Dziedziczna podalgebra C*

W matematyce dziedziczna C*-podalgebra C*-algebry jest szczególnym typem C*-podalgebry, której struktura jest ściśle związana ze strukturą większej C*-algebry. AC*-podalgebra B z A jest dziedziczną C*-podalgebrą, jeśli dla wszystkich a ∈ A i b ∈ B takich, że 0 ≤ a ≤ b , mamy a ∈ B .

Nieruchomości

• Dziedziczna C*-podalgebra w przybliżeniu skończonej wymiarowej C*-algebry to także AF. Nie dotyczy to podalgebr, które nie są dziedziczne. Na przykład, każda abelowa C*-algebra może być osadzona w AF C*-algebrze.
• AC*-subalgebra nazywana jest pełną , jeśli nie zawiera się w żadnym właściwym (dwustronnym) zamkniętym ideale. Dwie C*-algebry A i B nazywane są stabilnie izomorficznymi , jeśli A ⊗ K ≅ B ⊗ K , gdzie K jest C*-algebrą operatorów zwartych na rozdzielnej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta . C*-algebry są stabilnie izomorficzne ze swoimi pełnymi dziedzicznymi C*-algebrami. Stąd dwie C*-algebry są stabilnie izomorficzne, jeśli zawierają stabilnie izomorficzne pełne dziedziczne C*-podalgebry.
• Również dziedzicznymi C*-subalgebrami są te C*-subalgebry, w których ograniczenie jakiejkolwiek nieredukowalnej reprezentacji jest również nieredukowalne.

Korespondencja z ideałami zamkniętej lewicy

Istnieje bijektywna zgodność między zamkniętymi lewymi ideałami a dziedzicznymi C*-subalgebrami A . Jeśli L ⊂ A jest ideałem zamkniętym lewostronnie, niech L * oznacza obraz L pod operacją *. Zbiór L * jest ideałem prawym, a L * ∩ L jest podalgebrą C*. W rzeczywistości L * ∩ L jest dziedziczna, a mapa L ↦ L * ∩ L jest bijekcją. Z tej korespondencji wynika, że ​​każdy zamknięty ideał jest dziedziczną C*-podalgebrą. Innym wnioskiem jest to, że dziedziczna C*-podalgebra prostej C*-algebry jest również prosta.

Połączenia z elementami pozytywnymi

Jeśli p jest rzutem A (lub rzutem algebry mnożników A ), to pAp jest dziedziczną C*-podalgebrą znaną jako róg A . Bardziej ogólnie, mając dodatnie a ∈ A , domknięcie zbioru aAa jest najmniejszą dziedziczną C*-podalgebrą zawierającą a , oznaczoną przez Her( a ). Jeśli A jest separowalna , to każda dziedziczna C*-subalgebra ma tę postać.

Te dziedziczne podalgebry C* mogą wnieść pewien wgląd w pojęcie podrównoważności Cuntza. $są$ szczególności, jeśli a i b dodatnimi elementami algebry C * , to jeśli b ∈ Her ( a . Stąd a ~ b jeśli Her( a ) = Her( b ).

Jeśli A jest jednostkowe, a element dodatni a jest odwracalny, to Her( a ) = A . Sugeruje to następujące pojęcie dla przypadku niejednostkowego: mówi się, że a ∈ A jest ściśle dodatnie , jeśli Her( a ) = A . Na przykład w C*-algebrze K ( H ) operatorów zwartych działających na przestrzeni Hilberta H operator zwarty jest ściśle dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy jego zakres jest gęsty w H . Przemienna C*-algebra zawiera ściśle dodatni element wtedy i tylko wtedy, gdy widmo algebry jest σ-zwarte . Mówiąc bardziej ogólnie, C*-algebra zawiera ściśle pozytywny element wtedy i tylko wtedy, gdy algebra ma sekwencyjną przybliżoną tożsamość .