Hiperboliczna bezwzględna awersja do ryzyka

W finansach , ekonomii i teorii decyzji hiperboliczna bezwzględna awersja do ryzyka ( HARA ) odnosi się do rodzaju awersji do ryzyka , który jest szczególnie wygodny do modelowania matematycznego i uzyskiwania z niego empirycznych prognoz. Odnosi się w szczególności do właściwości funkcji użyteczności von Neumanna – Morgensterna , które są zazwyczaj funkcjami ostatecznego bogactwa (lub jakiejś powiązanej zmiennej) i które opisują stopień zadowolenia decydenta z wyniku dla bogactwa. Na ostateczny wynik bogactwa wpływają zarówno zmienne losowe , jak i decyzje. Zakłada się, że decydenci podejmują decyzje (takie jak np. alokacje portfeli ) w taki sposób, aby zmaksymalizować wartość oczekiwaną funkcji użyteczności.

Godne uwagi szczególne przypadki funkcji użyteczności HARA obejmują kwadratową funkcję użyteczności , wykładniczą funkcję użyteczności i izoelastyczną funkcję użyteczności .

Definicja

Mówi się, że funkcja użyteczności wykazuje hiperboliczną bezwzględną awersję do ryzyka wtedy i tylko wtedy, gdy poziom tolerancji na ryzyko -odwrotność bezwzględnej niechęci do ryzyka ${\ Displaystyle A (W)}$ ${\ Displaystyle T (W)} }$ —jest liniową funkcją bogactwa W :

{\ Displaystyle T (W) = {\ Frac {1} {1} {A (W)}} = {\ Frac {W} {1- \gamma }}+{\frac {b}{a}},}

gdzie A ( W ) jest zdefiniowane jako – U " ( W ) / U ' ( W ). Funkcja użyteczności U ( W ) ma tę właściwość, a zatem jest funkcją użyteczności HARA wtedy i tylko wtedy, gdy ma postać

{\ Displaystyle U (W) = {\ Frac {1- \ gamma} {\ gamma}} \ lewo ({\ Frac {aW} {1-\gamma}}+b\prawo)^{\gamma}}

z ograniczeniami bogactwa i parametrami takimi, że za $\ Displaystyle a> 0}$ i ${\ Displaystyle b + {\ Frac {aW} {1-\ gamma}}> 0.}$ Dla danej parametryzacji ograniczenie to nakłada dolną granicę na W , jeśli ${\ displaystyle \ gamma <1}$ i górną granicę na W , jeśli ${\ displaystyle \ gamma> 1}$ . W przypadku granicznym, jak $1$ , reguła L'Hôpitala pokazuje, że funkcja użyteczności staje się liniowa pod względem bogactwa; a dla przypadku granicznego, gdy $do$ 0, funkcja użyteczności staje się logarytmiczna: ${\ Displaystyle U (W) = {\ tekst {log}} (aW+b)}$ .

Malejąca, stała i rosnąca bezwzględna awersja do ryzyka

Bezwzględna niechęć do ryzyka maleje, jeśli $( W ) > 0)$ równoważnie ' co występuje wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończone i $< {\ Displaystyle A' (W)$ W T $\gamma$ $nieprawdopodobny$ przypadek rosnącej bezwzględnej niechęci do ryzyka występuje, gdy jest większy niż jeden i skończony.

Malejąca, stała i rosnąca względna awersja do ryzyka

Względna awersja do ryzyka jest zdefiniowana jako R ( W ) = WA ( W ); rośnie, jeśli ${\ Displaystyle R' (W)> 0}$ , zmniejsza się, jeśli ${\ Displaystyle R' (W) <0}$ i jest stały, jeśli ${\ Displaystyle R '(W) = 0}$ . Zatem względna awersja do ryzyka rośnie, jeśli b > 0 (dla $,$ stała, jeśli b = = 0, and decreasing if b < 0 (for $-\infty <\gamma <1$ ).

