Dynamika Glaubera

W fizyce statystycznej dynamika Glaubera jest sposobem na symulację modelu Isinga ( modelu magnetyzmu ) na komputerze. Jest to rodzaj algorytmu Monte Carlo łańcucha Markowa .

Algorytm

Rozkład prawdopodobieństwa według Dynamiki Glaubera dla zmiany energii, która wynikałaby z odwrócenia niektórych spinów dla różnych temperatur, T.

W modelu Isinga mamy powiedzmy N cząstek , które mogą obracać się w górę (+1) lub w dół (-1). Powiedzmy, że cząstki są na siatce 2D. Każdą oznaczymy współrzędnymi x i y. Algorytm Glaubera staje się:

losowo cząstkę ${\ Displaystyle \ sigma _ {x, y}} .$
Zsumuj cztery sąsiednie spiny. ${\ Displaystyle S = \ sigma _ {x + 1, y} + \ sigma _ {x -1,y}+\sigma _{x,y+1}+\sigma _{x,y-1}}$ .
Oblicz zmianę energii, jeśli spin x, y miałby się odwrócić. To $_$ _
mi $}) }$ gdzie T jest temperaturą .
Wyświetl nową siatkę. Powtórz powyższe N razy.

W algorytmie Glaubera, jeśli zmiana energii podczas obracania spinu wynosi zero $,$ spin zawsze byłby odwracany z prawdopodobieństwem $displaystyle p (0} ,T)=0,5}$ .

Algorytm Glaubera VS Metropolisa-Hastingsa

Algorytm Metropolisa-Hastingsa daje identyczne wyniki jak algorytm Glaubera, ale jest szybszy. W algorytmie Metropolis wybór spinu jest deterministyczny. Zwykle można wybrać spiny jeden po drugim według określonej kolejności, na przykład „kolejność maszyny do pisania”. Jednak w dynamice Glaubera każdy spin ma równe szanse na wybranie w każdym kroku czasowym, niezależnie od tego, czy został wybrany wcześniej. Kryterium akceptacji Metropolis obejmuje również wagę Boltzmanna , ${\ displaystyle e ^ {- \ Delta E/T}}$ , ale zawsze odwraca spin na korzyść obniżenia energii, tak że prawdopodobieństwo odwrócenia spinu wynosi:

${\ Displaystyle p (\ Delta E) = \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} 1, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta E\leqslant 0\\e^{-\Delta E/T},\ \Delta E>0\\\end{macierz}}\right.}$ .

Rozkład prawdopodobieństwa zgodnie z dynamiką Metropolisa-Hastingsa dla zmiany energii, która wynikałaby z odwrócenia niektórych spinów s dla różnych temperatur, T.

{\ Displaystyle P (\ Delta E \ leqslant 0) = 1 }

.

Chociaż oba prawdopodobieństwa akceptacji są zbliżone do krzywej schodkowej i są prawie nie do odróżnienia w bardzo niskich temperaturach, różnią się, gdy temperatura wzrasta. Dla modelu Isinga na siatce 2d temperatura krytyczna wynosi ${\ displaystyle T = 2,27}$ .

