Funkcjonalność energetyczna cienkiej płytki

Dokładny funkcjonał energii cienkiej płyty (TPEF) dla funkcji wynosi ${\ Displaystyle f (x, y)}$

${\ Displaystyle \ int _ {y_ {0}} ^ {y_ {1}} \ int _ {x_ {0}} ^{x_{1}}(\kappa _{1}^{2}+\kappa _{2}^{2}){\sqrt {g}}\,dx\,dy}$

gdzie i $są$ głównymi krzywiznami $punkcie$$.$${\ Displaystyle (x, y).}$ _ _ ${\ Displaystyle \ kappa _ {1} ^ {2} + \ kappa _ {2} ^ {2},}$ jest całka powierzchniowa κ stąd ${\ Displaystyle {\ sqrt {g}}}$ w całce.

Zminimalizowanie dokładnego funkcjonału energetycznego cienkiej płytki skutkowałoby układem równań nieliniowych. Dlatego w praktyce często stosuje się przybliżenie, którego wynikiem są liniowe układy równań. Przybliżenie wyprowadza się przy założeniu, że gradient wynosi 0. W dowolnym punkcie, w którym fa $x$$displaystyle f_ {x} = f_ {y} = 0$ , ${\ displaystyle g_ {ij}}$ mapowania powierzchni ${\ displaystyle f}$ gdzie jest macierzą tożsamości, a drugą podstawową postacią jest ${\ displaystyle b_ {ij}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} f_ {xx} & f_ {xy} \\ f_ {xy} & f_ {yy} \ koniec {pmatrix}}}$ .

$Displaystyle H = b_ {ij} g ^ {ij}/2},$ jot sol ja ${\ Displaystyle H = (f_ {xx} + f_ {yy})/2}$ określić, że i wzór na krzywiznę Gaussa ${\ Displaystyle K = b/g}$ (gdzie ${\ displaystyle b}$ i ${\ displaystyle g}$ są wyznacznikami odpowiednio drugiej i pierwszej podstawowej formy), aby określić, że ${\ Displaystyle K = f_ {xx} f_ {yy} - (f_ {xy}) ^ {2}.}$ Ponieważ ${\ Displaystyle H = (k_ {1} + k_ {2})/2}$ i ${\ Displaystyle K = k_ {1} k_ {2},}$ całka dokładnego TPEF równa się ${\ Displaystyle 4H ^ {2} -2K.}$ Wyrażenia, które właśnie obliczyliśmy dla krzywizny średniej i krzywizny Gaussa jako funkcji pochodnych cząstkowych pokazują, że całka dokładnego TPEF to ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle 4H ^ {2} -2K = (f_ {xx} + f_ {yy}) ^ {2} -2 (f_ {xx} f_ {yy} -f_ {xy} ^ {2}) = f_ { xx}^{2}+2f_{xy}^{2}+f_{yy}^{2}.}$

Zatem przybliżony funkcjonał energii cienkiej płyty wynosi

${\ Displaystyle J [f] = \ int _ {y_ {0}} ^ {y_ {1}} \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} f_ {xx} ^ {2} + 2f_ {xy}^{2}+f_{yy}^{2}\,dx\,dy.}$

Niezmienność rotacyjna

Obracanie (x,y) o theta wokół osi z do (X,Y)

Oryginalna powierzchnia z punktem (x,y)

Obrócona powierzchnia z obróconym punktem (X,Y)

TPEF jest rotacyjnie niezmienna. Oznacza to, że jeśli wszystkie punkty powierzchni o kąt $\ Displaystyle$ osi - ${$$Z (x$ TPEF w każdym punkcie $y$${\ Displaystyle (x, y).}$ TPEF obróconej Wzór na obrót o kąt wokół osi - jest następujący $displaystyle$$\ theta}$

${\ Displaystyle {\ binom {X} {Y}} = {\ rozpocząć {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ koniec {pmatrix}} {\ binom {x}{y}}=R{\binom {x}{y}}.}$

 

 

 

 

()

Fakt, że $z$ powierzchni w momencie $)$ równa $displaystyle$ obróconej powierzchni przy ${\ Displaystyle (x, y)}$ jest wyrażone matematycznie równaniem

${\ Displaystyle Z (X, Y) = z (x, y) = (z \ circ xy) (X ,Y)}$

gdzie ${\ displaystyle xy}$ jest odwrotnym obrotem, to znaczy ${\ Displaystyle xy (X, Y) = R ^ {- 1} (X, Y) ^ {\ tekst {T}} = R ^ {\ tekst {T}} (X, Y) ^ {\ tekst {T} }}.}$ Więc ${\ Displaystyle Z = z \ circ xy}$ i sugeruje reguła łańcuchowa

${\ Displaystyle Z_ {i} = z_ {j} R_ {ij}.}$

 

 

 

 

()

