Funkcja niejednoznaczności

W impulsowym przetwarzaniu sygnałów radarowych i sonarowych funkcja niejednoznaczności jest dwuwymiarową funkcją $f}$ propagacji i częstotliwości Dopplera ${\ displaystyle$ , ${\ displaystyle \ chi (\ tau ,f)}$ . Reprezentuje zniekształcenie powracającego impulsu spowodowanego filtrem dopasowanym do odbiornika (powszechnie, ale nie wyłącznie, używanym w radarach z kompresją impulsów ) powrotu z poruszającego się celu. Funkcja niejednoznaczności jest zdefiniowana przez właściwości impulsu i filtra, a nie przez konkretny scenariusz docelowy.

Istnieje wiele definicji funkcji niejednoznaczności; niektóre są ograniczone do sygnałów wąskopasmowych, a inne są odpowiednie do opisania opóźnienia i zależności Dopplera sygnałów szerokopasmowych. Często definicja funkcji niejednoznaczności jest podawana jako wielkość do kwadratu innych definicji (Weiss). Dla danego złożonego impulsu pasma podstawowego funkcja niejednoznaczności wąskopasmowej jest określona przez ${\ Displaystyle s (t)}$

${\ Displaystyle \ chi (\ tau, f) = \ int _ {- \ infty} ^{\infty}s(t)s^{*}(t-\tau)e^{i2\pi ft}\,dt}$

gdzie $koniugat$ złożony i $_$ jednostką urojoną . _ Zauważ, że dla zerowego przesunięcia Dopplera ( $t$ sprowadza to do autokorelacji s ${\ displaystyle s (t)$ Bardziej zwięzły sposób przedstawienia funkcji niejednoznaczności polega na zbadaniu jednowymiarowych „cięć” z zerowym opóźnieniem i zerowym Dopplerem; to znaczy ${\ Displaystyle \ chi (0, f)}$ i ${\ Displaystyle \ chi (\ tau, 0)}$ . Dopasowany sygnał wyjściowy filtra w funkcji czasu (sygnał, który można by zaobserwować w systemie radarowym) to cięcie Dopplera ze stałą częstotliwością określoną przez przesunięcie Dopplera celu: χ ( τ , fa re $\ tau ,f_{D})}$ .

Tło i motywacja

radaru pulsacyjno-dopplerowskiego wysyła serię impulsów o częstotliwości radiowej . Każdy impuls ma określony kształt (kształt fali) — jak długi jest impuls, jaka jest jego częstotliwość, czy częstotliwość zmienia się podczas impulsu i tak dalej. Jeśli fale odbijają się od pojedynczego obiektu, detektor zobaczy sygnał, który w najprostszym przypadku jest kopią oryginalnego impulsu, ale opóźniony o pewien czas - związany z odległością $obiektu$ - $-$ częstotliwość związaną z prędkością obiektu ( przesunięcie Dopplera ). Jeśli oryginalny emitowany przebieg impulsu to , wówczas wykryty sygnał (pomijając szum, tłumienie i zniekształcenia oraz poprawki szerokopasmowe) będzie: ${\ Displaystyle s (t)}$

${\ Displaystyle s _ {\ tau, f} (t) \ równoważnik s (t- \ tau) e ^ {i2 \ pi ft}.}$

$nigdy$ będzie dokładnie jakiemukolwiek z szumu Niemniej jednak, jeśli wykryty sygnał ma wysoką korelację z ${\ Displaystyle (\ tau, f)}$ opóźnieniem i przesunięciem Dopplera $Displaystyle s_ {\ tau, f$ } to sugeruje, że istnieje obiekt z ${\ Displaystyle (\ tau, f)}$ . Niestety ta procedura może dawać $.$ alarmy błędne wartości , które sygnałem. W tym sensie wykryty sygnał może być niejednoznaczny .

Niejednoznaczność występuje szczególnie wtedy, gdy istnieje wysoka korelacja między ${\ Displaystyle (\ tau, f) \ neq (\ tau ', f')}$${\ Displaystyle s_ {\ tau ', f'}$$s_ {\ tau, f}}$ i dla . To motywuje funkcję niejednoznaczności ${\ displaystyle \ chi}$ . Cechą definiującą ${\ Displaystyle \ chi}$ jest to, że korelacja między ${\ Displaystyle s _ {\ tau, f}}$ i ${\ Displaystyle s_ {\ tau ', f'} }$ jest równe ${\ Displaystyle \ chi (\ tau - \ tau ', ff')}$ .

