Zestaw akceptacji

W matematyce finansowej zestaw akceptacyjny to zestaw akceptowalnej przyszłej wartości netto, która jest akceptowalna dla regulatora . Jest to związane z miarami ryzyka .

Definicja matematyczna

$uwagę$$_ displaystyle L^{p}=L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} będzie przestrzenią Lp$ przestrzeń i w przypadku skalarnym i ${\ Displaystyle L_ {d} ^ {p} = L_ {d} ^ {p} (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})} w wymiarach d, wtedy$ my może zdefiniować zestawy akceptacji, jak poniżej.

Skalarny przypadek

Zestaw akceptacji to zestaw spełniający: ${\ displaystyle A}$

1. ${\ Displaystyle A \ supseteq L_ {+} ^ {p}}$
2. ${\ Displaystyle A \ cap L_ {-} ^ {p} = \ pusty zbiór}$ takie, że ${\ Displaystyle L_ {--} ^ {p} = \ {X \ w L ^ {p}: \ forall \ omega \ in \ Omega, X (\ omega) <0 \}}$
3. ${\ Displaystyle A \ czapka L_ {-} ^ {p} = \ {0 \}}$
4. Dodatkowo, jeśli jest $wypukły,$ to jest wypukłym zbiorem akceptacji
   1. akceptacji $displaystyle A}$ A jeśli jest dodatnio jednorodnym stożkiem, to jest to spójny
   zbiór

Sprawa o ustalonej wartości

Zbiór akceptacji (w przestrzeni z $zasobami$ ) to zbiór spełniający: ${\ Displaystyle A \ subseteq L_ {d} ^ {p}$

1. ${\ Displaystyle u \ w K_ {M} \ Strzałka w prawo u1 \ w A}$ gdzie ${\ Displaystyle 1}$ oznacza zmienną losową, która jest stale 1 ${\ Displaystyle \ mathbb {P} }$ -jak
2. ${\ Displaystyle u \ w - \ operatorname {int} K_ {M} \ Strzałka w prawo u1 \ nie \ w A}$
3. ${\ Displaystyle A}$ jest kierunkowo zamknięty w ${\ Displaystyle M}$ z ${\ Displaystyle A + u1 \ subseteq A \; \ forall u \ w K_ {M}}$
4. ${\ Displaystyle A + L_ {d} ^ {p} (K) \ subseteq A}$

Dodatkowo, jeśli $),$ wypukły ( stożek wypukły to nazywany jest wypukłym (spójnym) zbiorem akceptacji .

Zauważ, że gdzie ${M} = K \ cap M}$$gdzie$ jest stałym stożkiem wypłacalności i ${\ Displaystyle M}$ jest zbiorem portfeli m $\ displaystyle M} displaystyle m}$ zasoby referencyjne.

Stosunek do miar ryzyka

Zbiór akceptacji jest wypukły (spójny) wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednia miara ryzyka jest wypukła (spójna). Jak zdefiniowano poniżej, można wykazać, że ${\ Displaystyle R_ {A_ {R}} (X) = R (X)}$ i ${\ Displaystyle A_ {R_ {A}}=A}$ .

Miara ryzyka do zestawu akceptacji

• Jeśli jest (skalarną $)$ miarą ryzyka, to ${\ Displaystyle A_ {\ rho} = \ {X \ w L ^ {p$ jest zbiorem akceptacji.
• Jeśli jest miarą ryzyka o ustalonej wartości, to $ZA$$} ^ { p}:0\in R(X)\}}$ jest zbiorem akceptacji.

Akceptacja ustawiona jako miara ryzyka

• Jeśli jest zbiorem akceptacji (w 1-d), to $ρ$$Displaystyle \ rho _ {A} (X) = \inf\{u\in \mathbb {R} :X+u1\in A\}}$ definiuje (skalarną) miarę ryzyka.
• Jeśli jest zbiorem akceptacji, to $u1\in A\}}$$\$$M: X$ jest miarą ryzyka o ustalonej wartości.

Przykłady

Cena superhedgingu

Główny artykuł: Superhedging cena

Zbiór akceptacji związany z ceną superhedgingu jest ujemnym zestawem wartości portfela samofinansującego się w czasie końcowym. To jest

${\ Displaystyle A = \ {- V_ {T}: (V_ {t}) _ {t = 0}^{T}{\text{ to cena samofinansującego się portfela w każdym momencie}}\}}$ .

Entropiczna miara ryzyka

Główny artykuł: entropiczna miara ryzyka

Zbiór akceptacji związany z miarą ryzyka entropicznego to zbiór wypłat z dodatnią oczekiwaną użytecznością . To jest

${\ Displaystyle A = \ {X \ w L^{p}({\mathcal {F}}):E[u(X)]\geq 0\}=\{X\in L^{p}({\mathcal {F}}):E\ lewo[e^{-\theta X}\prawo]\równoważnik 1\}}$

gdzie $_$ funkcją _ _