Przypadki specjalne

Użyteczność jest liniowa ( przypadek neutralny pod względem ryzyka ), jeśli ${\ displaystyle \ gamma = 1}$ .
Użyteczność jest kwadratowa (nieprawdopodobny, choć bardzo matematycznie wykonalny przypadek, z rosnącą bezwzględną niechęcią do ryzyka), jeśli ${\ Displaystyle \ gamma = 2}$ .
Wykładnicza funkcja użyteczności , $.$ ma stałą bezwzględną awersję do ryzyka, występuje, gdy b = 1 i dąży do ujemnej nieskończoności
Funkcja użyteczności publicznej występuje, jeśli $gamma$ γ $1-$ }

Bardziej szczególny przypadek izoelastycznej funkcji użyteczności , ze stałą względną niechęcią do ryzyka, występuje, jeśli dalej = 0.

b

Logarytmiczna funkcja użyteczności występuje przez za $\ displaystyle a = 1}$ jak idzie ${\ displaystyle \ gamma}$ do 0.

Bardziej szczególny przypadek stałej względnej awersji do ryzyka równej jeden — U ( W ) = log ( W ) — występuje, jeśli dalej b = 0.

Przewidywania behawioralne wynikające z narzędzia HARA

Portfele statyczne

Jeśli wszyscy inwestorzy mają funkcje użyteczności HARA z tym samym wykładnikiem, to w przypadku aktywów wolnych od ryzyka wynika twierdzenie o separacji monetarnej dwóch funduszy : każdy inwestor posiada dostępne ryzykowne aktywa w takich samych proporcjach jak wszyscy inni inwestorzy, a inwestorzy różnią się od siebie zachowaniem swoich portfeli jedynie w odniesieniu do ułamka ich portfeli utrzymywanych w aktywach wolnych od ryzyka, a nie w zakresie gromadzenia ryzykownych aktywów.

Co więcej, jeśli inwestor ma funkcję użyteczności HARA i dostępne są aktywa wolne od ryzyka, wówczas żądania inwestora dotyczące aktywów wolnych od ryzyka i wszystkich aktywów ryzykownych są liniowe pod względem początkowego bogactwa.

W modelu wyceny aktywów kapitałowych istnieje reprezentatywna funkcja użyteczności inwestora zależna od funkcji użyteczności poszczególnych inwestorów i poziomów zamożności, niezależnie od dostępnych aktywów, wtedy i tylko wtedy, gdy wszyscy inwestorzy mają funkcje użyteczności HARA z tym samym wykładnikiem. Reprezentatywna funkcja użyteczności zależy od dystrybucji bogactwa, a zachowanie rynku można opisać tak, jakby istniał pojedynczy inwestor z reprezentatywną funkcją użyteczności.

Przy pełnym zestawie państwowych papierów wartościowych warunkiem wystarczającym, aby ceny papierów wartościowych w równowadze były niezależne od rozkładu początkowych zasobów majątkowych, jest posiadanie przez wszystkich inwestorów funkcji użyteczności HARA z identycznym wykładnikiem i identyczną stopą preferencji czasowej między początkiem zużycie w okresie i na koniec okresu.

Portfele dynamiczne w czasie dyskretnym

W kontekście dynamicznej optymalizacji portfela w czasie dyskretnym, w ramach narzędzia HARA optymalny wybór portfela obejmuje częściową krótkowzroczność, jeśli istnieje aktywo wolne od ryzyka i istnieje szeregowa niezależność zwrotów z aktywów: aby znaleźć optymalny portfel w bieżącym okresie, nie trzeba znać przyszłości informacje dystrybucyjne dotyczące zwrotów z aktywów, z wyjątkiem przyszłych zwrotów wolnych od ryzyka.

Przy zwrotach z aktywów, które są niezależnie i identycznie rozłożone w czasie oraz przy aktywach wolnych od ryzyka, ryzykowne proporcje aktywów są niezależne od pozostałego okresu życia inwestora.

Portfele dynamiczne w czasie ciągłym

Dzięki zwrotom z aktywów, których ewolucję opisuje ruch Browna i które są niezależnie i identycznie rozłożone w czasie, oraz przy aktywach wolnych od ryzyka, można uzyskać jednoznaczne rozwiązanie popytu na unikalny optymalny fundusz inwestycyjny, a popyt ten jest liniowy w początkowy majątek.

Linki zewnętrzne

Rozwiązanie w formie zamkniętej dla problemu oszczędności zużycia z narzędziem HARA