Różne kształty impulsów (przebiegi $.$ impulsu do użycia

Funkcja ma wartości zespolone; ${\ displaystyle \ chi}$ stopień „niejednoznaczności” jest związany z jego wielkością ${\ Displaystyle | \ chi (\ tau, f) | ^ {2}}$ .

Związek z rozkładami czasowo-częstotliwościowymi

Funkcja niejednoznaczności odgrywa kluczową rolę w dziedzinie przetwarzania sygnałów czasowo-częstotliwościowych , ponieważ jest powiązana z rozkładem Wignera – Ville'a przez dwuwymiarową transformatę Fouriera . Ta zależność ma fundamentalne znaczenie dla formułowania innych rozkładów czasowo-częstotliwościowych : dwuliniowe rozkłady czasowo-częstotliwościowe są uzyskiwane przez dwuwymiarowe filtrowanie w dziedzinie niejednoznaczności (to znaczy funkcji niejednoznaczności sygnału). Ta klasa dystrybucji może być lepiej dostosowana do rozważanych sygnałów.

Co więcej, rozkład niejednoznaczności można postrzegać jako krótkotrwałą transformatę Fouriera sygnału wykorzystującą sam sygnał jako funkcję okna. Ta uwaga została wykorzystana do zdefiniowania rozkładu niejednoznaczności w domenie skali czasu zamiast w dziedzinie czasu i częstotliwości.

Szerokopasmowa funkcja niejednoznaczności

Szerokopasmowa funkcja niejednoznaczności ${\ Displaystyle s \ w L ^ {2} (R)}$ to:

${\ Displaystyle WB_ {ss} (\ tau, \ alfa) = {\ sqrt {| {\ alfa} |}} \ int _ {-\infty}^{\infty}s(t)s^{*}(\alpha (t-\tau))\,dt}$

gdzie jest współczynnikiem skali czasu odbieranego sygnału w stosunku do przesyłanego sygnału, określonym przez: ${\ displaystyle {\ alfa}}$

${\ Displaystyle \ alfa = {\ Frac {c + v} {cv}}}$

dla celu poruszającego się ze stałą prędkością radialną v . Odbicie sygnału jest reprezentowane z kompresją (lub ekspansją) w czasie przez współczynnik który jest równoważny kompresji o współczynnik w $displaystyle$$\ alpha ^ {-1}}$ dziedzina częstotliwości (ze skalowaniem amplitudy). Kiedy prędkość fali w ośrodku jest wystarczająco większa niż prędkość celu, co jest powszechne w przypadku radaru, ta kompresja częstotliwości jest ściśle przybliżona przez przesunięcie częstotliwości Δf = fc _* v/c (znane jako przesunięcie Dopplera ). W przypadku sygnału wąskopasmowego to przybliżenie skutkuje podaną powyżej funkcją niejednoznaczności wąskopasmowej, którą można skutecznie obliczyć za pomocą algorytmu FFT .

Idealna funkcja niejednoznaczności

Interesującą funkcją niejednoznaczności jest dwuwymiarowa funkcja delta Diraca lub funkcja „pinezki”; to znaczy funkcja, która jest nieskończona w punkcie (0,0) i zero gdzie indziej.

${\ Displaystyle \ chi (\ tau, f) = \ delta (\ tau) \ delta (f) \,}$

Tego rodzaju funkcja niejednoznaczności byłaby nieco myląca; nie miałoby to żadnych dwuznaczności, a zarówno cięcia z zerowym opóźnieniem, jak i zerowym Dopplerem byłyby impulsem . Zwykle nie jest to pożądane (jeśli cel ma jakiekolwiek przesunięcie Dopplera z nieznanej prędkości, zniknie z obrazu radarowego), ale jeśli przetwarzanie Dopplera jest wykonywane niezależnie, znajomość dokładnej częstotliwości Dopplera pozwala na odległość bez zakłóceń ze strony innych celów, które są nie porusza się również z dokładnie tą samą prędkością.

Ten typ funkcji niejednoznaczności jest wytwarzany przez idealny biały szum (nieskończony czas trwania i nieskończona szerokość pasma). Wymagałoby to jednak nieskończonej mocy i nie jest fizycznie wykonalne. $t)$ ma impulsu z definicji funkcji niejednoznaczności. $($ Istnieją jednak przybliżenia, a sygnały podobne do szumu, takie jak binarne przebiegi z kluczowaniem z przesunięciem fazowym, wykorzystujące sekwencje o maksymalnej długości, są najlepiej znanymi pod tym względem.

