Spójność czasowa (finanse)

Spójność czasowa w kontekście finansów jest właściwością polegającą na braku wzajemnie sprzecznych ocen ryzyka w różnych punktach czasowych. Właściwość ta implikuje, że jeśli inwestycja A zostanie uznana za bardziej ryzykowną niż B w przyszłości, to A będzie również uważana za bardziej ryzykowną niż B w każdym wcześniejszym czasie.

Spójność czasowa i ryzyko finansowe

Spójność czasowa jest właściwością ryzyka finansowego związaną z dynamicznymi miarami ryzyka . Celem spójnej właściwości czasu jest kategoryzowanie miar ryzyka , które spełniają warunek, że jeśli portfel (A) jest bardziej ryzykowny niż portfel (B) w pewnym momencie w przyszłości, to jest gwarantowane, że będzie bardziej ryzykowny w dowolnym momencie przed ten punkt. Jest to ważna właściwość, ponieważ gdyby się nie utrzymywała, zachodzi zdarzenie (z prawdopodobieństwem wystąpienia większym niż 0) takie, że B jest bardziej ryzykowne niż A w czasie t {\ displaystyle $}$ chociaż jest pewne, że A jest bardziej ryzykowne niż B w czasie ${\ displaystyle t + 1}$ . Jak sama nazwa wskazuje, niespójna w czasie miara ryzyka może prowadzić do niespójnych zachowań w zarządzaniu ryzykiem finansowym .

Definicja matematyczna

Dynamiczna miara ryzyka ${\ Displaystyle \ lewo (\ rho _ {t} \ prawej) _ {t = 0} ^ {T}}$ na ${\ Displaystyle L ^ {0 } ({\ mathcal {F}} _ {T})}$ jest spójny w czasie, jeśli ${\ Displaystyle \ forall X, Y \ w L ^ {0} ({\ mathcal {F }}_ {T})}$ i ${\ Displaystyle t \ w \ {0,1, ..., T-1 \}: \ rho _ {t + 1} (X) \ geq \ rho _ {t + 1} (Y)}$ implikuje ${\ Displaystyle \ rho _ {t} (X) \ geq \ rho _ {t} ( Y)}$ .

Równoważne definicje

Równość: Dla wszystkich ${\ Displaystyle t \ w \ {0,1, ..., T-1 \}: \ rho _ {t + 1} (X) = \ rho _ {t + 1} (Y) \ Strzałka w prawo \ rho _ {t}(X)=\rho _{t}(Y)}$

Rekurencyjnie: Dla wszystkich ${\ Displaystyle T \ w \ {0,1, ..., T-1 \}: \ rho _ { t}(X)=\rho _{t}(-\rho _{t+1}(X))}$

Zestaw akceptacji: Dla wszystkich $+ 1} + A_ {t + 1}}$ ${\ Displaystyle T \ w \ {0,1, ..., T-1 \}: A_ {t} = A_ {t ,$ $to$ gdzie ${\ displaystyle A_ {t}}$ czas akceptacji zestawu i ${\ Displaystyle A_ {t, t + 1} = A_ {t} \ czapka L ^ {p} ({\ mathcal {F}} _ {t + 1})}$

Warunek kocyklu (dla wypukłych miar ryzyka ): Dla wszystkich ${\ Displaystyle T \ w \ {0,1, ..., T-1 \}: \ alfa _ {t} (Q )=\alpha _{t,t+1}(Q)+\mathbb {E} ^{Q}[\alpha _{t+1}(Q)\mid {\mathcal {F}}_{t} ]}$ gdzie $\ mathcal {F}} _ {t}]}$ ${\ Displaystyle \ alfa _ {t} (Q) = \ nazwa operatora {*} {esssup} _ {X \ w A_ {t}} \ mathbb {E} ^ {Q} [-X \ mid$ $} *} {esssup}}$ kary ( jest $). ZA T {\ Displaystyle A_ {$ akceptacji i jest oznacza zasadnicze supremum ) w czasie ${\ displaystyle t}$ i ${\ Displaystyle \ alfa _ {t, t + 1} (Q) = \operatorname {*} {esssup}_{X\in A_{t,t+1}}\mathbb {E} ^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$ .

Budowa

Ze względu na rekurencyjną właściwość łatwo jest skonstruować spójną w czasie miarę ryzyka. Odbywa się to poprzez komponowanie jednookresowych taktów w czasie. Oznaczałoby to, że:

${\ Displaystyle \ rho _ {T-1} ^ {com}: = \ rho _ {T-1}}$
${\ Displaystyle \ forall t <T-1: \ rho _ {t} ^ {com}: = \ rho _{t}(-\rho _{t+1}^{com})}$

Przykłady

Wartość zagrożona i średnia wartość zagrożona

Zarówno dynamiczna wartość zagrożona , jak i dynamiczna średnia wartość zagrożona nie są spójnymi w czasie miarami ryzyka.

Spójna czasowo alternatywa

Spójna w czasie alternatywa dla dynamicznej średniej wartości zagrożonej z parametrem w czasie t jest zdefiniowana przez ${\ displaystyle \ alpha _ {t}}$

{\ Displaystyle \ rho _ {t} (X) = {\ tekst {es}} \ sup _ {Q \ w {\ mathcal {Q}}} E ^ {Q} [-X | {\ mathcal {F}}_{t}]}

takie, że ${\ Displaystyle {\ mathcal {Q}} = \ lewo \ {Q \ w {\ mathcal {M}} _ {1}: E \ lewo [{\ Frac {dQ} {dP}} | {\ mathcal {F }}_{j}\right]\leq \alpha _{j-1}E\left[{\frac {dQ}{dP}}|{\mathcal {F}}_{j-1}\right] \forall j=1,...,T\right\}}$ .

Dynamiczna cena superhedgingu

Dynamiczna cena superhedgingu jest spójną w czasie miarą ryzyka.

Dynamiczne ryzyko entropiczne

Dynamiczna miara ryzyka entropicznego jest spójną w czasie miarą ryzyka, jeśli parametr awersji do ryzyka jest stały.

Czas ciągły

W czasie ciągłym spójną w czasie spójną miarę ryzyka można podać poprzez:

{\ Displaystyle \ rho _ {g} (X): = \ mathbb {E} ^ {g} [-X]}

dla podliniowego wyboru funkcji , gdzie $}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {E} ^ {g$ oznacza g-oczekiwanie . Jeśli funkcja $jest wypukła$ odpowiadająca jej miara ryzyka jest wypukła.