Faza liniowa

W przetwarzaniu sygnału faza liniowa jest właściwością filtra, gdzie odpowiedź fazowa filtra jest liniową funkcją częstotliwości . W rezultacie wszystkie składowe częstotliwościowe sygnału wejściowego są przesunięte w czasie (zwykle opóźnione) o tę samą stałą wartość (nachylenie funkcji liniowej), co jest określane mianem opóźnienia grupowego . W konsekwencji nie ma zniekształceń fazowych spowodowanych opóźnieniem czasowym częstotliwości względem siebie.

W przypadku sygnałów o czasie dyskretnym idealną fazę liniową można łatwo uzyskać za pomocą filtra o skończonej odpowiedzi impulsowej (FIR) dzięki współczynnikom, które są symetryczne lub antysymetryczne. Przybliżenia można uzyskać za pomocą projektów o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (IIR), które są bardziej wydajne obliczeniowo. Kilka technik to:

• funkcja przenoszenia Bessela , która ma maksymalnie płaską funkcję aproksymacji opóźnienia grupowego
• korektor fazy

Definicja

Filtr nazywany jest liniowym filtrem fazowym, jeśli składowa fazowa odpowiedzi częstotliwościowej jest liniową funkcją częstotliwości. W przypadku zastosowania w czasie ciągłym odpowiedź częstotliwościowa filtra jest transformatą Fouriera odpowiedzi impulsowej filtra , a liniowa wersja fazowa ma postać:

${\ Displaystyle H (\ omega) = A (\ omega) \ e ^ {- j \ omega \ tau}}$

Gdzie:

• A(ω) jest funkcją o wartościach rzeczywistych.
• ${\ displaystyle \ tau}$ to opóźnienie grupowe.

W przypadku aplikacji w czasie dyskretnym transformata Fouriera w czasie dyskretnym liniowej odpowiedzi impulsowej fazy ma postać:

${\ Displaystyle H_ {2 \ pi} (\ omega) = A (\ omega) \ e ^ {- j \ omega k/2} ,}$

Gdzie:

• A(ω) jest funkcją o wartościach rzeczywistych z okresowością 2π.
• k jest liczbą całkowitą, a k/2 jest opóźnieniem grupowym w jednostkach próbek.

${\ Displaystyle H_ {2 \ pi} (\ omega)}$ to szereg Fouriera , który można również wyrazić za pomocą transformacji Z odpowiedzi impulsowej filtra. Tj:

${\ Displaystyle H_ {2 \ pi} (\ omega) = \ lewo. {\ widehat {H}} (z) \, \ prawo | _ {z = e^{j\omega}}={\widehat {H}}(e^{j\omega}),}$

gdzie $odróżnia$ transformację Z od transformacji Fouriera

Przykłady

Kiedy sinusoida przechodzi przez filtr ze stałym ( $niezależnym$$opóźnieniem$$}$ wynikiem jest :

${\ Displaystyle A (\ omega) \ cdot \ sin (\ omega (t-\tau )+\theta )=A(\omega )\cdot \sin(\omega t+\theta -\omega \tau ),}$

gdzie :

• ${\ Displaystyle A (\ omega)}$ jest mnożnikiem amplitudy zależnym od częstotliwości.
• Przesunięcie $fazowe$$.$ funkcją $kątowej$ i _

Wynika z tego, że złożona funkcja wykładnicza:

${\ Displaystyle e ^ {i (\ omega t + \ teta)} = \ sałata (\ omega t+\theta )+i\cdot \sin(\omega t+\theta ),}$

przekształca się w:

$A (\ omega) \ cdot e ^ {i (\omega (t-\tau )+\theta )}=e^{i(\omega t+\theta)}\cdot A(\omega)e^{-i\omega \tau }}$

Dla fazy w przybliżeniu liniowej wystarczy mieć tę właściwość tylko w paśmie przepustowym (pasmach) filtru, gdzie |A(ω)| ma stosunkowo duże wartości. Dlatego zarówno wykresy wielkości, jak i wykresy fazy ( wykresy Bodego ) są zwykle używane do badania liniowości filtra. „Liniowy” wykres fazowy może zawierać nieciągłości π i/lub 2 π radianów. Mniejsze zdarzają się, gdy A(ω) zmienia znak. Ponieważ |A(ω)| nie może być ujemna, zmiany są odzwierciedlone na wykresie fazowym. Nieciągłości 2π występują z powodu wykreślenia głównej wartości ${\ displaystyle \ omega \ tau}$ zamiast rzeczywistej wartości.

W zastosowaniach z czasem dyskretnym bada się tylko obszar częstotliwości między 0 a częstotliwością Nyquista , ze względu na okresowość i symetrię. W zależności od jednostek częstotliwości , częstotliwość Nyquista może wynosić 0,5, 1,0, π lub ½ rzeczywistej częstotliwości próbkowania. Poniżej przedstawiono kilka przykładów fazy liniowej i nieliniowej.

odpowiedź fazowa a znormalizowana częstotliwość (ω/π)

Działki Bodego . Nieciągłości fazowe to radiany π, co wskazuje na odwrócenie znaku.

Nieciągłości fazowe są usuwane przez umożliwienie ujemnej amplitudy.

Dwa przedstawienia odpowiedzi częstotliwościowej prostego filtra FIR

Filtr w czasie dyskretnym z fazą liniową można uzyskać za pomocą filtra FIR, który jest albo symetryczny, albo antysymetryczny. Warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym jest :

${\ Displaystyle \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} h [n] \ cdot \ sin(\omega \cdot (n-\alpha)+\beta)=0}$

dla niektórych ${\ Displaystyle \ alfa, \ beta \ w \ mathbb {R}}$ .

Uogólniona faza liniowa

$mają$ dodatkową stałą niezależną od częstotliwości do fazy. Na przykład w przypadku czasu dyskretnego odpowiedź częstotliwościowa ma postać:

${\ Displaystyle H_ {2 \ pi} (\ omega) = A (\ omega) \ e ^ {- j \ omega k / 2 + j \ beta},}$

${\ Displaystyle \ arg \ lewo [H_ {2 \ pi} (\ omega) \ prawej] = \ beta -\omega k/2}$ dla ${\ Displaystyle - \ pi <\ omega <\ pi}$

Z powodu tej stałej faza układu nie jest ściśle liniową funkcją częstotliwości, ale zachowuje wiele użytecznych właściwości liniowych układów fazowych.

Zobacz też

• Minimalna faza