Falka splajnu

Animacja przedstawiająca kompaktowo obsługiwane kardynalne falki B-sklejane rzędów 1, 2, 3, 4 i 5.

W matematycznej teorii falek falka splajnu to falka skonstruowana przy użyciu funkcji splajnu . Istnieją różne rodzaje fal splajnu. Interpolacyjne falki splajnu wprowadzone przez CK Chui i JZ Wanga są oparte na pewnym interpolacji splajnu . Chociaż te falki są ortogonalne , nie mają zwartych podpór . Istnieje pewna klasa falek, w pewnym sensie unikalna, zbudowana za pomocą B-sklejanych i posiadające zwarte podpory. Chociaż te falki nie są ortogonalne, mają pewne specjalne właściwości, które sprawiły, że stały się dość popularne. Terminologia falka splajnu jest czasami używana w odniesieniu do falek w tej klasie falek splajnu. Te specjalne falki są również nazywane falkami B-sklejanymi i kardynalnymi falkami B-sklejanymi . Falki Battle-Lemarie są również falkami skonstruowanymi przy użyciu funkcji splajnu.

Kardynalne B-splajny

₀ Niech n będzie stałą nieujemną liczbą całkowitą . Niech C ⁿ oznacza zbiór wszystkich funkcji o wartościach rzeczywistych zdefiniowanych na zbiorze liczb rzeczywistych takich, że każda funkcja w zbiorze oraz jej pierwsze n pochodnych są wszędzie ciągłe . Sekwencja bi-nieskończona . . . x ₋₂ , x ₋₁ , x , x ₁ , x ₂ , . . . taki, że x _{że r} < x _{r +1} dla wszystkich r i takie, że x _r zbliża się do ±∞, gdy r zbliża się do ±∞, definiuje zbiór węzłów. Splajn rzędu n ze zbiorem węzłów { x _r } jest funkcją S ( x ) w C ⁿ taką, że dla każdego r ograniczenie S ( x ) do przedziału [ x _r , x _{r +1} ) pokrywa się z wielomianem o rzeczywistych współczynnikach stopnia co najwyżej n w x .

Jeżeli odstęp x _{r +1} - x _r , gdzie r jest dowolną liczbą całkowitą, między kolejnymi węzłami w zbiorze węzłów jest stały, to splajn nazywamy splajnem kardynalnym . Zbiór liczb całkowitych Z = {. . ., -2, -1, 0, 1, 2, . . .} to standardowy wybór dla zbioru węzłów splajnu kardynalnego. O ile nie określono inaczej, ogólnie przyjmuje się, że zbiór węzłów jest zbiorem liczb całkowitych.

Kardynalny B-splajn jest specjalnym typem kardynalnego splajnu. _Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej m kardynalny B-sklejany rzędu m , oznaczony przez Nm ( x ), jest definiowany rekurencyjnie w następujący sposób.

${\ Displaystyle N_ {1} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i 0 \ równoważnik x <1 \\ 0 & {\ tekst {inaczej}} \ koniec {przypadków }}}$

${\ Displaystyle N_ {m} (x) = \ int _ {0} ^ {1} N_ {m-1} ( xt) dt}$ , dla ${\ Displaystyle m> 1}$ .

Konkretne wyrażenia dla kardynalnych B-splajnów wszystkich rzędów do 5 i ich wykresy podano w dalszej części tego artykułu.

Własności kardynalnych B-splajnów

Właściwości elementarne

1. Wsparciem jest zamknięty przedział $[0,m]$$m$ ] .
2. Funkcja ${m} (x$ nieujemna, to znaczy $N_{m}(x)$ ) $0<x<m$.
3. ${\ Displaystyle \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} N_ {m} (xk) = 1}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x }$ .
4. Kardynalne B-sklejane rzędów m i m-1 są powiązane tożsamością: ${\ Displaystyle N_ {m} (x) = {\ Frac {x} {m-1}} N_ {m-1} (x) + {\ Frac {mx} {m-1}} N_ {m- 1}(x-1)}$ .
5. Funkcja jest symetryczna względem $}$${\ Displaystyle N_ {m} \ lewo ({\ Frac {m} {2}} -x \ prawej) = N_ {m} \ lewo ({\ Frac {m} }{2}}+x\w prawo)}$ względem $}}$ .
6. $N_ {m} (x)}$ Displaystyle jest dana przez ${\ Displaystyle N_ {m}^{\prime}(x)=N_{m-1}(x)-N_{m-1}(x-1)}$ .
7. ${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} N_ {m} (x) \, dx = 1}$

Relacja dwuskalowa

Kardynał B-sklejany rzędu m spełnia następującą dwuskalową relację:

${\ Displaystyle N_ {m} (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {m} 2^{-m+1}{m \wybierz k}N_{m}(2x-k)}$ .

majątek Riesza

Kardynał B-sklejany rzędu m spełnia następującą właściwość ${\ displaystyle B},$ znaną jako właściwość Riesza: istnieją dwie dodatnie liczby rzeczywiste i $kwadratu$ takie, że dla dowolnego dwustronnego ciągu sumowalnego do ${\ Displaystyle \ {c_ {k} \} _ {k = - \ infty} ^ {\ infty}}$ i dla dowolnego x ,

${\ Displaystyle A \ lewo \ Vert \ {c_ {k} \}\right\Vert ^{2}\leq \left\Vert \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}N_{m}(xk)\right\Vert ^{2} \leq B\left\Vert \{c_{k}\}\right\Vert ^{2}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ Vert \ cdot \ Vert}$ jest normą w przestrzeni ℓ ² .

