Dziwne rozstanie

Dzielenie nici to numeryczna metoda rozwiązywania równań różniczkowych , które można rozłożyć na sumę operatorów różniczkowych. Jej nazwa pochodzi od Gilberta Stranga . Służy do przyspieszenia obliczeń w przypadku problemów z udziałem operatorów w bardzo różnych skalach czasowych, na przykład reakcji chemicznych w dynamice płynów, oraz do rozwiązywania wielowymiarowych równań różniczkowych cząstkowych poprzez sprowadzenie ich do sumy problemów jednowymiarowych.

Metody kroków ułamkowych

Jako prekursor podziału Stranga rozważ równanie różniczkowe postaci

{\ Displaystyle {\ Frac {d {y}} {dt}} = L_ {1} ({y}) + L_ {2} ({y })}

gdzie ${\ Displaystyle L_ {1}}$ , ${\ Displaystyle L_ {2}}$ są operatorami różniczkowymi . Gdyby i były macierzami o stałych współczynnikach, to dokładnym rozwiązaniem powiązanego problemu z wartością początkową byłoby $L_ {1}}$ $displaystyle$

{\ Displaystyle y (t) = e ^ {(L_ {1} + L_ {2}) t} y_ {0}}

.

Jeśli $L_ {1}}$ dojeżdżają do pracy, to zgodnie z prawami wykładniczymi jest to równoważne $displaystyle$

{\ Displaystyle y (t) = e ^ {L_ {1} t} e ^ {L_ {2} t} y_ {0}}

.

Jeśli tego nie zrobią, to za pomocą wzoru Bakera – Campbella – Hausdorffa nadal możliwe jest zastąpienie wykładniczej sumy iloczynem wykładniczych kosztem błędu pierwszego rzędu:

{\ Displaystyle e ^ {(L_ {1} + L_ {2}) t} y_ {0} = mi ^{L_{1}t}e^{L_{2}t}y_{0}+{\mathcal {O}}(t)}

.

Daje to początek schematowi numerycznemu, w którym zamiast rozwiązywać pierwotny problem początkowy, rozwiązuje się oba podproblemy na przemian:

{\ Displaystyle {\ tylda {y}} _ {1} = e ^ {L_ {1} \ Delta t} y_ {0}}

{\ Displaystyle y_ {1} = e ^ {L_ {2} \ Delta t} {\ tylda {y}} _ {1}}

{\ Displaystyle {\ tylda {y}}_{2}=e^{L_{1}\Delta t}y_{1}}

{\ Displaystyle y_ {2} = e ^ {L_ {2} \ Delta t} {\ tylda {y}} _ {2}}

itd.

W tym kontekście ${\ Displaystyle e ^ {L_ {1} \ Delta t}}$ jest schematem numerycznym rozwiązującym podproblem

\ Displaystyle {\ Frac {d {y}} {dt}} = L_ {1} ({y})}

do pierwszego zamówienia. Podejście to nie ogranicza się do problemów liniowych, to znaczy $może$ operatorem różniczkowym.

Dziwne rozstanie

Podział Strang rozszerza to podejście do drugiego rzędu, wybierając inną kolejność operacji. Zamiast wykonywania pełnych kroków czasowych z każdym operatorem, zamiast tego wykonuje się kroki czasowe w następujący sposób:

{\ Displaystyle {\ tylda {y}} _ {1} = e ^ {L_ {1} {\ Frac {\ Delta t} {2}}} y_ {0} }

{\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {1} = e ^ {L_ {2} \ Delta t} {\ tylda {y}} _ {1} }

{\ Displaystyle y_ {1} = e ^ {L_ {1} {\ Frac {\ Delta t} {2}}} {\ bar {y}} _ { 1}}

{\ Displaystyle {\ tylda {y}} _ {2} = e ^ {L_ {1} {\ Frac {\ Delta t} {2}}} y_ {1 }}

{\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {2} = e ^ {L_ {2} \ Delta t} {\ tylda {y}} _ {2 }}

{\ Displaystyle y_ {2} = e ^ {L_ {1} {\ Frac {\ Delta t} {2}}} {\ bar {y}} _ {2}}

itd.

Można udowodnić, że rozszczepienie Stranga jest drugiego rzędu, używając wzoru Bakera-Campbella-Hausdorffa, analizy drzewa ukorzenionego lub bezpośredniego porównania składników błędów za pomocą rozwinięcia Taylora. Aby schemat był dokładny drugiego rzędu, $.$ również przybliżeniem drugiego rzędu do operatora

Zobacz też

Dziwne, Gilbercie. O konstrukcji i porównaniu schematów różnicowych . SIAM Journal on numerical Analysis 5.3 (1968): 506–517. doi : 10.1137/0705041
McLachlan, Robert I. i G. Reinout W. Quispel. Metody podziału. Acta Numerica 11 (2002): 341–434. doi : 10.1017/S0962492902000053
LeVeque, Randall J. , Metody objętości skończonej dla problemów hiperbolicznych . Tom. 31. Cambridge University Press, 2002. (pbk ISBN 0-521-00924-3 )