Nieruchomości

(1) Wartość maksymalna

${\ Displaystyle | \ chi (\ tau, f) | ^ {2} \ równoważnik | \ chi (0,0) | ^ {2}}$

(2) Symetria względem pochodzenia

${\ Displaystyle \ chi (\ tau, f) = \ exp [j2 \ pi \ tau f] \ chi ^ {*}(-\tau ,-f)\,}$

(3) Niezmienność objętości

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \ chi (\ tau, f) | ^ {2} \, d \tau \,df=|\chi (0,0)|^{2}=E^{2}}$

(4) Modulacja liniowym sygnałem FM

${\ Displaystyle {\ tekst {jeśli}} s (t) \ strzałka w prawo | \ chi (\ tau, f) | {\ tekst {wtedy}} s (t) \ exp [j \ pi kt ^ {2}] { \rightarrow }|\chi (\tau ,f+k\tau )|\,}$

(5) Widmo energii częstotliwości

${\ Displaystyle S (f) S ^ {*} (f) = \ int _ {- \ infty }^{\infty }\chi (\tau ,0)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

$}$${\ Displaystyle p <$ Górne granice dla i dolne granice dla $2$

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \ chi (\ tau, f) | ^ {p} \, d\tau \,df}$ .

$funkcją$ ostre i są osiągane wtedy i tylko wtedy, .

Kwadratowy puls

Funkcja niejednoznaczności dla impulsu kwadratowego

Rozważ prosty kwadratowy impuls o czasie trwania ${$ amplitudzie : $\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle A (u (t) -u (t- \ tau)} \,}$

gdzie $_$ funkcją _ _ Dopasowany wynik filtra jest podawany przez autokorelację $}$ , który jest trójkątnym impulsem o wysokości i czasie trwania ${\ Displaystyle \ tau ^ {2} A ^$ (cięcie zero-Dopplerowskie). Jeśli jednak mierzony impuls ma przesunięcie częstotliwości spowodowane przesunięciem Dopplera, dopasowane wyjście filtra jest zniekształcone do postaci funkcji sinc . Im większe przesunięcie Dopplera, tym mniejszy pik wynikowego sinc i tym trudniej wykryć cel.

Ogólnie rzecz biorąc, impuls kwadratowy nie jest pożądanym kształtem fali z punktu widzenia kompresji impulsów, ponieważ funkcja autokorelacji ma zbyt małą amplitudę, co utrudnia wykrywanie celów w szumie i jest zbyt szeroka w czasie, co utrudnia rozróżnienie wielu nakładających się celów .

impuls LFM

Funkcja niejednoznaczności dla impulsu LFM

Powszechnie używanym impulsem radarowym lub sonarowym jest impuls z liniową modulacją częstotliwości (LFM) (lub „ćwierkanie”). Ma tę zaletę, że zapewnia większą przepustowość przy zachowaniu krótkiego czasu trwania impulsu i stałej obwiedni. Impuls ze stałą obwiednią ma funkcję niejednoznaczności podobną do impulsu kwadratowego, z wyjątkiem tego, że jest skośny w płaszczyźnie opóźnienia-Dopplera. Niewielkie niedopasowania Dopplera dla impulsu LFM nie zmieniają ogólnego kształtu impulsu i bardzo nieznacznie zmniejszają amplitudę, ale wydają się przesuwać impuls w czasie. Zatem nieskompensowane przesunięcie Dopplera zmienia pozorny zasięg celu; zjawisko to nazywane jest sprzężeniem zakres-Doppler.

Multistatyczne funkcje niejednoznaczności

Funkcję niejednoznaczności można rozszerzyć na radary multistatyczne, które zawierają wiele niekolokowanych nadajników i / lub odbiorników (i mogą obejmować radar bistatyczny jako przypadek szczególny).

W przypadku tego typu radarów prosta liniowa zależność między czasem a zasięgiem, która istnieje w przypadku monostatycznego radaru, nie ma już zastosowania, a zamiast tego jest zależna od określonej geometrii – tj. względnego położenia nadajnika (nadajników), odbiornika (odbiorników) i celu. Dlatego multistatyczna funkcja niejednoznaczności jest najczęściej definiowana jako funkcja dwu- lub trójwymiarowych wektorów położenia i prędkości dla danej geometrii multistatycznej i przesyłanego kształtu fali.

