano , włoskiego fizyka amerykańskiego.

Współczynnik Fano po pewnym czasie jest zdefiniowany jako ${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle F (t) = {\ Frac {\ sigma _ {t} ^ {2}} {\ mu _ {t}}}}$

gdzie ${\ displaystyle \ sigma _ {t}}$$jest$ odchyleniem standardowym i jest średnią liczbą zdarzeń procesu liczenia po pewnym czasie t $\ displaystyle t$ Współczynnik Fano można postrzegać jako rodzaj stosunku szumu do sygnału; jest miarą wiarygodności, z jaką można oszacować zmienną losową czasu oczekiwania po kilku zdarzeniach losowych .

W przypadku procesu liczenia Poissona wariancja zliczania jest równa średniej zliczania, więc ${\ displaystyle F = 1}$ .

Definicja

${\ displaystyle$ przypadku procesu liczenia współczynnik Fano po pewnym czasie zdefiniowany jako: $N_ {t}}$

${\ Displaystyle F (t) = {\ Frac {\ nazwa operatora {Var} (N_ {t})} {\ nazwa operatora {E} [N_ {t}]}}.}$

Czasami granica długoterminowa jest również nazywana czynnikiem Fano,

${\ Displaystyle F = \ lim _ {t \ do \ infty} F (t).}$

W przypadku procesu odnawiania z czasami utrzymywania rozłożonymi podobnie do zmiennej losowej mamy to, ${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle F = \ lim _ {t \ do \ infty} F (t) = \ lim _ {t \ do \ infty}} {\ Frac {\ operatorname {Var} (N_ {t})} {\ operatorname { E} [N_{t}]}}={\frac {\nazwa_operatora {Var} (S)}{\nazwa_operatora {E} [S]^{2}}}.}$

Ponieważ mamy, że prawa strona jest równa kwadratowi współczynnika zmienności ${\ Displaystyle c_ {v} ^ {2} = \ operatorname {Var } (S)/\operatorname {E} [S]^{2}}$ , prawa strona tego równania jest czasami nazywana również współczynnikiem Fano.

Interpretacja

$Biorąc$ uwagę rozproszenie liczby, współczynnik Fano $z$ odpowiada szerokości . W związku z tym czynnik Fano jest często interpretowany jako nieprzewidywalność leżącego u jego podstaw procesu.

Przykład: stała zmienna losowa

Gdy czasy utrzymywania są stałe, to ${\ displaystyle F = 0}$ . W związku z tym, jeśli $interpretujemy proces$ jako bardzo przewidywalny

Przykład: proces liczenia Poissona

Gdy prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w dowolnym przedziale czasu jest równe przez cały czas, wówczas czasy utrzymywania muszą być rozłożone wykładniczo, dając proces liczenia Poissona , dla którego ${\ displaystyle F = 1}$ .

Zastosowanie w wykrywaniu cząstek

W detektorach cząstek współczynnik Fano wynika z faktu, że straty energii w zderzeniu nie są czysto statystyczne. Proces prowadzący do powstania każdego pojedynczego nośnika ładunku nie jest niezależny, ponieważ liczba sposobów jonizacji atomu jest ograniczona przez dyskretne powłoki elektronowe. Rezultatem netto jest lepsza rozdzielczość energetyczna niż przewidywano na podstawie czysto statystycznych rozważań. Na przykład, jeśli w jest średnią energią cząstki potrzebną do wytworzenia nośnika ładunku w detektorze, to względna rozdzielczość FWHM do pomiaru energii cząstki E wynosi:

${\ Displaystyle R = {\ Frac {FWHM} {\ mu}} = 2,35 {\ sqrt {\ Frac {Fw} {E}}}}$

gdzie współczynnik 2,35 odnosi odchylenie standardowe do FWHM.

Współczynnik Fano jest specyficzny dla materiału. Niektóre wartości teoretyczne to:

Si:	0,115
Ge:	0,13
GaAs:	0,12
Diament:	0,08

Pomiar współczynnika Fano jest trudny, ponieważ na rozdzielczość wpływa wiele czynników, ale niektóre wartości eksperymentalne to:

Ar (gaz):	0,20 ± 0,01/0,02
Xe (gaz):	0,13 do 0,29
CZT :	0,089 ± 0,005

Zastosowanie w neuronauce

Czynnik Fano jest używany w neuronauce do opisania zmienności impulsów nerwowych. W tym kontekście zdarzeniami są zdarzenia szczytowe w neuronach, a czasy utrzymywania to interwały między skokami (ISI). Często stosuje się definicję graniczną współczynnika Fano, dla której

${\ Displaystyle F = \ lim _ { t\to \infty }{\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}={\frac {\operatorname {Var} (ISI)} {(\nazwa operatora {E} [ISI])^{2}}}=CV^{2},}$

gdzie $zmienności$ ISI.

Stwierdzono, że niektóre neurony mają różne rozkłady ISI, co oznacza, że ​​proces liczenia nie jest już procesem odnawiania. Stosowany jest raczej proces odnawiania Markowa. W przypadku, gdy mamy tylko dwa stany Markowa z równymi prawdopodobieństwami przejścia $do$$+ \ mu _ {2}) ^ {2}}},$ , że powyższa granica ponownie się zbiega, ${\ Displaystyle F = 2 {\ Frac {CV_ {2} ^ {2} \ mu _{1}^{2}+CV_{1}^{2}\mu _{2}^{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{2}}} +\left({\frac {1}{p}}-1\right){\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{(\mu _{1$$}$ gdzie reprezentuje dla ISI odpowiedniego stanu.

Podczas gdy większość prac zakłada stały czynnik Fano, ostatnie prace dotyczyły neuronów z niestałymi czynnikami Fano. W tym przypadku okazuje się, że niestałe współczynniki Fano można uzyskać, wprowadzając zarówno szum, jak i nieliniowość do szybkości podstawowego procesu Poissona.

Zobacz też

• Hałas wentylatora
• Indeks dyspersji – odpowiednik współczynnika Fano dla nieskończonego okna czasowego.
• Ugo Fano