Długość fali termicznej de Broglie'a

W fizyce termiczna długość $w$ de Broglie'a ( , czasami oznaczana również przez $)$ średnią długością fali de Broglie'a w gaz doskonały w określonej temperaturze. Możemy przyjąć, że średni odstęp międzycząsteczkowy w gazie wynosi około ( V / N ) ^1/3 , gdzie V to objętość, a N jest liczbą cząstek. Gdy długość fali termicznej de Broglie'a jest znacznie mniejsza niż odległość międzycząsteczkowa, gaz można uznać za gaz klasyczny lub Maxwella-Boltzmanna . Z drugiej strony, gdy długość fali termicznej de Broglie'a jest rzędu lub większa niż odległość międzycząsteczkowa, efekty kwantowe będą dominować i gaz należy traktować jako gaz Fermiego lub gaz Bosego , w zależności od rodzaju cząstek gazu. Temperatura krytyczna jest punktem przejścia między tymi dwoma reżimami, aw tej krytycznej temperaturze długość fali termicznej będzie w przybliżeniu równa odległości międzycząsteczkowej. Oznacza to, że kwantowa natura gazu będzie oczywista

$${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ Frac {V} {N \ lambda _ {\ operatorname {th}} ^ {3}} }\leq 1\ ,{\rm {lub}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\leq \lambda _{\mathrm {th} }}$$

tj. gdy odległość między cząstkami jest mniejsza niż termiczna długość fali de Broglie'a; w tym przypadku gaz będzie zgodny ze statystykami Bosego-Einsteina lub statystykami Fermiego-Diraca , w zależności od tego, która z nich jest odpowiednia. Dzieje się tak na przykład w przypadku elektronów w typowym metalu w temperaturze T = 300 K , gdzie gaz elektronowy podlega statystyce Fermiego – Diraca , lub w kondensacie Bosego – Einsteina . Z drugiej strony za

$${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ Frac {V} {N \ lambda _ {\ operatorname {th}} ^ {3}} }\gg 1\ ,{\rm {lub}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\gg \lambda _{\mathrm {th} }}$$

tj. gdy odległość międzycząsteczkowa jest znacznie większa niż termiczna długość fali de Broglie'a, gaz będzie zgodny ze statystyką Maxwella-Boltzmanna . Tak jest w przypadku gazów cząsteczkowych lub atomowych w temperaturze pokojowej oraz neutronów termicznych wytwarzanych przez źródło neutronów .

Masywne cząstki

W przypadku masywnych, nieoddziałujących cząstek długość fali termicznej de Broglie'a można wyprowadzić z obliczenia funkcji podziału . Zakładając jednowymiarowe pudełko o długości L , funkcja podziału (wykorzystująca stany energetyczne cząstki 1D w pudełku ) to

$${\ Displaystyle Z = \ suma _ {n} e ^ {- E_ {n} / k _ {\ operatorname {B}} T} = \ suma _ {n} e ^ {-h ^ {2} n ^ {2 }/8ml^{2}k_{\mathrm {B}}T}.}$$

Ponieważ poziomy energetyczne są bardzo blisko siebie, możemy przybliżyć tę sumę jako całkę:

$${\ Displaystyle Z = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-h ^ {2} n ^ {2}/8mL ^ {2} k _ {\ operatorname {B}} T} dn = {\ sqrt {\frac {2\pi mk_{\mathrm {B}}T}{h^{2}}}}L\equiv {\frac {L}{\lambda _{\rm {th}}}}. }$$

Stąd,

$${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {th}} = {\ Frac {h} {\ sqrt {2 \ pi mk_ {\ operatorname {B}} T}} },}$$

gdzie jest stałą Plancka $,$ m jest masą cząstki gazu , jest stałą Boltzmanna , $.$ temperaturą gazu Można to również wyrazić za pomocą zredukowanej stałej Plancka jako $\ Frac {h} {2 \ pi}}}$ {

$${\ Displaystyle \ lambda _ {\ operatorname {th}} = {\ sqrt {\ Frac {2 \ pi \ hbar ^ {2}} {mk_ {\ operatorname {B}} T}}}.}$$

Cząstki bezmasowe

W przypadku bezmasowych (lub wysoce relatywistycznych ) cząstek termiczna długość fali jest zdefiniowana jako

$${\ Displaystyle \ lambda _ {\ operatorname {th}} = {\ Frac {hc} {2 \ pi ^ {1/3}k_{\mathrm {B}}T}}={\frac {\pi ^{2/3}\hbar c}{k_{\mathrm {B}}T}},}$$

gdzie c jest prędkością światła. Podobnie jak w przypadku termicznej długości fali masywnych cząstek, jest ona rzędu średniej długości fali cząstek w gazie i określa punkt krytyczny, w którym efekty kwantowe zaczynają dominować. Na przykład, obserwując długofalowe widmo ciała doskonale czarnego , można zastosować klasyczne prawo Rayleigha-Jeansa , ale gdy obserwowane długości fal zbliżają się do termicznej długości fali fotonów w promienniku ciała doskonale czarnego, należy zastosować kwantowe prawo Plancka .

Ogólna definicja

Można wprowadzić ogólną definicję termicznej długości fali dla gazu doskonałego cząstek o arbitralnej zależności potęgowej między energią a pędem (zależność dyspersji), w dowolnej liczbie wymiarów. Jeśli n jest liczbą wymiarów, a zależność między energią ( E ) a pędem ( p ) jest wyrażona wzorem

$${\ Displaystyle E = ap ^ {s}}$$

(gdzie a i s są stałymi), wówczas termiczna długość fali jest zdefiniowana jako

$${\ Displaystyle \ lambda _ {\ operatorname {th}} ={\frac {h}{\sqrt {\pi}}}\left({\frac {a}{k_{\mathrm {B}}T}}\right)^{1/s}\left[{ \frac {\Gamma (n/2+1)}{\Gamma (n/s+1)}}\right]^{1/n},}$$

gdzie Γ jest funkcją Gamma . W szczególności dla 3-D ( n = 3 ) gazu cząstek masywnych lub bezmasowych mamy E = p ² /2 m ( a = 1/2 m , s = 2) i E = pc ( a = c , s = 1) , odpowiednio, dając wyrażenia wymienione w poprzednich sekcjach. Zauważ, że dla masywnych cząstek nierelatywistycznych ( s = 2), wyrażenie nie zależy od n . To wyjaśnia, dlaczego powyższe wyprowadzenie 1-D zgadza się z przypadkiem 3-D.

Przykłady

Poniżej podano kilka przykładów termicznej długości fali de Broglie'a przy 298 K.

Gatunek	Masa (kg)	${\ Displaystyle \ lambda _ {\ operatorname {th}}}$ (m)
Elektron	9,1094 × 10-31 _	4,3179 × 10-9 _
Foton	0	1,6483 × 10-5 _
H2 _	3,3474 × 10-27 _	7,1228 × 10-11 _
O 2	5,3135 × 10-26 _	1,7878 × 10-11 _

• Vu-Quoc, L., Integracja konfiguracji (mechanika statystyczna) , 2008. ta strona wiki nie działa; zobacz ten artykuł w archiwum internetowym z 28 kwietnia 2012 roku .