Kardynalne B-splajny małych rzędów

Kardynalne B-sklejane są definiowane rekurencyjnie, zaczynając od B-sklejanego rzędu 1, a mianowicie , który przyjmuje wartość 1 w przedziale [0, 1) i ${\ Displaystyle N_ {1} (x)}$ 0 gdzie indziej. Może być konieczne zastosowanie systemów algebry komputerowej w celu uzyskania konkretnych wyrażeń dla kardynalnych B-sklejanych wyższego rzędu. Konkretne wyrażenia dla kardynalnych B-splajnów wszystkich rzędów do 6 podano poniżej. Przedstawiono również wykresy kardynalnych B-sklejanych rzędów do 4. Na obrazach pokazane są również wykresy terminów składających się na odpowiednie relacje dwuskalowe. Dwie kropki na każdym obrazie wskazują krańce przedziału podtrzymującego B-splajn.

Stały B-splajn

B-sklejany rzędu 1, a mianowicie $B$ - Jest określony przez

${\ Displaystyle N_ {1} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i 0 \ równoważnik x <1 \\ 0 & {\ tekst {inaczej}} \ koniec {przypadków }}}$

Relacja dwuskalowa dla tego B-sklejanego to

${\ Displaystyle N_ {1} (x) = N_ {1} (2x) + N_ {1} (2x-1)}$

Stała B-sklejana ${\ Displaystyle N_ {1} (x)}$

Liniowy B-splajn

B-sklejany rzędu 2, a mianowicie $,$ sklejany Podaje się przez

${\ Displaystyle N_ {2} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} x & 0 \ równoważnik x <1 \\ -x + 2&1\równik x<2\\0&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}$

Relacja dwuskalowa dla tej falki to

${\ Displaystyle N_ {2} (x) = {\ Frac {1 }{2}}N_{2}(2x)+N_{2}(2x-1)+{\frac {1}{2}}N_{2}(2x-2)}$

liniowy b-sklejany ${\ Displaystyle N_ {2} (x)}$

Kwadratowy B-splajn

B-sklejany rzędu 3, a mianowicie $B$ sklejany Podaje się przez

${\ Displaystyle N_ {3} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {1} {2}} x ^ {2} i 0 \ równoważnik x <1 \\ -x ^ {2} + 3x - { \frac {3}{2}}&1\leq x<2\\{\frac {1}{2}}x^{2}-3x+{\frac {9}{2}}&2\leq x<3 \\0&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}$

Relacja dwuskalowa dla tej falki to

${\ Displaystyle N_ {3} (x) = {\ Frac {1} {4}} N_ {3} (2x) + {\ Frac {3} {4}} N_ {3} (2x-1) + { \frac {3}{4}}N_{3}(2x-2)+{\frac {1}{4}}N_{3}(2x-3)}$

Kwadratowy b-sklejany ${\ Displaystyle N_ {3} (x)}$

Sześcienny B-splajn

Sześcienny B-sklejany to kardynalny B-sklejany rzędu 4, oznaczony przez ${\ Displaystyle N_ {4} (x)}$ . Podają ją następujące wyrażenia:

${\ Displaystyle N_ {4} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {1} {6}} x ^{3}&0\równoważnik x<1\\-{\frak {1}{2}}x^{3}+2x^{2}-2x+{\frak {2}{3}}&1\równoważnik x <2\\{\frac {1}{2}}x^{3}-4x^{2}+10x-{\frac {22}{3}}&2\leq x<3\\-{\frac {1}{6}}x^{3}+2x^{2}-8x+{\frac {32}{3}}&3\równik x<4\\0&{\text{inaczej}}\end{przypadki }}}$

Relacja dwóch skal dla sześciennego B-sklejanego to

${\ Displaystyle N_ {4} (x) = {\ Frac {1} {8}} N_ {4} (2x) + {\ Frac {1} {2}} N_ {4} (2x -1)+{\frac {3}{4}}N_{4}(2x-2)+{\frac {1}{2}}N_{4}(2x-3)+{\frac {1} {8}}N_{4}(2x-4)}$

Sześcienny B-sklejany ${\ Displaystyle N_ {4} (x)}$

Bi-kwadratowy B-splajn

Dwukwadratowy B-sklejany to kardynalny B-sklejany rzędu 5 oznaczony przez ${\ Displaystyle N_ {5} (x)}$ . Podaje się przez

${\ Displaystyle N_ {5} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {1} {24}} x ^ {4} i 0 \ równoważnik x <1 \\ - {\ Frac {1} {6} }x^{4}+{\frac {5}{6}}x^{3}-{\frac {5}{4}}x^{2}+{\frac {5}{6}}x -{\frac {5}{24}}&1\leq x<2\\{\frac {1}{4}}x^{4}-{\frac {5}{2}}x^{3} +{\frac {35}{4}}x^{2}-{\frac {25}{2}}x+{\frac {155}{24}}&2\leq x<3\\-{\frac {1}{6}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{3}-{\frac {55}{4}}x^{2}+{\frac {65 }{2}}x-{\frac {655}{24}}&3\równik x<4\\{\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {5}{6} }x^{3}+{\frac {25}{4}}x^{2}-{\frac {125}{6}}x+{\frac {625}{24}}&4\leq x<5 \\0&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}$

Relacja dwuskalowa jest

${\ Displaystyle N_ {5} (x) = {\ Frac {1} {16}} N_ {5} (2x) + {\ Frac {5 }{16}}N_{5}(2x-1)+{\frac {10}{16}}N_{5}(2x-2)+{\frac {10}{16}}N_{5}( 2x-3)+{\frac {5}{16}}N_{5}(2x-4)+{\frac {1}{16}}N_{5}(2x-5)}$

