Formuła Jacobiego

W rachunku macierzowym wzór Jacobiego wyraża pochodną wyznacznika macierzy A w kategoriach przyporządkowanego A i pochodnej A .

Jeśli $A$ jest różniczkowalną mapą od liczb rzeczywistych do macierzy $n \times n , to wtedy$

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ det A (t) = \ nazwa operatora {tr} \ lewo (\ nazwa operatora {przym.} (A (t)) \, {\ frac {dA (t) )}{dt}}\right)=\left(\det A(t)\right)\cdot \operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\cdot \,{\frac {dA (t)}{dt}}\prawo)}

gdzie $tr(X)$ jest śladem macierzy $X$ . (Ta ostatnia równość zachodzi tylko wtedy, gdy A ( t ) jest odwracalna .)

Jako szczególny przypadek,

{\ Displaystyle {\ częściowy \ det (A) \ ponad \ częściowy A_ {ij}} = \ operatorname {przym.} (A) _ {ji}.}

$Równoważnie$ , jeśli $dA$ oznacza różniczkę A , ogólny wzór to

{\ Displaystyle d \ det (A) = \ nazwa operatora {tr} (\ nazwa operatora {przym.} (A) \, dA).}

Formuła została nazwana na cześć matematyka Carla Gustava Jacoba Jacobiego .

Pochodzenie

Poprzez obliczenia macierzowe

Najpierw udowodnimy wstępny lemat:

Lemat. Niech A i B będą parą macierzy kwadratowych o tym samym wymiarze n . Następnie

{\ Displaystyle \ suma _ {i} \ suma _ {j} A_ {ij} B_ {ij} = \ operatorname {tr} (A ^ {\ rm {T}} B).}

Dowód. Produkt AB pary macierzy ma składowe

{\ Displaystyle (AB) _ {jk} = \ suma _ {i} A_ {ji} B_ {ik}.}

Zastąpienie macierzy A przez jej transpozycję A ^T jest równoznaczne z permutacją indeksów jej składowych:

{\ Displaystyle (A ^ {\ rm {T}} B) _ {jk} = \ suma _ {i} A_ {ij} B_ {ik}.}

Wynik wynika z prześledzenia obu stron:

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {tr} (A ^ {\ rm {T}} B) = \ suma _ {j} (A ^ {\ rm {T}} B) _ {jj} = \ suma _ {j }\sum _{i}A_{ij}B_{ij}=\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}.\ \square }

Twierdzenie. (wzór Jacobiego) dla dowolnej różniczkowalnej mapy A od liczb rzeczywistych do macierzy n × n ,

{\ Displaystyle d \ det (A) = \ nazwa operatora {tr} (\ nazwa operatora {przym.} (A) \, dA).}

Dowód. Wzór Laplace'a na wyznacznik macierzy A można zapisać jako

{\ Displaystyle \ det (A) = \ suma _ {j} A_ {ij} \ operatorname {przym.} ^ {\ rm {T}} (A) _ {ij}.}

Zauważ, że sumowanie jest wykonywane na dowolnym wierszu i macierzy.

Wyznacznik A można uznać za funkcję elementów A :

{\ Displaystyle \ det (A) = F \, (A_ {11}, A_ {12}, \ldots,A_{21},A_{22},\ldots,A_{nn})}

tak, że zgodnie z regułą łańcucha , jego różniczka wynosi

{\ Displaystyle d \ det (A) = \ suma _ {i} \ suma _ {j} {\ częściowy F \ nad \ częściowy A_ {ij}} \, dA_ {ij}.}

To sumowanie jest wykonywane na wszystkich n × n elementach macierzy.

Aby znaleźć ∂ F / ∂ A _ij rozważmy, że po prawej stronie wzoru Laplace'a indeks i można wybrać dowolnie. (Aby zoptymalizować obliczenia: każdy inny wybór ostatecznie dałby ten sam wynik, ale może być znacznie trudniejszy). W szczególności można go wybrać tak, aby pasował do pierwszego indeksu ∂ / ∂ A _ij :

{\ Displaystyle {\ częściowy \ det (A) \ ponad \ częściowy A_ {ij}} = {\ częściowy \ suma _ {k} A_ {ik} \ operatorname {przym.} ^ {\ rm {T}} (A) _{ik} \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial (A_{ik}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}) \ nad \częściowym A_{ij}}}

Zatem, zgodnie z regułą iloczynu,

{\ Displaystyle {\ częściowe \ det (A) \ ponad \ częściowe A_ {ij}} = \ suma _ {k} {\ częściowe A_ {ik} \ ponad \ częściowe A_ {ij}} \ operatorname {przym.} ^ { \rm {T}}(A)_{ik}+\sum _{k}A_{ik}{\częściowa \operatorname {przym.} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \ częściowe A_{ij}}.}

Teraz, jeśli element macierzy A _ij i kofaktor adj ^T ( A ) _ik elementu A _ik leżą w tym samym wierszu (lub kolumnie), to kofaktor nie będzie funkcją A _ij , ponieważ kofaktor A _ik jest wyrażone w kategoriach elementów, które nie znajdują się we własnym wierszu (ani kolumnie). Zatem,

{\ Displaystyle {\ częściowy \ operatorname {przym.} ^ {\ rm {T}} (A) _ {ik} \ ponad \ częściowy A_ {ij}

Więc

{\ Displaystyle {\ częściowe \ det (A) \ ponad \ częściowe A_ {ij}} = \ suma _ {k} \ operatorname {przym.} ^ {\ rm {T}} (A) _ {ik} {\ częściowe A_{ik} \nad \częściowym A_{ij}}.}