W praktyce główna różnica między algorytmem Metropolisa-Hastingsa a algorytmem Glaubera polega na wyborze spinów i sposobie ich odwrócenia (krok 4). Jednak w równowadze termicznej te dwa algorytmy powinny dawać identyczne wyniki. Ogólnie rzecz biorąc, w stanie równowagi każdy MCMC powinien dawać ten sam rozkład, o ile algorytm spełnia ergodyczność i równowagę szczegółową . W obu algorytmach dla każdej zmiany energii ${\ Displaystyle p (\ Delta E) \ neq 0}$ , co oznacza, że przejście między stanami układu jest zawsze możliwe, mimo że jest bardzo mało prawdopodobne w pewnych temperaturach. Zatem warunek ergodyczności jest spełniony dla obu algorytmów. Szczegółowa równowaga, która jest wymogiem odwracalności, stwierdza, że jeśli obserwujesz system przez wystarczająco długi czas, system przechodzi ze stanu do stanu ${\ displaystyle A} do$ taką samą częstotliwością, jak przejście ze stanu ZA ${\ displaystyle$ $} \ displaystyle B}$ do ${\ displaystyle A}$ . W równowadze prawdopodobieństwo zaobserwowania systemu w stanie A jest określone przez wagę Boltzmanna , ${\ displaystyle e ^ {-E_ {A}/T}}$ . Tak więc ilość czasu, jaką system spędza w stanach o niskiej energii, jest większa niż w stanach o wysokiej energii i istnieje większe prawdopodobieństwo, że system zostanie zaobserwowany w stanach, w których spędza więcej czasu. Oznacza to, że gdy przejście z energetycznie niekorzystnego przejścia z ${\ displaystyle A}$ do ${\ displaystyle B}$ , zdarza się, że system znajduje się w ${\ displaystyle A}$ częściej, równoważąc niższe wewnętrzne prawdopodobieństwo przejścia. Dlatego zarówno algorytmy Glaubera, jak i Metropolisa-Hastingsa wykazują szczegółową równowagę.

Historia

Algorytm nosi imię Roya J. Glaubera .

Oprogramowanie

Pakiet symulacyjny IsingLenzMC zapewnia symulację dynamiki Glaubera na sieciach 1D z polem zewnętrznym. ŻURAŹ .

Powiązane strony

^ Glauber, Roy J. (luty 1963). „Roy J. Glauber„ Statystyki zależne od czasu modelu Isinga ” ” . Journal of Mathematical Physics . 4 (2): 294–307. doi : 10.1063/1.1703954 . Źródło 21.03.2021 .
^ Suzen, Mehmet (29 września 2014). „M. Suzen„Efektywna ergodyczność w dynamice pojedynczego spin-flip ” . Przegląd fizyczny E. 90 (3): 032141. arXiv : 1405.4497 . doi : 10.1103/PhysRevE.90.032141 . PMID 25314429 . S2CID 118355454 . Źródło 2022-08-09 .
^ ^a ^b „Dynamika Glaubera | gracz bitowy” . Źródło 2019-07-21 .
^ Walter, J.-C.; Barkema, GT (2015). „Wprowadzenie do metod Monte Carlo”. Physica A: Mechanika statystyczna i jej zastosowania . 418 : 78–87. ar Xiv : 1404.0209 . doi : 10.1016/j.physa.2014.06.014 . S2CID 118589022 .
^ „Trzy miesiące w Monte Carlo | bit-player” . Źródło 2022-08-25 .

[:2-1] Glauber, Roy J. (luty 1963). „Roy J. Glauber„ Statystyki zależne od czasu modelu Isinga ” ” . Journal of Mathematical Physics . 4 (2): 294–307. doi : 10.1063/1.1703954 . Źródło 21.03.2021 .

[pre0-2] Suzen, Mehmet (29 września 2014). „M. Suzen„Efektywna ergodyczność w dynamice pojedynczego spin-flip ” . Przegląd fizyczny E. 90 (3): 032141. arXiv : 1405.4497 . doi : 10.1103/PhysRevE.90.032141 . PMID 25314429 . S2CID 118355454 . Źródło 2022-08-09 .

[:0-3] „Dynamika Glaubera | gracz bitowy” . Źródło 2019-07-21 .

[:1-4] Walter, J.-C.; Barkema, GT (2015). „Wprowadzenie do metod Monte Carlo”. Physica A: Mechanika statystyczna i jej zastosowania . 418 : 78–87. ar Xiv : 1404.0209 . doi : 10.1016/j.physa.2014.06.014 . S2CID 118589022 .

[5] „Trzy miesiące w Monte Carlo | bit-player” . Źródło 2022-08-25 .