Quintic B-splajn

Kwintyczny B-sklejany to kardynalny B-sklejany rzędu 6 oznaczony przez ${\ Displaystyle N_ {6} (x)}$ . Podaje się przez

${\ Displaystyle N_ {6} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {1} {120}} x ^ {5} i 0 \ równoważnik x <1 \\ - {\ Frac {1} {24} }x^{5}+{\frac {1}{4}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{3}+{\frac {1}{2}}x ^{2}-{\frac {1}{4}}x+{\frac {1}{20}}&1\leq x<2\\{\frac {1}{12}}x^{5}- x^{4}+{\frac {9}{2}}x^{3}-{\frac {19}{2}}x^{2}+{\frac {39}{4}}x- {\frac {79}{20}}&2\równoważnik x<3\\-{\frac {1}{12}}x^{5}+{\frac {3}{2}}x^{4} -{\frac {21}{2}}x^{3}+{\frac {71}{2}}x^{2}-{\frac {231}{4}}x+{\frac {731} {20}}&3\równik x<4\\{\frac {1}{24}}x^{5}-x^{4}+{\frac {19}{2}}x^{3}- {\frac {89}{2}}x^{2}+{\frac {409}{4}}x-{\frac {1829}{20}}&4\leq x<5\\-{\frac {1}{120}}x^{5}+{\frac {1}{4}}x^{4}-3x^{3}+18x^{2}-54x+{\frac {324}{5 }}&5\leq x<6\\0&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}$

Analiza wielorozdzielcza generowana przez kardynalne B-splajny

Kardynał $z$ - generuje analizę wieloma . W $podanych powyżej$ , że ​​funkcja jest $do$ kwadratu i jest przestrzeni $\displaystyle L ^ {2}(R)}$ funkcji całkowalnych z kwadratem. Aby skonfigurować analizę wielu rozdzielczości, zastosowano następujące notacje.

• ${\ Displaystyle k, j}$ jot , zdefiniuj funkcję $kj} (x) = N_ { m}(2^{k}xj)}$ .
• Dla każdej liczby całkowitej zdefiniuj $}$${2} (R$ ( R $Displaystyle$ ^ zamknięcie liniowego rozpiętości zestaw ${\ Displaystyle \ {N_ {m, kj} (x): j = \ cdots, -2, -1,0,1,2 \ cdots \}}$ .

To, że definiują one analizę wielorozdzielczą, wynika z następujących kwestii:

1. Przestrzenie $podzbiór V_ {-2} \ podzbiór V_ {-1}\subset V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots }$ właściwość: $\$ .
2. Zamknięcie w unii wszystkich podprzestrzeni $to$${\ Displaystyle V_ {k}}$ cała przestrzeń $^{2}(R)}$$\ Displaystyle$ .
3. Przecięcie wszystkich podprzestrzeni $.$ singletonowym zawierającym tylko funkcję zerową
4. dla każdej liczby całkowitej ${\ Displaystyle k}$ zestaw ${\ Displaystyle \ {N_ {m, kj} ( x): j=\cdots, -2,-1,0,1,2,\cdots \}}$ jest bezwarunkową podstawą dla ${\ displaystyle V_ {k}}$ . (Sekwencja { x _rz } w przestrzeni Banacha X jest bezwarunkową bazą dla przestrzeni X , jeśli każda permutacja ciągu { x _n } jest również bazą dla tej samej przestrzeni X .)

Falki z kardynalnych B-splajnów

Niech m będzie stałą dodatnią liczbą całkowitą i $będzie$ - m Funkcja $\ psi _ {m} (x)} w$ Displaystyle $podstawową$ funkcji B- ${\ Displaystyle N_ {m} (x)}$ , jeśli zamknięcie w ${\ Displaystyle L ^ {2} (R)}$ liniowej rozpiętości zbioru ${\ Displaystyle \ {\ psi _ {m} (xj): j = \ cdots, -2, -1,0,1,2, \ cdots \}} (to$ zamknięcie jest oznaczone przez ${\ Displaystyle W_ {0 }}$ ) jest dopełnieniem ortogonalnym z ${\ Displaystyle V_ {0}}$ w ${\ Displaystyle V_ {1}}$ . $\ psi _ {m} (x)}$ m Displaystyle jest używany do wskazania, że ​​jest podstawową relatywną falką ${\ Displaystyle \ psi _ {m} (x)$ kardynał B-sklejany rzędu m . Nie ma unikalnej podstawowej falki ${\ Displaystyle \ psi _ {m} (x)}$ w stosunku do kardynalnej B-sklejanej ${\ Displaystyle N_ {m} (x)}$ . Niektóre z nich omówiono w poniższych sekcjach.