Tak jak funkcja monostatycznej niejednoznaczności jest naturalnie wyprowadzana z dopasowanego filtra, tak wielostatyczna funkcja niejednoznaczności pochodzi z odpowiedniego optymalnego detektora multistatycznego – tj. takiego, który maksymalizuje prawdopodobieństwo wykrycia przy ustalonym prawdopodobieństwie fałszywego alarmu poprzez wspólne przetwarzanie sygnałów w odbiorniki. Charakter tego algorytmu wykrywania zależy od tego, czy fluktuacje celu obserwowane przez każdą parę bistatyczną w systemie multistatycznym są wzajemnie skorelowane. Jeśli tak, detektor optymalny dokonuje spójnego fazowo sumowania odebranych sygnałów, co może skutkować bardzo dużą dokładnością lokalizacji celu. Jeśli nie, optymalny detektor wykonuje niespójne sumowanie odebranych sygnałów, co daje wzmocnienie dywersyfikacji. Takie systemy są czasami opisywane jako radary MIMO ze względu na teoretyczne podobieństwa informacyjne do systemów komunikacyjnych MIMO .

Płaszczyzna funkcji niejednoznaczności

Płaszczyzna funkcji niejednoznaczności

Płaszczyzna funkcji niejednoznaczności może być postrzegana jako kombinacja nieskończonej liczby linii promieniowych.

Każdą linię promieniową można postrzegać jako ułamkową transformatę Fouriera stacjonarnego procesu losowego.

Przykład

Funkcja niejednoznaczności

Funkcja dwuznaczności (AF) to operatory powiązane z WDF .

${\ Displaystyle A_ {x} (\ tau, n) = \int _{-\infty }^{\infty}x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^ {-j2\pi tn}dt}$

(1) Jeśli ${\ Displaystyle x (t) = exp [- \ alfa \ pi {(t-t_ { 0})^{2}}+j2\pi f_{0}t]}$

${\ Displaystyle A_ {x} (\ tau, n)}$

${\ Displaystyle = \ int _ {- \ infty} ^{\infty }e^{-\alpha \pi (t+\tau /2-t_{0})^{2}+j2\pi f_{0}(t+\tau /2)}+e^{- \alpha \pi (t-\tau /2-t_{0})^{2}-j2\pi f_{0}(t-\tau /2)}e^{-j2\pi tn}dt}$

${\ Displaystyle = \ int _ {- \ infty} ^ {\infty}e^{-\alpha \pi [2(t-t_{0})^{2}+\tau ^{2}/2]+j2\pi f_{0}\tau}e^{ -j2\pi tn}dt}$

${ \displaystyle =\int _{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha \pi [2t^{2}-\tau ^{2}/2]+j2\pi f_{0}\tau }e^{-j2\pi tn}e^{-j2\pi t_{0}n}dt}$

${\ Displaystyle A_ {x} (\ tau, n) = {\ sqrt {\ Frac {1} {2 \ alfa}}} exp [-\pi ({\frac {\alpha \tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}}{2\alpha}})]exp[j2\pi (f_{0 }\tau -t_{0}n)]}$

Wdf Płaszczyzna funkcji niejednoznaczności

WDF i AF dla sygnału z tylko 1 terminem

(2) Jeżeli ${\ Displaystyle x (t) = exp [- \ alfa _ {1} \ pi (tt_ {1}) ^ {2} + j2 \ pi f_ {1} t] + exp [ -\alfa _{2}\pi (t-t_{2})^{2}+j2\pi f_{2}t]}$

${\ Displaystyle A_ {x} (\ tau, n)}$

${\ Displaystyle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (t + \ tau / 2) x_ {1} ^ {*} (t- \ tau / 2) e ^ {-j2 \ pi tn} dt}$ +

${\ Displaystyle \ int _ {- \infty }^{\infty }x_{2}(t+\tau /2)x_{2}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt}$ +

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} ( t+\tau /2)x_{2}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt}$ +

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_ {2} (t + \ tau / 2) x_ {1} ^ {* }(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt}$

${\ Displaystyle A_ {x} (\ tau, n) = A_ {x1} (\ tau, n) + A_ {x2} (\ tau, n)+A_{x1x2}(\tau ,n)+A_{x2x1}(\tau ,n)}$

${\ Displaystyle A_ {x} (\ tau, n) = {\ sqrt {\ Frac {1} {2 \ alpha _{1}}}}exp[-\pi ({\frac {\alpha _{1}\tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}}{2\alpha _{1}}})]exp[j2\pi (f_{1}\tau -t_{1}n)]}$

${\ Displaystyle A_ {x} (\ tau, n) = {\ sqrt {\ Frac {1 }{2\alpha _{2}}}}exp[-\pi ({\frac {\alpha _{2}\tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}} {2\alpha_{1}}})]exp[j2\pi (f_{2}\tau -t_{2}n)]}$

kiedy ${\ Displaystyle \ alfa _ {1} = \ alfa _ {2}}$

${\ Displaystyle A_ {x1x2} (\ tau, n) = {\ sqrt {\ Frac {1} {2 \ alfa _ {u}}} }exp[-\pi (\alpha _{u}{\frac {(\tau -t_{d})^{2}}{2}}+{\frac {(n-f_{d})^{ 2}}{2\alpha _{u}}})]exp[j2\pi (f_{u}\tau -t_{u}n+f_{d}t_{u})]}$

