Ekspansja fali płaskiej

W fizyce ekspansja fali płaskiej wyraża falę płaską jako liniową kombinację fal sferycznych :

$${\ Displaystyle e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} }=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }({\hat { \mathbf {k} }}\cdot {\kapelusz {\mathbf {r} }}),}$$

Gdzie

• i jest jednostką urojoną ,
• k jest wektorem falowym o długości k ,
• r jest wektorem położenia o długości r ,
• j _ℓ są sferycznymi funkcjami Bessela ,
• P _ℓ są wielomianami Legendre’a i
• kapelusz ^ oznacza wektor jednostkowy .

W szczególnym przypadku, gdy k jest wyrównane z osią z ,

$${\ Displaystyle e ^ {ikr \ cos \ teta} = \ suma _ {\ell =0}^{\infty}(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta ),}$$

gdzie θ jest sferycznym kątem biegunowym r .

Ekspansja w harmonicznych sferycznych

Za pomocą twierdzenia o dodawaniu sferyczno-harmonicznym równanie można przepisać jako

$${\ Displaystyle e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} = 4 \ pi \ suma _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {m = - \ ell} ^ { \ell } i^{\ell }j_{\ell }(kr)Y_{\ell }^{m}{}({\hat {\mathbf {k} }})Y_{\ell }^{m* } ({\ kapelusz {\ mathbf {r} }}),}$$

Gdzie

• Y _ℓ ^m to sferyczne harmoniczne i
• indeks górny * oznacza złożoną koniugację .

Należy zauważyć, że złożoną koniugację można zamieniać między dwiema sferycznymi harmonicznymi ze względu na symetrię.

Aplikacje

Zastosowano ekspansję fali płaskiej

• Akustyka
• Optyka
• Matryca S

Zobacz też

• Równanie Helmholtza
• Metoda ekspansji fali płaskiej w elektromagnetyzmie obliczeniowym
• Ekspansja Weyla

• Biblioteka cyfrowa funkcji matematycznych, równanie 10.60.7 , Narodowy Instytut Standardów i Technologii
• Rami Mehrem (2009), Rozszerzanie fali płaskiej, całki nieskończone i tożsamości obejmujące sferyczne funkcje Bessela , arXiv : 0909.0494 , Bibcode : 2009arXiv0909.0494M