Formuła graniczna Kroneckera

W matematyce klasyczny wzór graniczny Kroneckera opisuje stały wyraz przy s = 1 rzeczywistego analitycznego szeregu Eisensteina (lub funkcji zeta Epsteina ) za pomocą funkcji eta Dedekinda . Istnieje wiele jego uogólnień na bardziej skomplikowane szeregi Eisensteina. Nosi imię Leopolda Kroneckera .

Pierwszy wzór graniczny Kroneckera

Stwierdza to (pierwszy) wzór graniczny Kroneckera

{\ Displaystyle E (\ tau ,s)={\pi \ponad s-1}+2\pi (\gamma -\log(2)-\log({\sqrt {y}}|\eta (\tau)|^{2} ))+O(s-1),}

Gdzie

E (τ, s ) jest rzeczywistym szeregiem analitycznym Eisensteina, określonym przez

{\ Displaystyle E (\ tau, s) = \ suma _ {(m, n) \ neq (0,0)} y ^ {s} \ ponad | m \ tau + n | ^ {2s}} }

dla Re( s ) > 1 oraz przez kontynuację analityczną dla innych wartości liczby zespolonej s .

γ to stała Eulera-Mascheroniego
τ = x + iy gdzie y > 0.
$\ Displaystyle \ eta (\ tau) = q ^ {1/24} \ prod _ {n \ geq 1} (1-q$ , gdzie q = e ^{2π ja τ} jest funkcją eta Dedekinda .

Tak więc szereg Eisensteina ma biegun w s = 1 reszty π, a (pierwszy) wzór graniczny Kroneckera podaje stały wyraz szeregu Laurenta na tym biegunie.

Ta formuła ma interpretację w kategoriach geometrii widmowej krzywej eliptycznej związanej z siecią mi ${\ Displaystyle E _ {\ tau}}$ $\ Displaystyle \ mathbb {Z} + \ mathbb {Z} \ tau }$ $zeta$ mówi, że -regularyzowany wyznacznik operatora Laplace'a związany z płaską metryką ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {y}}| dz | ^ {2}}$ dalej ${\ Displaystyle E _ {\ tau}}$ jest podane przez ${\ Displaystyle 4y | \ eta (\ tau) | ^ {4}}$ . Formuła ta została wykorzystana w teorii strun do obliczeń w jednej pętli w perturbacyjnym podejściu Polyakova .

Drugi wzór graniczny Kroneckera

Stwierdza to drugi wzór graniczny Kroneckera

\ Displaystyle E_ {u, v} (\ tau, 1) = -2 \ pi \ log | f (uv \ tau; \ tau) q ^ {v ^ {2}/2} |,}

Gdzie

u i v są liczbami rzeczywistymi, a nie obie są liczbami całkowitymi.
q = mi ^{2π ja τ} i q ^za = mi ^{2π ja za τ}
p = mi ^{2π ja z} i p ^za = mi ^{2π ja az}
${\ Displaystyle E_ {u, v} (\ tau, s) = \ suma _ {(m, n) \ neq (0,0)} e ^ {2 \ pi ja (mu + nv)}} ^{s} \pon |m\tau +n|^{2s}}}$