Gdzie

• ${\ Displaystyle t_ {u} = (t_ {1} + t_ {2}/2)}$ ,
• ${\ Displaystyle f_ {u} = (f_ {1} + f_ {2})/2}$ ,
• ${\ Displaystyle \ alfa _ {u} = (\ alfa _ {1} + \ alfa _ {2})/2}$ ,
• ${\ Displaystyle t_ {d} = t_ {1} + t_ {2}}$ ,
• ${\ Displaystyle f_ {d} = f_ {1} -f_ {2}}$ ,
• ${\ Displaystyle \ alfa _ {d} = \ alfa _ {1} - \ alfa _ {2}}$

  ${\ Displaystyle A_ {x2x1} (\ tau, n) = A_ {x1x2} ^ {*} (- \ tau, -n)}$

kiedy ${\ Displaystyle \ alpha _ {1}}$ ≠ ${\ Displaystyle \ alpha _ {2}}$

${\ Displaystyle A_ { x1x2}(\tau,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{u}}}}exp[-\pi {\frac {[(n-f_{d})+j( \alpha _{1}t_{1}+\alpha _{2}t_{2})-j\alpha _{d}\tau /2]^{2}}{2\alpha _{u}}} exp[-\pi (\alpha _{1}(t_{1}-{\frac {\tau }{2}})^{2})+\alpha _{2}(t_{2}-{\ frac {\tau }{2}})^{2})]exp[j2\pi f_{u}\tau ]}$

WDF i AF dla sygnału z 2 terminami

• ${\ Displaystyle A_ {x2x1} (\ tau, n) = A_ {x1x2} ^ {*} (- \ tau ,-N)}$

WDF i AF dla sygnału z 2 wyrazami Dla funkcji niejednoznaczności:

• Termin auto jest zawsze blisko początku

Zobacz też

• Dopasowany filtr
• Kompresja pulsu
• Radar impulsowo-dopplerowski
• Przetwarzanie sygnału cyfrowego
• Filipa Woodwarda

Dalsza lektura

•   Richards, Mark A. Podstawy przetwarzania sygnałów radarowych . McGraw-Hill Inc., 2005. ISBN 0-07-144474-2 .
•   Ipatov, Valery P. Spread Spectrum i CDMA . Wiley & Sons, 2005. ISBN 0-470-09178-9
• Chernyak VS Podstawy wielostanowiskowych systemów radarowych , CRC Press, 1998.
• Solomon W. Golomb i Guang Gong. Projekt sygnału zapewniający dobrą korelację: do komunikacji bezprzewodowej, kryptografii i radaru . Cambridge University Press, 2005.
• M. Soltanalian. Projektowanie sygnałów dla aktywnego wykrywania i komunikacji . Uppsala Rozprawy z Wydziału Nauki i Technologii (wydruk Elanders Sverige AB), 2014.
• Nadava Levanona i Eli Mozesona. Sygnały radarowe. Wileya. com, 2004.
• Augusto Aubry, Antonio De Maio, Bo Jiang i Shuzhong Zhang. „ Kształtowanie funkcji niejednoznaczności dla radaru kognitywnego poprzez złożoną optymalizację kwartalną ”. Transakcje IEEE dotyczące przetwarzania sygnałów 61 (2013): 5603-5619.
• Mojtaba Soltanalian i Petre Stoica. „ Projektowanie obliczeniowe sekwencji o dobrych właściwościach korelacyjnych ”. Transakcje IEEE dotyczące przetwarzania sygnałów, 60,5 (2012): 2180-2193.
• G. Krötzsch, MA Gómez-Méndez, Transformada Discreta de Ambigüedad, Revista Mexicana de Física, tom. 63, s. 505–515 (2017). „ Transformada Discreta de Ambigüedad ”.
• 2 National Taiwan University, Analiza czasowo-częstotliwościowa i transformacja falkowa 2021, profesor Jian-Jiun Ding, Wydział Elektrotechniki
• 3 National Taiwan University, Analiza czasowo-częstotliwościowa i transformacja falkowa 2021, profesor Jian-Jiun Ding, Wydział Elektrotechniki
• 4 National Taiwan University, Analiza czasowo-częstotliwościowa i transformacja falkowa 2021, profesor Jian-Jiun Ding, Wydział Elektrotechniki