Entropiczna miara ryzyka

W matematyce finansowej (dotyczącej matematycznego modelowania rynków finansowych) entropiczna miara ryzyka jest miarą ryzyka , która zależy od awersji użytkownika do ryzyka poprzez wykładniczą funkcję użyteczności . Jest to możliwa alternatywa dla innych miar ryzyka, takich jak wartość zagrożona lub oczekiwany niedobór .

Jest to teoretycznie interesująca miara, ponieważ zapewnia różne wartości ryzyka dla różnych osób, których postawy wobec ryzyka mogą się różnić. Jednak w praktyce byłoby to trudne do zastosowania, ponieważ ilościowe określenie awersji do ryzyka dla danej osoby jest trudne. Miara ryzyka entropicznego jest najlepszym przykładem wypukłej miary ryzyka , która nie jest spójna. Biorąc pod uwagę związek z funkcjami użyteczności , może być używany w problemach maksymalizacji użyteczności .

Definicja matematyczna

Entropiczna miara ryzyka z parametrem awersji do ryzyka jest zdefiniowana jako ${\ displaystyle \ theta > 0}$

{\ Displaystyle \ rho ^ {\mathrm {ent}}(X)={\frac {1}{\theta}}\log \left(\mathbb {E} [e^{-\theta X}]\right)=\sup _{ Q\in {\mathcal {M}}_{1}}\left\{E^{Q}[-X]-{\frac {1}{\theta}}H(Q|P)\right\} \,}

gdzie ${\ Displaystyle H (Q | P) = E \ lewo [{\ Frac {dQ} {dP}} \ log {\ Frac {dQ}{dP}}\right]}$ to względna entropia Q << P .

Zestaw akceptacji

Zbiorem akceptacji dla miary ryzyka entropicznego jest zbiór wypłat z dodatnią oczekiwaną użytecznością. To jest

{\ Displaystyle A = \ {X \ w L^{p}({\mathcal {F}}):E[u(X)]\geq 0\}=\{X\in L^{p}({\mathcal {F}}):E\ lewo[e^{-\theta X}\prawo]\równoważnik 1\}}

gdzie $_$ funkcją

Dynamiczna miara ryzyka entropicznego

miara ryzyka związana z dynamicznym ryzykiem entropicznym z parametrem awersji do ryzyka jest dana przez ${\ displaystyle \ theta}$

{\ Displaystyle \ rho _ {t} ^ {\ operatorname {ent}} (X) = {\ Frac {1} {\ theta}} \ log \ lewo (\ mathbb {E} [e ^ {- \ theta X }|{\mathcal {F}}_{t}]\right).}

Jest to spójna w czasie miara ryzyka, jeśli jest $czasie$ i może być wydajnie obliczona przy użyciu równań różniczkowych przód-tył .

Zobacz też