Falki względem kardynalnych B-splajnów przy użyciu podstawowych splajnów interpolacyjnych

Podstawowy splajn interpolacyjny

Definicje

Niech m będzie stałą dodatnią liczbą całkowitą i niech będzie kardynalną B-sklejaną rzędu m . $}$ ) Biorąc pod uwagę sekwencję ${\ Displaystyle \ {f_ {j}: j = \ cdots, -2, -1,0,1,2 ,\cdots \}}$ liczb rzeczywistych, problem znalezienia ciągu ${\ Displaystyle \ {c_ {m, k}: k = \ cdots, -2, -1,0,1,2, \cdots \}}$ liczb rzeczywistych takich, że

${\ Displaystyle \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {m, k} N_ {m } \ lewo (j + {\ Frac {m} {2}} -k \ prawo) = f_ {j}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle j}$ ,

jest znany jako problem interpolacji kardynalnej splajnu . Szczególny przypadek tego problemu, w którym sekwencja $delta _ {ij}}$ sekwencją, gdzie ${\ Displaystyle \ delta _ {0j}}$$δ$ to funkcja delta Kroneckera zdefiniowana przez ${\ Displaystyle \ delta _ {ij}}$

${\ Displaystyle \ delta _ {ij} = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i {\ tekst {jeśli}} i = j \\ 0, & {\text{if }}i\neq j\end{przypadki}}}$ ,

jest podstawowym problemem interpolacji splajnu kardynalnego . Rozwiązanie problemu daje podstawowy kardynalny interpolacyjny splajn rzędu m . Ten splajn jest oznaczony przez ${\ Displaystyle L_ {m} (x)}$ i jest określony przez L m ( x ) {\ Displaystyle L_ {m} (x)}

${\ Displaystyle L_ {m} (x) = \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty }c_{m,k}N_{m}\left(x+{\frac {m}{2}}-k\right)}$

gdzie sekwencja jest teraz rozwiązaniem następującego układu równań: ${\ Displaystyle \ {c_ {m, k} \}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {m, k} N_ {m }\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=\delta _{0j}}$

Procedura znajdowania podstawowego kardynalnego splajnu interpolacyjnego

Podstawowy kardynalny splajn interpolacyjny można określić za pomocą transformacji Z. ${\ Displaystyle L_ {m} (x)$ } Używając następujących oznaczeń

${\ Displaystyle A (z) = \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta _ {k0} z ^ { k}=1,}$

${\ Displaystyle B_ {m} (z) = \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} N_ {m} \ lewo (k + {\ Frac {m} {2}} \ prawej) z ^ { k},}$

$\ Displaystyle C_ {m} (z) = \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {m,k}z^{k},}$

z równań określających sekwencję widać, że $}$

${\ Displaystyle B_ {m} (z) C_ {m} (z) = A (z)}$

z którego dostajemy

${\ Displaystyle C_ {m} (z) = {\ Frac {1} {B_ {m} (z)}}}$ .

Można to wykorzystać do uzyskania konkretnych wyrażeń dla do $\ displaystyle c_ {m, k}}$ .

Przykład

można zbadać sprawę. ${\ displaystyle L_ {4} (x)}$ Definicja implikuje to ${\ Displaystyle B_ {m} (z)}$

${\ Displaystyle B_ {4} (x) = \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} N_ {4 }(2+k)z^{k}}$

Jedyne niezerowe wartości $\$$-1,0,1}$ k odpowiadające im wartości są

${\ Displaystyle N_ {4} (1) = {\ Frac {1} {6}}, N_ {4} (2) = {\ Frac {4} {6}}, N_ {4} (3) = { \frac {1}{6}}.}$

Zatem ${\ Displaystyle B_ {4} (z)}$ redukuje się do

${\ Displaystyle B_ {4} (z) = {\ Frac {1} {6} }z^{-1}+{\frac {4}{6}}z^{0}+{\frac {1}{6}}z^{1}={\frac {1+4z+z^ {2}}{6z}}}$

Daje to następujące wyrażenie dla ${\ Displaystyle C_ {4} (z)}$ .

${\ Displaystyle C_ {4} (z) = {\ Frac {6z} {1 + 4z + z ^ {2}}}}$

${\ displaystyle c_ {4, k}} .$ i rozwijając każdy wyraz w potęgach z w obszarze pierścieniowym , można obliczyć wartości do Wartości te są następnie zastępowane w wyrażeniu, aby uzyskać ${\ Displaystyle L_ {4} (x)}$

${\ Displaystyle L_ {4} (x) = \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (-1) ^ {k} {\ sqrt {3}} (2-{\sqrt {3}})^{|k|}N_{4}(x+2-k)}$

Falka wykorzystująca podstawowy splajn interpolacyjny

Dla dodatniej liczby całkowitej m , funkcja zdefiniowana przez ${\ Displaystyle \ psi _ {m} (x)}$

${\ Displaystyle \ psi _ {ja, m} (x) = {\ Frac {d ^ {m}} {dx ^ {m}}}L_{2m}(2x-1)}$

jest podstawową falką względem kardynalnej B-sklejanej rzędu. ${\ Displaystyle N_ {m} (x)}$ . Indeks dolny ja $.$ oparty na interpolacyjnym wzorze splajnu Ta podstawowa falka nie jest obsługiwana kompaktowo.

Przykład

Falka rzędu 2 wykorzystująca splajn interpolacyjny jest dana przez

${\ Displaystyle \ psi _ {I, 2} (x) = {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ { 2}}}L_{4}(2x-1)}$

Wyrażenie dla ${\ Displaystyle L_ {4} (x)}$ daje teraz następujący wzór: L 4 ( x ) {\ Displaystyle L_ {4} (x)}

${\ Displaystyle \ psi _ {I, 2} (x) = {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1)^{k}{\sqrt {3}}(2-{\sqrt {3}})^{|k|}N_{4}(2x+1-k)}$

$m} (x$ wyrażenia na pochodną funkcji m $Displaystyle$ { ${\ Displaystyle \ psi _ {2} (x)}$ można przedstawić w następującej formie:

${\ Displaystyle \ psi _ {I, 2} (x) = \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (-1) ^ {k} 4{\sqrt {3}}(2-{\sqrt {3}})^{|k|}{\Duży (}(N_{2}(2x+k-1)-2N_{2}(2x+ k-2)+N_{2}(2x+k-3){\Duży )}}$

$displaystyle k$ przybliżeniem $uzyskanym$ wzięcie sumy warunków odpowiadających w wyrażeniu na szereg nieskończony dla ${\ Displaystyle \ psi _ {2} (x)}$ .

