G-oczekiwanie

W teorii prawdopodobieństwa g -oczekiwanie jest nieliniowym oczekiwaniem opartym na wstecznym stochastycznym równaniu różniczkowym (BSDE), pierwotnie opracowanym przez Shige Penga .

Definicja

${t\geq 0}}$ uwagę przestrzeń prawdopodobieństwa t $)$${$ jest ( d -wymiarowym) procesem Wienera (w tej przestrzeni). Biorąc pod uwagę filtrację generowaną przez ${\ Displaystyle (W_ {t})}$ , tj. ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t} = \ sigma (W_ {s}: s \ w [0, t])}, niech X {\$ Displaystyle $}$ być mierzalne. fa $\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}$ Rozważ BSDE podane przez:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} dY_ {t} i = g (t, Y_ {t}, Z_{t})\,dt-Z_{t}\,dW_{t}\\Y_{T}&=X\end{wyrównane}}}$

Wtedy g-oczekiwanie dla jest podane przez ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [X]: = Y_$$]$ . $)$ , że jeśli jest wektorem m - $wymiarowym$ , to $}$ każdym razem jest wektorem m -wymiarowym i ${\ displaystyle$ to ${\ displaystyle m \ razy d}$ .

W rzeczywistości warunkowe oczekiwanie jest podane przez ${\ Displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [X \ mid {\ mathcal {F}} _ {t}]: = Y_{t}}$ i podobnie jak w przypadku formalnej definicji oczekiwania warunkowego wynika, że ${\ Displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [1_ {A} \ mathbb {E} ^ {g} [X \ mid {\ mathcal {F}} _ {t}]] = \ mathbb {E} ^ {g} [1_ {A} X]}$ dla dowolnego ${\ Displaystyle A \ in {\ mathcal {F}} _ {t$ a funkcja jest funkcją wskaźnika ) ZA $}$ .

Istnienie i wyjątkowość

Niech ${\ Displaystyle g: [0, T] \ razy \ mathbb {R} ^ {m} \ razy \ mathbb {R} ^ {m \ razy d}\to \mathbb {R} ^{m}}$ spełnia:

1. ${\ Displaystyle g (\ cdot, y, z)}$ jest procesem dostosowanym dla każdego ${\ Displaystyle (y, z) \ w \ mathbb {R} ^ {m} \ razy \ mathbb {R} ^ {m \ razy d}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$
2. ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {T} | g (t, 0,0) | \, dt \ w L ^ {2} (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {T}, \ mathbb {P} )}$ przestrzeń L2 (gdzie ${\ Displaystyle | \ cdot |}$ jest normą w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m.}}$ )
3. ${\ Displaystyle g}$ jest Lipschitzem ciągłym w ${\ Displaystyle (y, z)}$ , tj. dla każdego ${\ Displaystyle y_ {1}, y_ {2} \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ i ${\ Displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ w \ mathbb {R} ^ {m \ razy d}}$ wynika to ${\ Displaystyle | g (t, y_ {1}, z_ {1}) -g (t, y_ {2}, z_ {2} })|\ równoważnik C (|y_ {1}-y_ {2}|+|z_ {1}-z_ {2}|)}$ dla pewnej stałej do ${\ displaystyle C$

Następnie dla dowolnej zmiennej losowej $; \ mathbb {R} ^ {m}}}$${\ Displaystyle X \ w L ^ {2} (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {t}, \ mathbb { P$${\ mathcal {F}} _ {t}$ istnieje unikalna para dostosowanych procesów $,Z)}$${\ Displaystyle$ które spełniają stochastyczne równanie różniczkowe.

W szczególności, jeśli dodatkowo spełnia: ${\ displaystyle g}$

1. ${\ displaystyle g}$ jest ciągły w czasie ( ${\ displaystyle t}$ )
2. ${\ Displaystyle g (t, y, 0) \ równoważnik 0}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle (t, y) \ w [0 ,T]\times \mathbb {R} ^{m}}$

wtedy dla końcowej zmiennej losowej $}}}$${\ Displaystyle X \ w L ^ {2} (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {t}, \ mathbb {P$$całkowalne$ Wynika z tego, że procesy rozwiązania do kwadratu Dlatego ${\ Displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [X | {\ mathcal {F}} _ {t}]} jest$ całkowalny do kwadratu przez cały czas ${\ displaystyle t}$ .

Zobacz też

• Wartość oczekiwana
• Oczekiwanie Choqueta
• Miara ryzyka - prawie zawsze spójną wypukłą miarę ryzyka można zapisać jako ${\ Displaystyle \ rho _ {g} (X): = \ mathbb {E} ^ {g} [-X]}$