Funkcja Omega Wrighta

Funkcja omega Wrighta wzdłuż części osi rzeczywistej

W matematyce funkcja Omega Wrighta lub funkcja Wrighta , oznaczona jako ω , jest zdefiniowana w kategoriach funkcji Lamberta W jako:

${\ Displaystyle \ omega (z) = W _ {{\ duży \ lceil}} {\ Frac {\ operatorname {im} (z) - \ pi }{2 \ pi}} {\ duży \ rceil}} (e ^ { z}).}$

Używa

Jednym z głównych zastosowań tej funkcji jest rozwiązanie równania z = ln( z ), ponieważ jedynym rozwiązaniem jest z = e   ^{−ω( π i )} .

y = ω ( z ) jest unikalnym rozwiązaniem, gdy ${\ Displaystyle z \ neq x \ pm i \ pi}$ dla x ≤ -1 równania y + ln ( y ) = z . Z wyjątkiem tych dwóch promieni funkcja omega Wrighta jest ciągła , a nawet analityczna .

Nieruchomości

W ${\ Displaystyle W_ {k} (z) = \ omega (\ ln (z) + 2 \ pi$ .

Spełnia również równanie różniczkowe

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ omega} {dz}} = {\ Frac {\ omega} {1+ \ omega}}}$

$gdzie$ (co można zobaczyć, przeprowadzając i równanie ), konsekwencji całkę można wyrazić jako:

${\ Displaystyle \ int w ^ {n} \, dz = {\ rozpocząć {przypadki}} {\ Frac {\ omega ^ {n + 1} -1} {n + 1}} + {\ Frac {\ omega ^ { n}}{n}}&{\mbox{if }}n\neq -1,\\\ln(\omega)-{\frac {1}{\omega}}&{\mbox{if }}n =-1.\end{przypadki}}}$

Jego szereg Taylora wokół punktu przyjmuje postać ${\ Displaystyle a = \ omega _ {a} + \ ln (\ omega _ {a})}$

${\ Displaystyle \ omega (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {+ \ infty}} {\ Frac {q_ {n} (\ omega _ {a})} {(1+ \ omega _ {a} )^{2n-1}}}{\frac {(za)^{n}}{n!}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle q_ {n} (w) = \ suma _ {k = 0} ^ { n-1}{\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{macierz}n+1\\k\end{macierz}}{\bigg \rangle }\!\!{\ duży \rangle }(-1)^{k}w^{k+1}}$

w którym

${\ Displaystyle {\ bigg \ langle} \! \! {\ bigg \ langle}} {\ początek {macierz} n \\ k \ koniec {macierz}} {\ bigg \ rangle} \! \ !{\bigg \rangle }}$

liczbą Eulera drugiego rzędu .

Wartości

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {lll} \ omega (0) & = W_ {0} (1) & \ około 0,56714 \\\ omega (1) & = 1 & \\\ omega (-1 \ pm ja \pi )&=-1&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)+i\pi )&=- {\frac {1}{3}}&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)-i\pi )&=W_{-1}\left(-{\frac {1}{3}}e^{-{\frac {1}{3}}}\right)&\około -2,237147028\\\end{ szyk}}}$

Działki

• Wykresy funkcji omega Wrighta na płaszczyźnie zespolonej
• 

  z = Re( ω ( x + ja y ))

• 

  z = Im( ω ( x + ja y ))

• 

  ω ( x + ja y )

Notatki

• „O funkcji Wrighta ω”, Robert Corless i David Jeffrey

Link do tego jedynego odniesienia jest uszkodzony. Pozornym oryginalnym źródłem linku wydaje się być: https://orcca.on.ca/TechReports/ , ale ten widok łączy się z plikiem PDF: https://orcca.on.ca/TechReports/2000/TR-00-12.html też jest zepsuty. Potrzebne jest wykonalne odniesienie.