${\ Displaystyle \ psi _ {I, 2} (x) \ około {\ rozpocząć {przypadki} 0,07142668x + 0,17856670 i -2,5 <x \ równoważnik -2 \\ - 0,48084803x-0,92598272 i -2 <x \ równoważnik - 1,5\\2,0088293x+2,8085333&-1,5<x\równik -1\\-7,5684795x-6,7687755&-1<x\równik -0,5\\28,245949x+11,138439&-0,5<x\równik 0\\-57,415316 x+11.138439 i 0 <x \ leq 0,5 \\ 57.415316x-46.276878 i 0,5 <x \ leq 1 \\-28.245949x+39,384388 i 1 <x \ leq 1,5 \\ 7.5684795x-14.337255 i 1 \\-2,0088293x+4,8173625&2<x\równik 2,5\\0,48084803x-1,4068308&2,5<x\równik 3\\-0,07142668x+0,24999338&3<x\równik 3,5\\0&{inaczej}\end{przypadki }}}$

Relacja dwuskalowa

Relacja dwuskalowa dla funkcji falkowej jest dana przez ${\ Displaystyle \ psi _ {m} (x)}$

${\ Displaystyle \ psi _ {ja, m} (x) = \ suma _ {- \ infty} ^ {\ infty} q_{n}N_{m}(2x-n)}$ gdzie ${\ Displaystyle q_ {n} = \ suma _ {j = 0} ^ {m} (-1) ^ {j} {m \ wybierz j} c_ {m + nj-1}.}$

Kompaktowo obsługiwane falki B-splajn

Falki splajnowe generowane przy użyciu falek interpolacyjnych nie są obsługiwane zwięźle. Kompaktowo $. x)}$ obsługiwana falka B-sklejana względem kardynalnej B rzędu m odkrytych przez ${\ Displaystyle \ psi _ {C, m} (x)}$ i oznaczonych przez ma jako wsparcie przedział ${\ Displaystyle [0,2m-1]}$ . Te falki są zasadniczo unikalne w pewnym sensie wyjaśnionym poniżej.

Definicja

Kompaktowo obsługiwana falka B-sklejana rzędu m jest dana przez

${\ Displaystyle \ psi _ {C, m} (x) = {\ Frac {1} {2 ^ {2m-1}}} \ suma _ {j = 0} ^ {2m-2} (-1) ^ {j}N_{2m}(j+1){\frac {d^{m}}{dx^{m}}}N_{2m}(2x-j)}$

To jest splajn m -tego rzędu. W szczególnym przypadku jest to kompaktowo obsługiwana falka B-sklejana rzędu 1

${\ Displaystyle \ psi _ {C, 1} (x) = {\ Frac {1} {2}} N_ {2} (1) {\ Frac {d} {dx}} N_ {2} (2x) = {\begin{cases}1&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\0&{\text{inaczej}} \end{przypadki}}}$

która jest dobrze znaną falką Haara .

Nieruchomości

1. Wsparciem $0,2m-$ zamknięty przedział $]$ Displaystyle
2. Falka $) \ w W_ {0}}$ unikalną falką z minimalnym wsparciem w następującym sensie: Jeśli ${\ Displaystyle \$$eta (x) ψ do , m ( x ) {\ Displaystyle \ psi _ {$$i$ ma wsparcie nieprzekraczające długości ${\ Displaystyle 2m-1}$${\ Displaystyle \ eta (x) = c_ {0} \ psi _ {C, m} (xn_ {0})}$ pewnej niezerowej stałej ${\ Displaystyle c_ {0}}$ i dla pewnej liczby całkowitej ${\ displaystyle n_ {0}}$ .
3. jest symetryczny dla parzystego m i antysymetryczny dla nieparzystego $}$ C , m} (x )

Relacja dwuskalowa

${\ Displaystyle \ psi _ {m} (x)}$ spełnia relację dwuskalową:

${\ Displaystyle \ psi _ {C, m} (x) = \ suma _ {n = 0} ^ { 3m-2}q_{n}N_{m}(2x-n)}$ gdzie ${\ Displaystyle q_ {n} = {\ Frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {m-1}}} \ suma _ {j = 0} ^ { m}{m \wybierz j}N_{2m}(n-j+1)}$ .

Relacja rozkładu

Relacja dekompozycji dla zwarto obsługiwanej falki B-sklejanej ma postać:

${\ Displaystyle N_ {m} (2x-l) = \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ lewo [a_ {m, l-2k} N_ {m} (xk) + b_ {m ,l-2k}\psi _{C,m}(xk)\prawo]}$

gdzie współczynniki i $}}$ podane przez $m ,$ jot {\

${\ Displaystyle a_ {m, j} = - {\ Frac { (-1)^{j}}{2}}\sum _{l=-\infty }^{\infty }q_{-j+2m-2l+1}c_{2m,l},}$

${\ Displaystyle b_ {m, j} = {\ Frac {(-1) ^ {j}} {2}} \ suma _ {l = - \ infty} ^ {\ infty} p_ {-j + 2m-2l +1}c_{2m,l}.}$

$jest$ sekwencja współczynników w podstawowej interpolacyjnej kardynalnej m .

