Spójna miara ryzyka

W dziedzinie nauk aktuarialnych i ekonomii finansowej istnieje wiele sposobów definiowania ryzyka; w celu wyjaśnienia pojęcia teoretycy opisali szereg właściwości, które miara ryzyka może mieć lub nie. Spójna miara ryzyka to funkcja, która spełnia właściwości monotoniczności , subaddytywności , jednorodności i niezmienności translacji .

Nieruchomości

$.$ wynik postrzegany jako element przestrzeni liniowej $funkcji$ , zdefiniowanych na odpowiedniej przestrzeni prawdopodobieństwa Mówi $.$ że funkcjonalne $_$ _ miara dla , jeśli spełnia następujące właściwości: ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$

Znormalizowany

${\ Displaystyle \ varho (0) = 0}$

Oznacza to, że ryzyko w przypadku braku aktywów wynosi zero.

Monotoniczność

${\ Displaystyle \ operatorname {jeśli} \; Z_ {1}, Z_ {2} \ w {\ mathcal {L}} \; \ operatorname {$

Oznacza to, że jeśli portfel zawsze ma lepsze wartości niż portfel $Z_$ prawie scenariuszach, $to$ ryzyko powinno ${2}}$ być mniejsze niż ryzyko ${\ displaystyle Z_ {1}}$ . $Z$ . Jeśli jest opcją kupna na pieniądze (lub w inny sposób) na akcjach, a także jest opcją kupna na pieniądze z niższym kursem $displaystyle Z_ {1}}$ cena. W zarządzaniu ryzykiem finansowym monotoniczność oznacza, że ​​portfel z większymi przyszłymi zwrotami wiąże się z mniejszym ryzykiem.

Subaddytywność

${\ Displaystyle \ operatorname {jeśli} \; Z_ {1}, Z_ {2}\in {\mathcal {L}}, \;\mathrm {wtedy} \;\varho (Z_{1}+Z_{2})\leq \varho (Z_{1})+\varrho (Z_ {2})}$

Rzeczywiście, ryzyko związane z dwoma portfelami razem nie może być gorsze niż dodanie tych dwóch rodzajów ryzyka osobno: taka jest zasada dywersyfikacji . W zarządzaniu ryzykiem finansowym subaddytywność oznacza, że ​​dywersyfikacja jest korzystna. Zasada subaddytywności jest czasami postrzegana jako problematyczna.

Pozytywna jednorodność

$\ Displaystyle \ operatorname {jeśli} \; \ alfa \ geq 0 \; \ operatorname {i} \; Z\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {wtedy} \;\varrho (\alpha Z)=\alpha \varho (Z)}$

Luźno mówiąc, jeśli podwoisz swój portfel, podwoisz swoje ryzyko. W zarządzaniu ryzykiem finansowym pozytywna jednorodność oznacza, że ​​ryzyko pozycji jest proporcjonalne do jej wielkości.

Niezmienność translacji

Jeśli ${\ Displaystyle A$ portfelem deterministycznym z gwarantowanym zwrotem i $Displaystyle$$Z \ in {\ mathcal {L}}},$ to ZA

${\ Displaystyle \ varho (Z + A) = \ varho (Z) -a}$

Portfel $twojego$$portfela$ prostu dodanie $.$ do W szczególności, jeśli ${\ Displaystyle a = \ varho (Z)}$ to ${\ Displaystyle \ varrho (Z + A) = 0}$ . W zarządzaniu ryzykiem finansowym niezmienność przeliczenia oznacza, że ​​dodanie pewnej kwoty kapitału zmniejsza ryzyko o tę samą kwotę.

Wypukłe miary ryzyka

Pojęcie spójności zostało następnie złagodzone. Rzeczywiście, pojęcia subaddytywności i dodatniej jednorodności można zastąpić pojęciem wypukłości :

Wypukłość

${ \ Displaystyle {\ tekst {jeśli}} Z_ {1}, Z_ {2} \ w {\ mathcal {L}} {\ tekst {i}} \ lambda \ w [0,1] {\ tekst {wtedy}} \varho (\lambda Z_{1}+(1-\lambda )Z_{2})\leq \lambda \varrho (Z_{1})+(1-\lambda )\varho (Z_{2})}$

Przykłady miar ryzyka

Wartość zagrożona

Powszechnie wiadomo, że wartość zagrożona nie jest spójną miarą ryzyka, ponieważ nie respektuje właściwości subaddytywności. Bezpośrednią konsekwencją jest to, że wartość zagrożona może zniechęcać do dywersyfikacji. Wartość zagrożona jest jednak spójna, przy założeniu strat o rozkładzie eliptycznym (np. o rozkładzie normalnym ), gdy wartość portfela jest funkcją liniową cen aktywów. Jednak w tym przypadku wartość zagrożona staje się równoważna podejściu opartemu na średniej wariancji, w którym ryzyko portfela jest mierzone wariancją zwrotu z portfela.