W równaniu ( 2 ) oznacza $\$$Displaystyle Z_ {X},}$${\ Displaystyle Z_ {1}}$ oznacza $}, }$${\ Displaystyle z_ {0}}$ oznacza ${\ Displaystyle z_ {x},}$ i ${\ Displaystyle z_ {1}}$ oznacza ${\ Displaystyle z_ {y}.}$ Równanie ( 2 ) i wszystkie kolejne równania w tej sekcji wykorzystują konwencję sumowania nietensorowego, to znaczy sumy są przejmowane przez powtarzające się indeksy w wyrazie, nawet jeśli oba indeksy są indeksami dolnymi. Reguła łańcuchowa jest również potrzebna do różniczkowania równania ( 2 ), ponieważ $Displaystyle$$z_ {j} \ circ xy:}$ w rzeczywistości kompozycja

$\ Displaystyle Z_ {ik} = z_ {jl} R_ {kl} R_ {ij}}$ .

Zamiana $_$ indeksów i $daje$

${\ Displaystyle Z_ {ij} = z_ {kl} R_ {jl} R_ {ik}.}$

 

 

 

 

()

Poszerzenie sumy dla każdej pary daje plony ${\ displaystyle i, j}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {lcl} Z_ {XX} & = & R_ {00} ^ {2} z_ {xx} + 2R_ {00} R_ {01} z_ {xy} + R_ {01} ^ { 2}z_{yy},\\Z_{XY}&=&R_{00}R_{10}z_{xx}+(R_{00}R_{11}+R_{01}R_{10})z_{xy }+R_{01}R_{11}z_{yy},\\Z_{YY}&=&R_{10}^{2}z_{xx}+2R_{10}R_{11}z_{xy}+R_ {11}^{2}z_{yy}.\end{tablica}}}$

Obliczanie TPEF dla plonów z obróconej powierzchni

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Z_ {XX} ^ {2} + 2 Z_ {XY} ^ {2} + Z_ {YY} ^ {2} i = (R_ {11} ^ {2} + R_ {01 }^{2})z_{yy}^{2}\\&+2(R_{10}R_{11}+R_{00}R_{01})^{2}z_{xx}z_{yy} \\&+2(2R_{10}^{2}R_{11}^{2}+R_{00}^{2}R_{11}^{2}+2R_{00}R_{01}R_{ 10}R_{11}\\&\qquad +R_{01}^{2}R_{10}^{2}+2R_{00}^{2}R_{01}^{2})z_{xy} ^{2}\\&+4(R_{10}R_{11}+R_{00}R_{01})(R_{11}^{2}+R_{01}^{2})z_{xy }z_{yy}\\&+4(R_{10}^{2}+R_{00}^{2})(R_{10}R_{11}+R_{00}R_{01})z_{ xx}z_{xy}\\&+(R_{10}^{2}+R_{00}^{2})z_{xx}^{2}.\\\koniec{wyrównany}}}$

 

 

 

 

()

$Wstawienie$ współczynników macierzy rotacji równania ( 1 ) do prawej strony równania ( 4 ) upraszcza ją do ${\ Displaystyle z_ {xx} ^ {2} + 2 z_ {xy} ^ {2} + z_ {yy} ^ {2}.}$

Dopasowanie danych

Przybliżony funkcjonał energii cienkiej płyty może być użyty do dopasowania powierzchni B-sklejanych do rozproszonych danych 1D na siatce 2D (na przykład danych cyfrowego modelu terenu). Wywołaj punkty siatki ${$$, y ja ) {\ Displaystyle ($ [ ${\ Displaystyle x_ {i} \ w [a, b]}$ , i ${\ Displaystyle y_ {i} \ w [c, d]}$ ) i wartości danych $z_ {i}.}$${\ Displaystyle f (x, y)}$ Aby dopasować jednolitą B-sklejaną do danych, równanie fa

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {N} (f (x_ {i}, y_ {i}) -z_ {i}) ^ {2} + \ lambda \ int _ {c} ^ {d }\int _{a}^{b}(f_{xx}^{2}+2f_{xy}^{2}+f_{yy}^{2})\,dx\,dy}$

 

 

 

 

()

(gdzie $.$ parametr wygładzania”) jest zminimalizowany $gładszą$ wartości skutkują powierzchnią, a mniejsze wartości dają dokładniejsze dopasowanie do danych. Poniższe obrazy ilustrują wyniki dopasowania powierzchni B-splajn do niektórych danych terenu przy użyciu tej metody.

• 

  Oryginalne dane terenowe

• 

  Dopasowana powierzchnia B-splajn z dużą lambdą i większym wygładzeniem

• 

  Dopasowana powierzchnia B-splajn z mniejszą lambda i mniejszym wygładzaniem

Splajn wygładzający cienką płytkę również minimalizuje ${\ displaystyle C ^ {1}}$ ( 5 ), ale jest znacznie droższy w obliczeniach niż splajn B i nie jest tak gładki (jest tylko w „centrach” i do ma tam nieograniczone drugie pochodne).