Kompaktowo obsługiwane falki B-sklejane małych rzędów

Kompaktowo obsługiwana falka B-sklejana rzędu 1

Relacja dwuskalowa dla kompaktowo obsługiwanej falki B-sklejanej rzędu 1 wynosi

${\ Displaystyle \ psi _ {C, 1} (x) = N_ {1} (2x) -N_ {1} (2x-1)}$

Wyrażenie w postaci zamkniętej dla kompaktowo obsługiwanej falki B-sklejanej rzędu 1 to

${\ Displaystyle \ psi _ {C, 1} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i 0 \ równoważnik x < {\frac {1}{2}}\\-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\0&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}$

Kompaktowo obsługiwana falka B-sklejana rzędu 2

Relacja dwuskalowa dla kompaktowo obsługiwanej falki B-sklejanej rzędu 2 wynosi

${\ Displaystyle \ psi _ {C, 2} (x) = {\ Frac {1} {12}} \ lewo (N_ {2} (2x) -6N_ {2} (2x-1) + 10N_{2}(2x-2)-6N_{2}(2x-3)+N_{2}(2x-4)\prawo)}$

Wyrażenie w postaci zamkniętej dla kompaktowo obsługiwanej falki B-sklejanej rzędu 2 to

${\ Displaystyle \ psi _ {C, 2} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {1} {6}} x & 0 \ równoważnik x <{\ Frac {1} {2}} \\ - { \frac {7}{6}}x+{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\{\frac {8}{3}}x- {\frac {19}{6}}&1\równoważnik x<{\frac {3}{2}}\\-{\frac {8}{3}}x+{\frac {29}{6}}& {\frac {3}{2}}\równoważnik x<2\\{\frac {7}{6}}x-{\frac {17}{6}}&2\równik x<{\frac {5} {2}}\\-{\frac {1}{6}}x+{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{2}}\leq x<3\\0&{\text {inaczej}}\end{przypadki}}}$

Kompaktowo obsługiwana falka B-splajn rzędu 3

Relacja dwuskalowa dla kompaktowo obsługiwanej falki B-sklejanej rzędu 3 wynosi

${\ Displaystyle \ psi _ {C, 3} (x) = {\ Frac {1} {480}}} {\ Duży [} (N_ {3} (2x) -29N_ {3} (2x-1) + 147N_ {3}(2x-2)-303N_{3}(2x-3)+}$

${\ Displaystyle 303N_ {3} (2x-4) -147N_ {3} (2x-5) + 29N_ {3} (2x-6) -N_ {3} (2x-7) {\ duży ]}}$

Wyrażenie w postaci zamkniętej dla kompaktowo obsługiwanej falki B-sklejanej rzędu 3 to

${\ Displaystyle \ psi _ {C, 3} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {1} {240}} x ^ {2} i 0 \ równoważnik x <{\ Frac {1} {2} }\\-{\frac {31}{240}}x^{2}+{\frac {2}{15}}x-{\frac {1}{30}}&{\frac {1}{ 2}}\ równoważnik x<1\\{\frac {103}{120}}x^{2}-{\frac {221}{120}}x+{\frac {229}{240}}&1\rów x<{\frac {3}{2}}\\-{\frac {313}{120}}x^{2}+{\frac {1027}{120}}x-{\frac {1643}{ 240}}&{\frac {3}{2}}\leq x<2\\{\frac {22}{5}}x^{2}-{\frac {779}{40}}x+{\ frac {339}{16}}&2\leq x<{\frac {5}{2}}\\-{\frac {22}{5}}x^{2}+{\frac {981}{40 }}x-{\frac {541}{16}}&{\frac {5}{2}}\leq x<3\\{\frac {313}{120}}x^{2}-{\ frac {701}{40}}x+{\frac {2341}{80}}&3\leq x<{\frac {7}{2}}\\-{\frac {103}{120}}x^{ 2}+{\frac {809}{120}}x-{\frac {3169}{240}}&{\frac {7}{2}}\leq x<4\\{\frac {31}{ 240}}x^{2}-{\frac {139}{120}}x+{\frac {623}{240}}&4\leq x<{\frac {9}{2}}\\-{\ frac {1}{240}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x-{\frac {5}{48}}&{\frac {9}{2}}\leq x <5\\0&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}$

Kompaktowo obsługiwana falka B-sklejana rzędu 4

Relacja dwuskalowa dla kompaktowo obsługiwanej falki B-sklejanej rzędu 4 wynosi

${\ Displaystyle \ psi _ {C, 4} (x) = {\ Frac {1} {40320}} {\ Duży [} N_ {4} (2x) -124N_ {4} (2x -1)+1677N_{4}(2x-2)-7904N_{4}(2x-3)+18482N_{4}(2x-4)-}$

${\ Displaystyle 24264N_ {4} (2x-5) + 18482N_ {4} (2x-6) -7904N_ {4} }(2x-7)+1677N_{4}(2x-8)-124N_{4}(2x-9)+N_{4}(2x-10){\Duży ]}}$

Wyrażenie w postaci zamkniętej dla kompaktowo obsługiwanej falki B-sklejanej rzędu 4 to