Funkcja transformaty Wanga (funkcja zniekształcenia) dla wartości zagrożonej wynosi ${\ Displaystyle g (x) = \ mathbf {1} _ {x \ geq 1- \ alfa}}$ . $.$ wklęsłości świadczy o niespójności tej miary ryzyka

Ilustracja

Jako prosty przykład pokazujący niespójność wartości zagrożonej rozważmy spojrzenie na VaR portfela przy 95% pewności w ciągu następnego roku dwóch obligacji zerokuponowych zdolnych do niewypłacalności, których termin zapadalności wynosi 1 rok, denominowanych w naszym numeraire waluta.

Załóżmy, że:

• Obecna rentowność obu obligacji wynosi 0%
• Obie obligacje pochodzą od różnych emitentów
• Każda obligacja ma 4% prawdopodobieństwo niewypłacalności w ciągu następnego roku
• Przypadek niewykonania zobowiązania w przypadku jednej obligacji jest niezależny od drugiej
• W przypadku niewypłacalności obligacje mają stopę zwrotu w wysokości 30%

W tych warunkach VaR 95% dla posiadania którejkolwiek z obligacji wynosi 0, ponieważ prawdopodobieństwo niewykonania zobowiązania jest mniejsze niż 5%. Jeśli jednak posiadalibyśmy portfel składający się z 50% każdej obligacji pod względem wartości, wtedy VaR 95% wynosi 35% (= 0,5*0,7 + 0,5*0), ponieważ prawdopodobieństwo niewypłacalności co najmniej jednej z obligacji wynosi 7,84% (= 1 - 0,96*0,96), która przekracza 5%. Narusza to właściwość subaddytywności pokazującą, że VaR nie jest spójną miarą ryzyka.

Średnia wartość zagrożona

$jest$ wartość zagrożona (czasami nazywana niedoborem lub warunkową wartością zagrożoną lub jest spójną miarą ryzyka, mimo że wywodzi się z wartości zagrożonej, która nią nie Dziedzinę można rozszerzyć na bardziej ogólne Orlitz Hearts z bardziej typowych przestrzeni Lp .

Zagrożona wartość entropiczna

Entropiczna wartość zagrożona jest spójną miarą ryzyka.

Ryzykowana wartość ogona

Wartość końcowa ryzyka (lub warunkowa wartość oczekiwana ogona) jest spójną miarą ryzyka tylko wtedy, gdy podstawowy rozkład jest ciągły .

Funkcja transformacji Wanga (funkcja zniekształcenia) dla zagrożonej wartości ogonowej wynosi ${\ Displaystyle g (x) = \ min ({\ Frac {x} {\ alfa}}, 1)}$ . Wklęsłość $o spójności tej$ ryzyka w przypadku rozkładu ciągłego.

Miara ryzyka proporcjonalnego hazardu (PH).

Miara ryzyka PH (lub proporcjonalna miara ryzyka hazardu) przekształca współczynniki hazardu ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ lewo (\ lambda (t) = {\ frac {f (t) {{\ bar {F}} (t)}} \ prawej)}$ przy użyciu współczynnika ${\ displaystyle \ xi}$ .

Funkcja transformaty Wanga (funkcja zniekształcenia) dla miary ryzyka PH to ${\ Displaystyle g_ {\ alfa} (x) = x ^ {\ xi}}$ . Wklęsłość $tej$$_$ miary _

Próbka funkcji transformaty Wanga lub funkcji zniekształcenia

g-Entropiczne miary ryzyka

g-entropowe miary ryzyka to klasa spójnych miar ryzyka opartych na teorii informacji, które obejmują kilka ważnych przypadków, takich jak CVaR i EVaR.

Miara ryzyka Wanga

Miara ryzyka Wanga jest zdefiniowana przez następującą funkcję transformaty Wanga (funkcja zniekształcenia) ${\ Displaystyle g_ {\ alfa} (x) = \Phi \left[\Fi ^{-1}(x)-\Phi ^{-1}(\alpha )\right]}$ . Spójność tej miary ryzyka $jest$ konsekwencją .

Entropiczna miara ryzyka

Entropiczna miara ryzyka jest wypukłą miarą ryzyka, która nie jest spójna. Jest to związane z użytecznością wykładniczą .

