Gamma Goodmana i Kruskala

W statystyce gamma Goodmana i Kruskala jest miarą korelacji rang , tj . podobieństwa uporządkowania danych przy uszeregowaniu według każdej z wielkości. Mierzy siłę powiązania danych zestawionych w tabeli krzyżowej , gdy obie zmienne są mierzone na poziomie porządkowym . Nie ma regulacji ani rozmiaru stołu, ani krawatów. Wartości mieszczą się w zakresie od -1 (100% skojarzenia negatywnego lub idealnego odwrócenia) do +1 (100% skojarzenia pozytywnego lub idealnej zgodności). Wartość zero wskazuje na brak powiązania.

Ta statystyka (która różni się od lambda Goodmana i Kruskala ) została nazwana na cześć Leo Goodmana i Williama Kruskala , którzy zaproponowali ją w serii artykułów z lat 1954-1972.

Definicja

Oszacowanie gamma, G , zależy od dwóch wielkości:

N _s , liczba par przypadków uszeregowanych w tej samej kolejności na obu zmiennych (liczba zgodnych par ),
N _d , liczba par przypadków uszeregowanych w odwrotnej kolejności na obu zmiennych (liczba odwróconych par),

gdzie „remisy” (przypadki, w których jedna z dwóch zmiennych w parze jest równa) są odrzucane. Następnie

{\ Displaystyle G = {\ Frac {N_ {s} -N_ {d}} {N_ {s} + N_ {d}}} \.}

Statystykę tę można uznać za estymator największej wiarygodności dla wielkości teoretycznej , gdzie ${\ displaystyle \ gamma}$

{\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {P_ {s} -P_ {d}} {P_ {s} + P_ {d}}} \,}

i gdzie P _s i P _d są prawdopodobieństwem, że losowo wybrana para obserwacji umieści odpowiednio w tej samej lub przeciwnej kolejności, gdy zostaną uszeregowane według obu zmiennych.

Krytyczne wartości statystyki gamma są czasami znajdowane za pomocą przybliżenia, w którym przekształcona wartość statystyki t jest odnoszona do rozkładu t Studenta , gdzie ^{[ potrzebne źródło ]}

{\ Displaystyle t \ około G {\ sqrt {\ Frac {N_ {s} + N_ {d}} {n (1-G ^

i gdzie n to liczba obserwacji (nie liczba par):

{\ Displaystyle n \ neq N_ {s} + N_ {d}. \,}

Pytanie Yule'a

Szczególnym przypadkiem gamma Goodmana i Kruskala jest Q Yule'a , znany również jako współczynnik asocjacji Yule'a , który jest specyficzny dla macierzy 2 × 2. Rozważmy poniższą tabelę kontyngencji zdarzeń, w której każda wartość jest liczbą częstotliwości zdarzenia:

	Tak	NIE	sumy
Pozytywny	$A$	$B$	$a + b$
Negatywny	$C$	$D$	$do + re$
sumy	$a + do$	$b + d$	$N$

Q Yule jest podane przez:

{\ Displaystyle Q = {\ Frac {ad-bc} {ad + bc}} \.}

Chociaż jest obliczana w taki sam sposób jak gamma Goodmana i Kruskala, ma nieco szerszą interpretację, ponieważ rozróżnienie między skalami nominalnymi i porządkowymi staje się kwestią arbitralnego etykietowania rozróżnień dychotomicznych. Zatem to, czy Q jest dodatnie, czy ujemne, zależy jedynie od tego, które pary analityk uważa za zgodne, ale poza tym jest symetryczne.

Q waha się od -1 do +1. −1 odzwierciedla całkowite skojarzenie negatywne, +1 odzwierciedla doskonałe skojarzenie pozytywne, a 0 oznacza całkowity brak skojarzenia. Znak zależy od tego, które pary analityk początkowo uznał za zgodne, ale wybór ten nie wpływa na wielkość.

Pod względem ilorazu szans OR, Q Yule jest określone przez