${\ Displaystyle \ psi _ {C, 4} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {1} {30240}} x ^ {3} i 0 \ równoważnik x <{\ Frac {1} {2} }\\-{\frac {127}{30240}}x^{3}+{\frac {2}{315}}x^{2}-{\frac {1}{315}}x+{\frac {1}{1890}}&{\frac {1}{2}}\równoważnik x<1\\{\frac {19}{280}}x^{3}-{\frac {47}{224} }x^{2}+{\frac {2147}{10080}}x-{\frac {103}{1440}}&1\leq x<{\frac {3}{2}}\\-{\frac {1109}{2520}}x^{3}+{\frac {465}{224}}x^{2}-{\frac {32413}{10080}}x+{\frac {16559}{10080}} &{\frac {3}{2}}\leq x<2\\{\frac {5261}{3360}}x^{3}-{\frac {33463}{3360}}x^{2}+ {\frac {42043}{2016}}x-{\frac {145193}{10080}}&2\leq x<{\frac {5}{2}}\\-{\frac {35033}{10080}} x^{3}+{\frac {93577}{3360}}x^{2}-{\frac {148517}{2016}}x+{\frac {216269}{3360}}&{\frac {5} {2}}\leq x<3\\{\frac {4832}{945}}x^{3}-{\frac {27691}{560}}x^{2}+{\frac {113923}{ 720}}x-{\frac {28145}{168}}&3\równik x<{\frac {7}{2}}\\-{\frac {4832}{945}}x^{3}+{ \frac {58393}{1008}}x^{2}-{\frac {52223}{240}}x+{\frac {2048227}{7560}}&{\frac {7}{2}}\leq x <4\\{\frac {35033}{10080}}x^{3}-{\frac {75827}{1680}}x^{2}+{\frac {981101}{5040}}x-{\ frac {234149}{840}}&4\leq x<{\frac {9}{2}}\\-{\frac {5261}{3360}}x^{3}+{\frac {38509}{1680 }}x^{2}-{\frac {112487}{1008}}x+{\frac {30347}{168}}&{\frac {9}{2}}\leq x<5\\{\frac {1109}{2520}}x^{3}-{\frac {24077}{3360}}x^{2}+{\frac {78311}{2016}}x-{\frac {141311}{2016} }&5\równik x<{\frac {11}{2}}\\-{\frac {19}{280}}x^{3}+{\frac {1361}{1120}}x^{2} -{\frac {14617}{2016}}x+{\frac {4151}{288}}&{\frac {11}{2}}\leq x<6\\{\frac {127}{30240}} x^{3}-{\frac {55}{672}}x^{2}+{\frac {5359}{10080}}x-{\frac {11603}{10080}}&6\leq x<{ \frac {13}{2}}\\-{\frac {1}{30240}}x^{3}+{\frac {1}{1440}}x^{2}-{\frac {7} {1440}}x+{\frac {49}{4320}}&{\frac {13}{2}}\leq x<7\\0&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}$

Kompaktowo obsługiwana falka B-sklejana rzędu 5

Relacja dwuskalowa dla kompaktowo obsługiwanej falki B-sklejanej rzędu 5 wynosi

${\ Displaystyle \ psi _ {C, 5} (x) = {\ Frac {1} {5806080}} {\ Duży [} N_ {5} (2x) -507N_ {5} (2x- 1)+17128N_{5}(2x-2)-166304N_{5}(2x-3)+748465N_{5}(2x-4)}$

${\ Displaystyle -1900115N_ {5} (2x-5) + 2973560N_ {5} (2x-6) -2973560N_ {5} (2x-7) + 1900115N_ {5} (2x-8)}$

${\ Displaystyle -748465N_ {5} (2x-9) + 166304N_ {5} (2x-10) -17128N_ {5} (2x-11) + 507N_ {5} ( 2x-12)-N_{5}(2x-13){\Duży ]}}$

Wyrażenie w postaci zamkniętej dla kompaktowo obsługiwanej falki B-sklejanej rzędu 5 to