Cena superhedgingu

Cena superhedgingu jest spójną miarą ryzyka.

Wartość ustalona

W sytuacji z portfelami o wartościach tak, że ryzyko można zmierzyć w $\ displaystyle$ , wówczas zestaw portfeli jest $\ mathbb {R} ^ {d}$ właściwy sposób przedstawiania ryzyka. Miary ryzyka o ustalonej wartości są przydatne na rynkach z kosztami transakcyjnymi .

Nieruchomości

$_$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {M} = \ {D \ subseteq M: D = cl (D + K_ {M}) \}}$ ustalonych funkcja i ${\ Displaystyle K_ {M} = K \ cap M}$ gdzie ${\ Displaystyle K}$ jest stałym stożkiem wypłacalności , a ${\ Displaystyle M}$ jest zbiorem portfeli ${\ Displaystyle m}$ aktywa referencyjne. musi mieć następujące właściwości: ${\ displaystyle R}$

Znormalizowany

${\ Displaystyle K_ {M} \ subseteq R (0) \; \ operatorname {i} \; R (0) \ cap -\ operatorname {int} K_ {M} = \ pusty zbiór }$

Tłumacz w M

${\ Displaystyle \ forall X \ w L_{d}^{p},\forall u\in M:R(X+u1)=R(X)-u}$

Jednotonowy

${\ Displaystyle \ forall X_ {2} -X_ {1} \ w L_ {d} ^ {p} (K) \ Strzałka w prawo R (X_ {2}) \ supseteq R (X_ {1 })}$

Podliniowy

Ogólne ramy transformacji Wanga

Transformata Wanga skumulowanej funkcji dystrybucji

sol ${\ Displaystyle g \ dwukropek [0,1] \ rightarrow [0,1]}$ sol $\ Displaystyle g (0) = 0}$ i ${\ Displaystyle g (1) = 1}$ . Ta funkcja jest nazywana funkcją zniekształcenia lub funkcją transformacji Wanga.

Funkcja podwójnego zniekształcenia to ${\ Displaystyle {\ tylda {g}} (x) = 1-g (1-x)}$ . Biorąc $pod$$uwagę$ prawdopodobieństwa to ${\ displaystyle g}$ zmiennej dowolnej możemy zdefiniować nową $miarę$ prawdopodobieństwa taką, że dla dowolnego $mathcal {F}}}$ z tego, że ZA ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (A) = g (\ mathbb {P} (X \ w A)).}$

Zasada premii aktuarialnej

Dla dowolnej rosnącej wklęsłej funkcji transformaty Wanga moglibyśmy zdefiniować odpowiednią zasadę premii : ${\ Displaystyle \ varho (X) = \ int _ {0} ^{+\infty}g\left({\bar {F}}_{X}(x)\right)dx}$

Spójna miara ryzyka

Spójną miarę ryzyka można zdefiniować za pomocą transformaty Wanga skumulowanej funkcji dystrybucji $i$ tylko wtedy, gdy $wklęsła$ .

Wypukła miara ryzyka o ustalonej wartości

Jeśli zamiast właściwości podliniowej R jest wypukłe, to R jest wypukłą miarą ryzyka o ustalonej wartości.

Podwójna reprezentacja

Niższa półciągła wypukła miara ryzyka może być przedstawiona jako ${\ displaystyle \ varrho}$

${\ Displaystyle \ varrho (X) = \ sup _ {Q \ w {\ mathcal {M}} (P )}\{E^{Q}[-X]-\alfa (Q)\}}$

takie, że $alpha$ funkcją karną i jest zbiorem miar prawdopodobieństwa $displaystyle$ ciągłym względem P („świat rzeczywisty” α { miara prawdopodobieństwa ), tj. ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (P) = \ {Q \ ll P \}}$ . $przestrzeniami$ charakterystyka jest powiązana z , sercami Orlitz i ich podwójnymi przestrzeniami

Niższa półciągła miara ryzyka jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy można ją przedstawić jako

${\ Displaystyle \ varrho (X) = \ sup _ {Q \ w {\ mathcal {Q}}} E ^ {Q} [-X]}$

takie, że ${\ Displaystyle {\ mathcal {Q}} \ subseteq {\ mathcal {M}} (P)}$ .

Zobacz też

• Metryka ryzyka — abstrakcyjna koncepcja, którą określa miara ryzyka
• RiskMetrics - model zarządzania ryzykiem
• Widmowa miara ryzyka – podzbiór spójnych miar ryzyka
• Miara ryzyka zniekształceń
• Warunkowa wartość zagrożona
• Zagrożona wartość entropiczna
• Ryzyko finansowe