Funkcje stresu

W sprężystości liniowej równania opisujące odkształcenie ciała sprężystego poddanego tylko siłom powierzchniowym (lub siłom ciała, które można wyrazić jako potencjały) na granicy są (przy użyciu notacji indeksowej ) równaniem równowagi:

{\ Displaystyle \ sigma _ {ij, i} = 0 \,}

gdzie jest tensorem naprężenia i równaniami zgodności Beltramiego-Michella: ${\ displaystyle \ sigma}$

{\ Displaystyle \ sigma _ {ij, kk} + {\ Frac {1} {1} {1 + \ nu}} \ sigma _ {kk, ij }=0}

Ogólne rozwiązanie tych równań można wyrazić za pomocą tensora naprężenia Beltramiego . Funkcje naprężeń są wyprowadzane jako szczególne przypadki tego tensora naprężeń Beltramiego, który, chociaż mniej ogólny, czasami daje łatwiejszą metodę rozwiązywania równań sprężystości.

Funkcje stresowe Beltramiego

Można wykazać, że pełne rozwiązanie równań równowagi można zapisać jako

{\ Displaystyle \ sigma = \ nabla \ razy \ Phi \ razy \ nabla}

Używając notacji indeksowej:

{\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = \ varepsilon _ {ikm} \ varepsilon _ {jln} \ Phi _ {kl, mn}}

Notacja inżynierska
$_ {x} = {\ Frac {\ częściowy ^ {2}\Phi _{yy}}{\częściowe z\częściowe z}}+{\frac {\częściowe ^{2}\Phi _{zz}}{\częściowe y\częściowe y}}-2{\ frac {\częściowy ^{2}\Phi _{yz}}{\częściowy y\częściowy z}}}$		${\ Displaystyle \ sigma _ {xy} = - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ Phi _ {xy}} {\ częściowe z \ częściowe z}} - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ Phi _{zz}}{\częściowy x\częściowy y}}+{\frac {\częściowy ^{2}\Phi _{yz}}{\częściowy x\częściowy z}}+{\frac {\częściowy ^{ 2}\Phi _{zx}}{\częściowy y\częściowy z}}}$
${\ Displaystyle \ sigma _ {y} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2}\Phi _{xx}}{\częściowe z\częściowe z}}+{\frac {\częściowe ^{2}\Phi _{zz}}{\częściowe x\częściowe x}}-2{\ frac {\częściowy ^{2}\Phi _{zx}}{\częściowy z\częściowy x}}}$		${\ Displaystyle \ sigma _ {yz} = - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ Phi _ {yz}} {\ częściowe x \ częściowe x}} - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ Phi _{xx}}{\częściowy y\częściowy z}}+{\frac {\częściowy ^{2}\Phi _{zx}}{\częściowy y\częściowy x}}+{\frac {\częściowy ^{ 2}\Phi _{xy}}{\częściowe z\częściowe x}}}$
$Displaystyle \ sigma _ {z} = {\ Frac {\ częściowy ^ {2}\Phi _{yy}}{\częściowy x\częściowy x}}+{\frac {\częściowy ^{2}\Phi _{xx}}{\częściowy y\częściowy y}}-2{\ frac {\częściowy ^{2}\Phi _{xy}}{\częściowy x\częściowy y}}}$		${\ Displaystyle \ sigma _ {zx} = - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ Phi _ {zx}} {\ częściowe y \ częściowe y}} - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ Phi _{yy}}{\częściowe z\częściowe x}}+{\frac {\częściowe ^{2}\Phi _{xy}}{\częściowe z\częściowe y}}+{\frac {\częściowe ^{ 2}\Phi _{yz}}{\częściowy x\częściowy y}}}$

gdzie $tensor$ polem tensorowym drugiego rzędu, które jest co najmniej dwukrotnie różniczkowalne i jest znane jako Beltramiego . Jego składowe są znane jako funkcje naprężeń Beltramiego . ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ to pseudotensor Levi-Civita , ze wszystkimi wartościami równymi zeru, z wyjątkiem tych, w których indeksy się nie powtarzają. Dla zestawu niepowtarzających się indeksów wartość składowej będzie wynosić +1 dla parzystych permutacji indeksów i -1 dla nieparzystych permutacji. i ${\ displaystyle \ nabla}$ jest operatorem Nabla . Aby tensor naprężenia $co$ spełniał równania zgodności Beltramiego-Michella oprócz równań równowagi, wymagane jest ponadto, aby najmniej czterokrotnie różniczkowalny w sposób ciągły

Funkcje stresowe Maxwella

Funkcje naprężenia Maxwella są $,$ że tensor naprężenia Beltramiego ograniczony do postaci

{\ Displaystyle \ Phi _ {ij} = {\ początek {bmatrix} A & 0 & 0 \\ 0 & B & 0 \\ 0 & 0 & C \ koniec {bmatrix}}}

Tensor naprężenia, który automatycznie spełnia równanie równowagi, można teraz zapisać jako:

${\ Displaystyle \ sigma _ {x} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} B} {\ częściowe z ^ {2}}} + { \frac {\częściowy ^{2}C}{\częściowy ^{2}}}}$		${\ Displaystyle \ sigma _ {yz} = - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} A} {\ częściowe y \ częściowe z}}}$
${\ Displaystyle \ sigma _ {y} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} C} {\ częściowe x ^ {2}}} + { \frac {\częściowy ^{2}A}{\częściowy z^{2}}}}$		${\ Displaystyle \ sigma _ {zx} = - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} B} {\ częściowe z \ częściowe x}}}$
${\ Displaystyle \ sigma _ {z} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} A} {\ częściowe y ^ {2}}} + { \frac {\częściowy ^{2}B}{\częściowy x^{2}}}}$		${\ Displaystyle \ sigma _ {xy} = - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} C} {\ częściowe x \ częściowe y}}}$

