Somersa D

W statystyce D Somersa , czasami błędnie określane jako D Somera , jest miarą porządkowego związku między dwiema potencjalnie zależnymi zmiennymi losowymi X i Y. D Somersa przyjmuje wartości od ${\ displaystyle -1}$ , gdy wszystkie pary zmiennych nie zgadzają się, do ${\ displaystyle 1}$ , gdy wszystkie pary zmiennych są zgodne. Somers ' D nosi imię Roberta H. Somersa, który zaproponował to w 1962 roku.

D Somersa odgrywa kluczową rolę w statystykach rang i jest parametrem stojącym za wieloma metodami nieparametrycznymi. Jest również używany jako miara jakości wyboru binarnego lub regresji porządkowej (np. regresje logistyczne ) oraz modeli scoringowych .

Próbka Somersa D

Mówimy, że dwie pary i $)$$y_ {j})$ Displaystyle są zgodne $_$$_$ rangi lub _ ${\ Displaystyle x_ {i}<x_ {j}}$$\ Displaystyle y_ {i}<y_ {j}}$ < . Mówimy, że dwie pary ${\ Displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$ i ${\ Displaystyle (x_ {j}, y_ {j})}$ są niezgodne, jeśli rangi obu elementów nie zgadzają się lub jeśli ${\ Displaystyle x_ {i}> x_ {j}}$${\ Displaystyle y_ {i}<y_ {j}}$ < lub jeśli ${\ Displaystyle x_ {i}<x_ {j }} i$$\ Displaystyle y_ {i}> y_ {j}}$ > . ${\ Displaystyle x_ {i} = x_ {j}}$ jot lub ${i} = y_ {j}}$ , para nie jest ani zgodna, ani niezgodna.

Niech ${\ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2} }),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$ będzie zbiorem obserwacji dwóch potencjalnie zależnych wektorów losowych X i Y . Zdefiniuj współczynnik korelacji rang Kendalla tau jako ${\ displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle \ tau = {\ Frac {N_ {C} -N_ {D}} {n (n-1) / 2}}}$

gdzie $to$ liczba zgodnych par, $liczba$ par Somers' D z Y w odniesieniu do X jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle D_ {YX} = \ tau (X, Y) / \ tau (X, X)}$ . Zauważ, że tau Kendalla jest symetryczne w X i Y , podczas gdy D Somersa jest asymetryczne w X i Y .

Ponieważ ${\ Displaystyle \ tau (X, X)}$ określa ilościowo liczbę par o nierównych wartościach X , Somers' D jest różnicą między liczbą zgodnych i niezgodnych par, podzieloną przez liczbę par z τ ( X , X ) {\ Displaystyle \ tau (X, X)} Wartości X w parze są nierówne.

Somers' D do dystrybucji

Niech dwie niezależne dwuwymiarowe zmienne losowe i ${\ Displaystyle (X_ {1}, Y_ {1})}$ i ${\ Displaystyle (X_ {2}, Y_ {2}) }$ mają ten sam rozkład prawdopodobieństwa . ${\ displaystyle \ operatorname {P} _ {XY}}$ . Ponownie, Somers' D , który mierzy porządkową asocjację zmiennych losowych X i Y w ${\ Displaystyle \ operatorname {P} _ {XY}}$ można zdefiniować za pomocą tau Kendalla

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ tau (X, Y) & = \ nazwa operatora {E} {\ Bigl (} \ nazwa operatora {sgn} (X_ {1} -X_ {2}) \ nazwa operatora {sgn} ( Y_{1}-Y_{2}){\Bigr )}\\&=\nazwa_operatora {P} {\Bigl (}\nazwa_operatora {sgn}(X_{1}-X_{2})\nazwa_operatora {sgn} (Y_{1}-Y_{2})=1{\Bigr )}-\nazwa_operatora {P} {\Bigl (}\nazwa_operatora {sgn}(X_{1}-X_{2})\nazwa_operatora {sgn} (Y_{1}-Y_{2})=-1{\Większy )},\\\koniec {wyrównany}}}$

lub różnica między prawdopodobieństwem zgodności i niezgodności. Somers' D z Y w odniesieniu do X jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle D_ {YX} = \ tau (X, Y) / \ tau (X, X)}$ . Zatem $jest$ różnicą między dwoma odpowiednimi prawdopodobieństwami wartości nie są równe. Jeśli X ma $tau$ prawdopodobieństwa , to Kendalla i D Somersa normalizuje tau Kendalla dla możliwych punktów masy zmiennej X .

Jeśli X i Y są binarne z wartościami 0 i 1, to D Somersa jest różnicą między dwoma prawdopodobieństwami:

${\ Displaystyle D_ {YX} = \ operatorname {P} (Y = 1 \ mid X = 1) - \ operatorname {P} (Y = 1 \ mid X = 0).}$

D Somersa dla binarnych zmiennych zależnych

D Somersa jest najczęściej używane, gdy zmienna zależna Y jest zmienną binarną , tj. do klasyfikacji binarnej lub przewidywania wyników binarnych, w tym modeli wyboru binarnego w ekonometrii. Metody dopasowania takich modeli obejmują logistyczną i probitową .

Do ilościowego określenia jakości takich modeli można użyć kilku statystyk: pole pod krzywą charakterystyki działania odbiornika (ROC), gamma Goodmana i Kruskala , tau Kendalla (Tau-a) , D Somersa itp. D Somersa jest prawdopodobnie najbardziej szeroko stosowane dostępne statystyki asocjacji porządkowych. Identyczny ze współczynnikiem Giniego , Somers' D jest związany z polem pod krzywą charakterystyki działania odbiornika (AUC),

${\ Displaystyle \ operatorname {AUC} = {\ Frac {D_ {XY} + 1} {2}}}$ .

W przypadku, gdy zmienna niezależna (predyktor) X jest dyskretna , a zmienna zależna (wynikowa) Y jest binarna, D Somersa równa się

${\ Displaystyle D_ {XY} = {\ Frac {N_ {C} -N_ {D}} {N_ {C} + N_ {D} +N_{T}}},}$

gdzie jest liczbą ani zgodnych, ani niezgodnych par, które są powiązane ze zmienną $ze$ a nie zmienną Y.

Przykład

0 Załóżmy, że zmienna niezależna (predyktor) X przyjmuje trzy wartości, 0,25 , 0,5 lub 0,75 , a zmienna zależna (wynikowa) Y przyjmuje dwie wartości, czyli 1 . Poniższa tabela zawiera obserwowane kombinacje X i Y :

Częstotliwości par Y , X

X Y	0,25	0,5	0,75
0	3	5	2
1	1	7	6

Liczba zgodnych par jest równa

${\ Displaystyle N_ {C} = 3 \ razy 7 + 3 \ razy 6 + 5 \ razy 6 = 69.}$

Liczba niezgodnych par jest równa

${\ Displaystyle N_ {D} = 1 \ razy 5 + 1 \ razy 2 + 7 \ razy 2 = 21.}$

Liczba zremisowanych par jest równa całkowitej liczbie par minus pary zgodne i niezgodne

${\ Displaystyle N_ {T} = (3 + 5 + 2) \ razy (1 + 7 + 6) -69 -21=50}$

Zatem D Somersa jest równe

${\ Displaystyle D_ {XY} = {\ Frac {69-21} {69 + 21 + 50}} \ około 0,34.}$