${\ Displaystyle \ psi _ {C, 5} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {1} {8709120}} x ^ {4} i 0 \ równoważnik x <{\ Frac {1} {2} }\\-{\frac {73}{1244160}}x^{4}+{\frac {1}{8505}}x^{3}-{\frac {1}{11340}}x^{2 }+{\frac {1}{34020}}x-{\frac {1}{272160}}&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\{\frac {9581}{4354560 }}x^{4}-{\frac {19417}{2177280}}x^{3}+{\frac {1303}{96768}}x^{2}-{\frac {19609}{2177280}} x+{\frac {6547}{2903040}}&1\leq x<{\frac {3}{2}}\\-{\frac {118931}{4354560}}x^{4}+{\frac {366119 }{2177280}}x^{3}-{\frac {186253}{483840}}x^{2}+{\frac {121121}{311040}}x-{\frac {427181}{2903040}}& {\frac {3}{2}}\leq x<2\\{\frac {759239}{4354560}}x^{4}-{\frac {3146561}{2177280}}x^{3}+{ \frac {6466601}{1451520}}x^{2}-{\frac {13202873}{2177280}}x+{\frac {26819897}{8709120}}&2\leq x<{\frac {5}{2} }\\-{\frac {2980409}{4354560}}x^{4}+{\frac {5183893}{725760}}x^{3}-{\frac {13426333}{483840}}x^{2 }+{\frac {426589}{8960}}x-{\frac {12635243}{414720}}&{\frac {5}{2}}\leq x<3\\{\frac {7873577}{4354560 }}x^{4}-{\frac {16524079}{725760}}x^{3}+{\frac {7385369}{69120}}x^{2}-{\frac {17868671}{80640}} x+{\frac {497668543}{2903040}}&3\leq x<{\frac {7}{2}}\\-{\frac {14714327}{4354560}}x^{4}+{\frac {108543091 }{2177280}}x^{3}-{\frac {56901557}{207360}}x^{2}+{\frac {1454458651}{2177280}}x-{\frac {5286189059}{8709120}}& {\frac {7}{2}}\leq x<4\\{\frac {15619}{3402}}x^{4}-{\frac {33822017}{435456}}x^{3}+{ \frac {15828929}{32256}}x^{2}-{\frac {597598433}{435456}}x+{\frac {277413649}{193536}}&4\leq x<{\frac {9}{2} }\\-{\frac {15619}{3402}}x^{4}+{\frac {38150335}{435456}}x^{3}-{\frac {20157247}{32256}}x^{2 }+{\frac {859841695}{435456}}x-{\frac {64472345}{27648}}&{\frac {9}{2}}\leq x<5\\{\frac {14714327}{4354560 }}x^{4}-{\frac {4466137}{62208}}x^{3}+{\frac {165651247}{290304}}x^{2}-{\frac {875490655}{435456}} x+{\frac {4614904015}{1741824}}&5\leq x<{\frac {11}{2}}\\-{\frac {7873577}{4354560}}x^{4}+{\frac {30717383 }{725760}}x^{3}-{\frac {179437319}{483840}}x^{2}+{\frac {16606729}{11520}}x-{\frac {869722273}{414720}}& {\frac {11}{2}}\leq x<6\\{\frac {2980409}{4354560}}x^{4}-{\frac {12698561}{725760}}x^{3}+{ \frac {16211669}{96768}}x^{2}-{\frac {19138891}{26880}}x+{\frac {3289787993}{2903040}}&6\leq x<{\frac {13}{2} }\\-{\frac {759239}{4354560}}x^{4}+{\frac {10519741}{2177280}}x^{3}-{\frac {10403603}{207360}}x^{2 }+{\frac {71964499}{311040}}x-{\frac {3481646837}{8709120}}&{\frac {13}{2}}\leq x<7\\{\frac {118931}{4354560 }}x^{4}-{\frac {1774639}{2177280}}x^{3}+{\frac {630259}{69120}}x^{2}-{\frac {14096161}{311040}} x+{\frac {245108501}{2903040}}&7\leq x<{\frac {15}{2}}\\-{\frac {9581}{4354560}}x^{4}+{\frac {21863 }{311040}}x^{3}-{\frac {407387}{483840}}x^{2}+{\frac {9758873}{2177280}}x-{\frac {25971499}{2903040}}& {\frac {15}{2}}\leq x<8\\{\frac {73}{1244160}}x^{4}-{\frac {4343}{2177280}}x^{3}+{ \frac {5273}{207360}}x^{2}-{\frac {313703}{2177280}}x+{\frac {380873}{1244160}}&8\leq x<{\frac {17}{2} }\\-{\frac {1}{8709120}}x^{4}+{\frac {1}{241920}}x^{3}-{\frac {1}{17920}}x^{2 }+{\frac {3}{8960}}x-{\frac {27}{35840}}&{\frac {17}{2}}\leq x<9\\0&{\text{inaczej}} \end{przypadki}}}$

Obrazy kompaktowo obsługiwanych falek B-sklejanych

Falka B-sklejana rzędu 1	Falka B-sklejana rzędu 2
Falka B-sklejana rzędu 3	Falka B-sklejana rzędu 4	Falka B-sklejana rzędu 5

Falki Battle-Lemarie

Falki Battle-Lemarie tworzą klasę falek ortonormalnych skonstruowanych przy użyciu klasy kardynalnych B-sklejanych. Wyrażenia dla tych falek podane są w dziedzinie częstotliwości; to znaczy, są one definiowane przez określenie ich transformat Fouriera. Transformata Fouriera funkcji t , powiedzmy, $\ omega)$ { $\$ .

Definicja

Niech m będzie dodatnią liczbą całkowitą i niech będzie kardynalną B-sklejaną rzędu m . $}$ ) Transformata Fouriera z jest ${\ Displaystyle N_ {m} (x)}$ jest ${\ Displaystyle {\ kapelusz {N}} _ {m} (\ omega)}$ . ϕ ${\ Displaystyle \ phi _ {m} (t)$ dla m Falka Battle-Lemarie'go rzędu jest tą funkcją, której jest transformata Fouriera

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ fi}} _ {m} (\ omega) = {\ Frac {{\ kapelusz {N}} _ {m} (\ omega)} {\ lewo (\ suma _ {k = -\infty }^{\infty }\vert {\hat {N}}_{m}(\omega +2\pi k)\vert ^{2}\right)^{1/2}}}.}$

Falka Battle-Lemarie rzędu m to funkcja, której transformata Fouriera to ${\ Displaystyle \ psi _ {BL, m} (t)}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ psi}} _ {BL, m} (\ omega) = - {\ Frac {e ^ {-i \ omega / 2} \, \, {\ overline {{\ kapelusz {\ fi }}_ {m}(\omega +2\pi)}}\,\,{\kapelusz {\phi}}_{m}\left({\frac {\omega}{2}}\right) }{\overline {{\kapelusz {\phi}}_{m}\left({\frac {\omega}{2}}+\pi \right)}}}}$

Dalsza lektura

• Amir Z Averbuch i Valery A Zheludev (2007). „Transformacje falkowe generowane przez splajny” (PDF) . International Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing . 257 (5) . Źródło 21 grudnia 2014 r .
•   Amir Z. Averbuch, Pekka Neittaanmaki i Valery A. Zheludev (2014). Spline i Spline Wavelet Methods with Applications to Signal and Image Processing Tom I . Skoczek. ISBN 978-94-017-8925-7 . {{ cite book }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )