Użyteczność wykładnicza

Wykładnicza funkcja użyteczności dla różnych profili ryzyka

W ekonomii i finansach użyteczność wykładnicza jest specyficzną formą funkcji użyteczności , używaną w niektórych kontekstach ze względu na wygodę, gdy występuje ryzyko (czasami określane jako niepewność), w którym to przypadku oczekiwana użyteczność jest maksymalizowana. Formalnie użyteczność wykładnicza jest dana przez:

{\ Displaystyle u (c) = {\ rozpocząć {przypadki} (1-e ^ {- ac}) / a & a \ neq 0 \\c&a=0\\\end{przypadki}}}

${\ displaystyle c}$ to zmienna, którą decydent ekonomiczny woli bardziej, na przykład konsumpcja, a $to$ reprezentująca stopień preferencji ryzyka ( ${\ displaystyle a> 0}$ dla awersji do ryzyka , dla $neutralności$ ryzyka $poszukiwania$ dla ) W sytuacjach, w których dozwolona jest tylko awersja do ryzyka , wzór jest często upraszczany do $Displaystyle u (c) = 1-e ^ {-ac}}$ .

Zauważ, że składnik addytywny 1 w powyższej funkcji jest matematycznie nieistotny i jest (czasami) uwzględniany tylko ze względu na cechę estetyczną, że utrzymuje zakres funkcji między zerem a jedynką w dziedzinie wartości nieujemnych dla c . Powodem jego nieistotności jest to, że maksymalizacja oczekiwanej wartości użyteczności daje ${\ Displaystyle u (c) = (1-e ^ {-ac}) / a}$ ten sam wynik dla zmiennej wyboru, co maksymalizacja oczekiwanej wartości ${\ Displaystyle u (c) = -e ^ {-ac}/a}$ ; ponieważ oczekiwane wartości użyteczności (w przeciwieństwie do samej funkcji użyteczności) są interpretowane porządkowo zamiast kardynalnie , zakres i znak oczekiwanych wartości użyteczności nie mają znaczenia.

Wykładnicza funkcja użyteczności jest szczególnym przypadkiem funkcji użyteczności hiperbolicznej bezwzględnej niechęci do ryzyka .

Charakterystyka awersji do ryzyka

Użyteczność wykładnicza implikuje stałą bezwzględną awersję do ryzyka (CARA), przy czym współczynnik bezwzględnej awersji do ryzyka jest równy stałej:

{\ Displaystyle {\ Frac {-u '' (c)} {u' (c)}} = a.}

Na przykład w standardowym modelu jednego aktywa ryzykownego i jednego aktywa wolnego od ryzyka cecha ta oznacza, że optymalne utrzymywanie ryzykownego składnika aktywów jest niezależne od początkowego poziomu bogactwa; tak więc na marginesie wszelkie dodatkowe aktywa byłyby w całości przydzielane do dodatkowych zasobów aktywów wolnych od ryzyka. Ta cecha wyjaśnia, dlaczego wykładnicza funkcja użyteczności jest uważana za nierealistyczną.

Podatność matematyczna

Chociaż użyteczność izoelastyczna , wykazująca stałą względną awersję do ryzyka (CRRA) , jest uważana za bardziej wiarygodną (podobnie jak inne funkcje użyteczności wykazujące malejącą bezwzględną awersję do ryzyka), użyteczność wykładnicza jest szczególnie wygodna w wielu obliczeniach.

Przykład zużycia

Załóżmy $terminu$ przykład , że konsumpcja c jest funkcją $_$ pracy x i losowego . Następnie przy użyteczności wykładniczej oczekiwana użyteczność jest dana wzorem:

{\ tekst {E}} (u (c)) = {\ tekst {E}} [ 1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}],}

gdzie E jest operatorem oczekiwań . W przypadku o rozkładzie normalnym , tj.

{\ Displaystyle \ varepsilon \ sim N (\ mu, \ sigma ^ {2}), \!}

E( u ( c )) można łatwo obliczyć, korzystając z faktu, że

{\ Displaystyle {\ tekst {E}} [e ^ {- a \ varepsilon}] = e ^ {- a \ mu + {\ Frac {a ^ {2}} {2}} \ sigma ^ {2}} .}

Zatem

{\ Displaystyle {\ tekst {E}} (u (c)) = {\ tekst {E}} [1-e ^ {- a (c (x) + \ epsilon)}] = {\ tekst {E} }[1-e^{-ac(x)}e^{-a\varepsilon }]=1-e^{-ac(x)}{\text{E}}[e^{-a\epsilon } ]=1-e^{-ac(x)}e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}.}

Przykład portfela z wieloma aktywami

Rozważ problem alokacji portfela maksymalizacji oczekiwanej użyteczności wykładniczej ${\ Displaystyle {\ tekst {E}} [-e ^ {-aW}]}$ ostatecznego bogactwa W podlegającego

{\ Displaystyle W = x'r + (W_ {0} -x'k) \ cdot r_ {f}}

gdzie znak pierwszy wskazuje na transpozycję wektora i gdzie jest początkowym bogactwem, x jest wektorem kolumnowym ilości umieszczonych w n ryzykownych aktywach, r $W {\ displaystyle W_ {0} }$ losowym wektorem stochastycznych zwrotów z n aktywów, k jest wektorem jedynek (więc $r$ w aktywach wolnych od ryzyka), a f _jest znanym skalarnym zwrotem z aktywów wolnych od zaleta. Załóżmy dalej, że stochastyczny wektor r ma łączny rozkład normalny . Wtedy oczekiwaną użyteczność można zapisać jako

{\ Displaystyle {\ tekst {E}} [-e ^{-aW}]=-{\text{E}}[e^{-a[x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}]}]=-e^{- a[(W_{0}-x'k)r_{f}]}{\text{E}}[e^{-a\cdot x'r}]=-e^{-a[(W_{0 }-x'k)r_{f}]}e^{-a\cdot x'\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}}

gdzie jest średnim $wariancją$ wektora $r$ i jest ostatecznego Maksymalizacja tego jest równoznaczna z minimalizacją

Displaystyle e ^ {ar_ {f} (x'k) -a \ cdot x '\ mu + {\ frac { a^{2}}{2}}\sigma^{2}},}

co z kolei jest równoważne maksymalizacji

{\ Displaystyle x '(\ mu -r_ {f} \ cdot k) - {\ Frac {a} {2}} \ sigma ^ {2}.}

Oznaczając macierz kowariancji r jako V , wariancję ostatecznego bogactwa można zapisać jako $x$ $x'Vx$ \ } W związku z tym chcemy zmaksymalizować następujące wartości w odniesieniu do wektora wyboru x ilości, które należy umieścić w ryzykownych aktywach:

{\ Displaystyle x '(\ mu -r_ {f} \ cdot k) - {\ Frac {a} {2}} \ cdot x'Vx.}

Jest to łatwy problem w rachunku macierzowym , a jego rozwiązaniem jest

{\ Displaystyle x ^ {*} = {\ Frac {1} {a}} V ^ {-1} (\ mu -r_ {f} \ cdot k).}

₀ Z tego widać, że (1) na zasoby x * ryzykownych aktywów nie ma wpływu początkowe bogactwo W , nierealistyczna właściwość, oraz (2) posiadanie każdego ryzykownego składnika aktywów jest tym mniejsze, im większy jest parametr awersji do ryzyka a ( jak można by się intuicyjnie spodziewać). Ten przykład portfela pokazuje dwie kluczowe cechy wykładniczej użyteczności: wykonalność przy wspólnej normalności i brak realizmu ze względu na jego cechę stałej bezwzględnej awersji do ryzyka.

Zobacz też