Wszystkie elementy zbioru A są od siebie niezależne, tj

{\ Displaystyle {\ częściowe A_ {ik} \ ponad \ częściowe A_ {ij}} = \ delta _ {jk},

gdzie δ jest deltą Kroneckera , więc

{\ Displaystyle {\ częściowy \ det (A) \ ponad \ częściowy A_ {ij}} = \ suma _ {k} \ operatorname {przym.} ^ {\ rm {T}} (A) _ {ik} \ delta _ {jk}=\operatorname {przym.} ^{\rm {T}}(A)_{ij}.}

Dlatego,

{\ Displaystyle d (\ det (A)) = \ suma _ {i} \ suma _ {j}

i zastosowanie wyników Lematu

{\ Displaystyle d (\ det (A)) = \ nazwa operatora {tr} (\ nazwa operatora {przym.} (A) \, dA). \ \ kwadrat}

Poprzez regułę łańcucha

Lemat 1. ${\ Displaystyle \ det '(ja) = \ operatorname {tr}}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ det '}$ jest różniczką ${\ displaystyle \ det}$ .

To równanie oznacza, że różniczka , $tożsamości$ , jest równa śladowi. Różniczka jest operatorem liniowym, $odwzorowuje$ × n na liczbę

Dowód. Korzystając z definicji pochodnej kierunkowej wraz z jedną z jej podstawowych własności dla funkcji różniczkowalnych, mamy

{\ Displaystyle \ det '(I) (T) = \ nabla _ {T} \ det(I)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\det(I+\varepsilon T)-\det I}{\varepsilon }}}

$\ Displaystyle \ det (I + \ varepsilon T)}$ { $jest$ wielomianem n . Jest to ściśle związane z wielomianem charakterystycznym T $\ displaystyle T}$ . Wyraz stały ( $wynosi$ 1, podczas gdy wyraz liniowy w $Displaystyle \ operatorname {tr$ t $\ T}$ .

Lemat 2. Dla odwracalnej macierzy A mamy: ${\ Displaystyle \ det '(A) (T) = \ det A \; \ matematyczna {tr} (A^{-1}T)}$ .

Dowód. Rozważmy następującą funkcję X :

{\ Displaystyle \ det X = \ det (AA ^ {- 1} X) = \ det (A) \ \ det (A^{-1}X)}

Obliczamy różniczkę ${\ displaystyle \ det X}$ i oceniamy ją przy użyciu $displaystyle X = A }$ , powyższego równania i reguły łańcuchowej: X = ZA {

{\ Displaystyle \ det '(A) (T) = \ det A \ \det '(I)(A^{-1}T)=\det A\ \mathrm {tr} (A^{-1}T)}

Twierdzenie. (wzór Jacobiego) $\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ det A = \ operatorname {tr} \ lewo (\ operatorname {tr$

Dowód. Jeśli $dt}$ $re$ t

\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ det A = \ det A\;\mathrm {tr} \left(A^{-1}{\frac {dA}{dt}}\right)=\mathrm {tr} \left(\mathrm {przym.} \ A\;{ \frac {dA}{dt}}\right)}

używając równania odnoszącego się do przymiotnika ZA $\ Displaystyle$ $^ {- 1}}$ . Teraz wzór obowiązuje dla wszystkich macierzy, ponieważ zbiór odwracalnych macierzy liniowych jest gęsty w przestrzeni macierzy.

Następstwo

Poniżej znajduje się użyteczna relacja łącząca ślad z wyznacznikiem powiązanej macierzy wykładniczej :

${\ Displaystyle \ det e ^ {B} = e ^ {\ nazwa operatora {tr} \ lewo (B \ prawo)}$

To stwierdzenie jest jasne dla macierzy diagonalnych i następuje dowód ogólnego twierdzenia.

Dla dowolnej odwracalnej macierzy pokazaliśmy , że w poprzedniej sekcji „Reguła łańcucha” ${\ Displaystyle A (t)}$

\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ det ZA (t) =\det A(t)\;\nazwa operatora {tr} \left(A(t)^{-1}\,{\frac {d}{dt}}A(t)\right)}

Za ${\ Displaystyle A (t) = \ exp (tB)}$ tym równaniu daje:

\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ det e ^ {tB} = \ operatorname {tr} (B) \ det e ^ {tB}}

Pożądany wynik następuje jako rozwiązanie tego zwykłego równania różniczkowego.

Aplikacje

Kilka form formuły leży u podstaw algorytmu Faddeeva – LeVerriera do obliczania charakterystycznego wielomianu i jawnych zastosowań twierdzenia Cayleya – Hamiltona . Na przykład wychodząc z następującego równania, które zostało udowodnione powyżej:

\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ det ZA (t) =\det A(t)\ \nazwa_operatora {tr} \left(A(t)^{-1}\,{\frac {d}{dt}}A(t)\right)}

i używając ${\ Displaystyle A (t) = tI-B}$ , otrzymujemy:

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ det (tI-B) = \ det (tI-B) \ nazwa operatora {tr} [(tI-B) ^ {-1}] = \ nazwa operatora {tr } [\operatorname {przym.} (tI-B)]}

gdzie adj oznacza macierz adjugatową .

Uwagi

Magnus, Jan R.; Neudecker, Heinz (1999). Macierzowy rachunek różniczkowy z zastosowaniami w statystyce i ekonometrii (poprawiona red.). Wiley'a. ISBN 0-471-98633-X .
Bellman, Richard (1997). Wprowadzenie do analizy macierzowej . SYJAM. ISBN 0-89871-399-4 .