Rozwiązanie problemu elastostatycznego polega teraz na znalezieniu trzech funkcji naprężenia, które dają tensor naprężenia, który jest zgodny z równaniami zgodności Beltramiego-Michella dla naprężenia. Podstawiając wyrażenia na naprężenie do równań Beltramiego-Michella, otrzymujemy wyrażenie problemu elastostatycznego w kategoriach funkcji naprężenia:

{\ Displaystyle \ nabla ^ {4} A + \ nabla ^ {4} B + \ nabla ^ {4} C = 3 \ lewo ({\ Frac {\ częściowe ^ {2} A} {\ częściowe x ^ {2}} }+{\frac {\częściowy ^{2}B}{\częściowy y^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}C}{\częściowy z^{2}}}\right) /(2-\nu ),}

Muszą one również dawać tensor naprężeń, który spełnia określone warunki brzegowe.

Funkcja stresu powietrznego

Funkcja naprężenia Airy'ego jest szczególnym przypadkiem funkcji naprężenia Maxwella, w których zakłada się, że A=B=0 i C jest funkcją tylko x i y. Dlatego ta funkcja naprężenia może być używana tylko w przypadku problemów dwuwymiarowych. W literaturze dotyczącej elastyczności funkcja naprężenia $displaystyle$ zwykle reprezentowana przez $\ varphi},$ a naprężenia są wyrażane jako do {\ displaystyle C}

{\ Displaystyle \ sigma _ {x} = {\ Frac {\ częściowy ^ {2} \ varphi} {\ częściowy y ^ {2}}} ~; ~~ \ sigma _ {y} = {\ Frac {\ częściowy ^{2}\varphi }{\częściowe x^{2}}}~;~~\sigma _{xy}=-{\frac {\częściowe ^{2}\varphi }{\częściowe x\częściowe y} }-(f_{x}y+f_{y}x)}

Gdzie $i$ $.$ sił ciała odpowiednim

We współrzędnych biegunowych wyrażenia to:

{\ Displaystyle \ sigma _ {rr} = {\ Frac {1} {r}} {\ Frac {\ częściowe \ varphi} {\ częściowe r}} + {\ Frac {1} {r ^ {2}}} {\frac {\częściowy ^{2}\varphi}{\częściowy \theta ^{2}}}~;~~\sigma _{\theta \theta}={\frac {\częściowy ^{2}\varphi }{\częściowe r^{2}}}~;~~\sigma _{r\theta }=\sigma _{\thetar r}=-{\frac {\częściowe }{\częściowe r}}\left( {\frac {1}{r}}{\frac {\częściowy \varphi}}{\częściowy \theta}}\right)}

Funkcje stresu Morera

Funkcje naprężeń Morera są definiowane przy założeniu, że tensor naprężenia Beltramiego jest ograniczony do postaci ${\ Displaystyle \ Phi _ {mn}}$

\ Displaystyle \ Phi _ {ij} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 & C & B \\ C & 0 & A \\ B & A & 0 \ koniec {bmatrix}}}

Rozwiązanie problemu elastostatycznego polega teraz na znalezieniu trzech funkcji naprężenia, które dają tensor naprężenia zgodny z równaniami zgodności Beltramiego-Michella. Podstawiając wyrażenia na naprężenie do równań Beltramiego-Michella, otrzymujemy wyrażenie problemu elastostatycznego w kategoriach funkcji naprężenia:

${\ Displaystyle \ sigma _ {x} = - 2 {\ Frac {\ częściowe ^ {2} A} {\ częściowe y \ częściowe z}}}$		${\ Displaystyle \ sigma _ {yz} = - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} A} {\częściowe x^{2}}}+{\frac {\częściowe ^{2}B}{\częściowe y\częściowe x}}+{\frac {\częściowe ^{2}C}{\częściowe z\ częściowe x}}}$
${\ Displaystyle \ sigma _ {y} = - 2 {\ Frac {\ częściowe ^ {2} B} {\ częściowe z \ częściowe x}}}$		${\ Displaystyle \ sigma _ {zx} = - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} B} {\częściowy y^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}C}{\częściowy z\częściowy y}}+{\frac {\częściowy ^{2}A}{\częściowy x\ częściowe y}}}$
${\ Displaystyle \ sigma _ {z} = - 2 {\ Frac {\ częściowy ^ {2} C} {\ częściowy x \ częściowy y}}}$		${\ Displaystyle \ sigma _ {xy} = - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} C} {\częściowe z^{2}}}+{\frac {\częściowe ^{2}A}{\częściowe x\częściowe z}}+{\frac {\częściowe ^{2}B}{\częściowe y\ częściowe z}}}$

Funkcja naprężenia Prandtla

Funkcja naprężenia Prandtla jest szczególnym przypadkiem funkcji naprężeń Morera, w których zakłada się, że A=B=0 i C jest funkcją tylko x i y.

Notatki

Sadd, Martin H. (2005). Elastyczność - teoria, zastosowania i numeryka . Nowy Jork: Elsevier Butterworth-Heinemann. ISBN 0-12-605811-3 . OCLC 162576656 .
Knops, RJ (1958). „O zmianie współczynnika Poissona w rozwiązywaniu problemów elastycznych”. Kwartalnik Mechaniki i Matematyki Stosowanej . Oxford University Press. 11 (3): 326–350. doi : 10.1093/qjmam/11.3.326 .

Zobacz też