Stożek wypłacalności

Stożek wypłacalności jest pojęciem używanym w matematyce finansowej , które modeluje możliwe transakcje na rynku finansowym . Jest to szczególnie interesujące dla rynków z kosztami transakcyjnymi . W szczególności jest to wypukły stożek portfeli, które można wymienić na portfele o składnikach nieujemnych (w tym opłacenie wszelkich kosztów transakcyjnych).

Podstawa matematyczna

${\ Displaystyle \ Pi = \ lewo (\$ podano macierz bid-ask dla $jot$ takich, że $≤$ i ${\ Displaystyle m \ równoważnik d}$ to liczba aktywów, które przy dowolnej nieujemnej ilości można „odrzucić” (tradycyjnie ${\ Displaystyle m = d}$ ), wtedy stożek wypłacalności ${\ Displaystyle K (\ Pi) \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {d}}$ to wypukły stożek rozpięty przez wektory jednostkowe $1 \ równoważnik ja \ równoważnik m}$ i wektory ${\ Displaystyle \ pi ^ {ij} e ^ {i} -e ^ {j}, 1 \ równoważnik ja, j \ równoważnik d}$ .

Definicja

Stożek wypłacalności to dowolny zamknięty wypukły stożek taki, że $K$$mathbb {R} ^ {d}}$ i ${\ Displaystyle K \ supseteq \ mathbb {R} _{+}^{d}}$ .

Używa

Proces $_$ _ model rynku finansowego. Nazywa się to czasem procesem rynkowym .

Negatywem stożka wypłacalności jest zestaw portfeli, które można uzyskać zaczynając od portfela zerowego. Jest to ściśle związane z samofinansującymi się portfelami .

Podwójny stożek stożka wypłacalności ( ${\ Displaystyle K ^ {+} = \ lewo \ {w \ w \ mathbb {R} ^ { d}:\forall v\in K:0\leq w^{T}v\right\}} )$ to zbiór cen, który definiuje beztarciowy system wyceny aktywów zgodny z rynkiem. Nazywa się to również spójnym systemem ustalania cen .

Przykłady

Przykładowy stożek wypłacalności bez kosztów transakcyjnych

Przykładowy stożek wypłacalności z kosztami transakcji

Załóżmy, że są 2 aktywa, A i M, z możliwością wymiany 1 do 1.

Rynek bez tarć

Na rynku bez tarć możemy oczywiście przekształcić (1A, -1M) i (-1A,1M) w nieujemne portfele, dlatego ${\ Displaystyle K = \{x\in \mathbb {R} ^{2}:(1,1)x\geq 0\}}$ . Zauważ, że (1,1) jest „wektorem ceny”.

Z kosztami transakcyjnymi

Załóżmy dalej, że dla każdej transakcji jest 50% kosztów transakcji. Oznacza to, że (1A,-1M) i (-1A,1M) nie można zamienić na portfele nieujemne. Ale (2A,-1M) i (-1A,2M) można wymienić na portfele nieujemne. Można zauważyć, że ${\ Displaystyle K = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {2} :( 2,1)x\geq 0,(1,2)x\geq 0\}}$ .

Podwójny stożek cen jest zatem najłatwiejszy do zobaczenia w kategoriach cen A w kategoriach M (podobnie zrobiono to dla ceny M w kategoriach A):

• ktoś oferuje 1A za tM: ${\ Displaystyle (0, t) \ rightarrow (1,0) \ rightarrow (0, {\ Frac {1} {2} })}$ dlatego istnieje arbitraż, jeśli ${\ Displaystyle t <{\ Frac {1} {2}}}$
• ktoś oferuje tM za 1A: ${\ Displaystyle (1,0) \ rightarrow (0, t) \ rightarrow ({\ Frac {t} {2}}, 0)}$ dlatego istnieje arbitraż, jeśli ${\ displaystyle t> 2}$

Nieruchomości

Jeśli stożek wypłacalności ${\ displaystyle K}$ :

• zawiera linię, to możliwa jest wymiana bez kosztów transakcyjnych.
• ${\ Displaystyle K = \ mathbb {R} _ {+} ^ {d}}$ , wtedy nie ma możliwej wymiany, tj. Rynek jest całkowicie niepłynny .