Dynamiczna miara ryzyka

W matematyce finansowej warunkowa miara ryzyka jest zmienną losową ryzyka finansowego (zwłaszcza ryzyka spadku ), tak jakby była mierzona w pewnym momencie w przyszłości. Miarę ryzyka można traktować jako warunkową miarę ryzyka na trywialnej algebrze sigma .

Dynamiczna miara ryzyka to miara ryzyka, która zajmuje się pytaniem, w jaki sposób oceny ryzyka w różnych momentach są ze sobą powiązane. Można to interpretować jako sekwencję warunkowych miar ryzyka.

Odmienne podejście do dynamicznego pomiaru ryzyka zaproponował Novak.

Warunkowa miara ryzyka

Rozważ zwroty z portfela $T$ pewnym końcowym czasie jako zmienną losową , ${\ Displaystyle X \ w L ^ {\ infty} \ lewo ({\ mathcal {F}}_{T}\right)}$ jest jednostajnie ograniczona , tj. oznacza wypłatę portfela. mapowanie ${\ Displaystyle \ rho _ {t}: L ^ {\ infty} \ lewo ({\ mathcal {F}} _ { T}\right)\rightarrow L_{t}^{\infty }=L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{t}\right)} jest miarą ryzyka warunkowego, jeśli$ ma następujące właściwości losowych zwrotów z portfela ${\ Displaystyle X, Y \ w L ^ {\ infty} \ lewo ({\ mathcal {F}} _ {T} \ prawej)}$ :

Warunkowa niezmienność gotówki

${\ Displaystyle \ forall m_ {t} \ w L_ {t} ^ {\ infty}: \ ;\rho _{t}(X+m_{t})=\rho _{t}(X)-m_{t}}$

Monotoniczność

${\ Displaystyle \ operatorname {jeśli} \; X \ równoważnik Y \; \ operatorname {wtedy} \; \ rho _ {t} (X) \ geq \ rho _ {t} (Y)}$

Normalizacja

${\ Displaystyle \ rho _ {t} (0) = 0}$

Jeśli jest to warunkowa wypukła miara ryzyka, to będzie miała również właściwość:

wypukłość warunkowa

${\ Displaystyle \ forall \lambda \in L_{t}^{\infty },0\leq \lambda \leq 1:\rho _{t}(\lambda X+(1-\lambda )Y)\leq \lambda \rho _{t }(X)+(1-\lambda )\rho _{t}(Y)}$

Warunkowa koherentna miara ryzyka to warunkowa wypukła miara ryzyka, która dodatkowo spełnia:

Warunkowa dodatnia jednorodność

${\ Displaystyle \ forall \ lambda \ in L_ {t} ^ {\ infty}, \ lambda \ geq 0 :\rho _{t}(\lambda X)=\lambda \rho _{t}(X)}$

Zestaw akceptacji

Główny artykuł: Zestaw akceptacji

Akceptacja ustalona w czasie związana z warunkową miarą ryzyka wynosi ${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle A_ {t} = \ {X \ w L_ {T} ^ {\ infty}: \ rho _ {t} (X) \leq 0{\text{as}}\}}$ .

Jeśli otrzymasz zestaw akceptacji w czasie ${\ displaystyle t},$ to odpowiednia miara ryzyka warunkowego jest

${\ Displaystyle \ rho _ {t} = {\ tekst {ess}} \ inf \ {Y \ w L_ {t} ^ {\ infty }:X+Y\w A_{t}\}}$

gdzie ${\ displaystyle {\ tekst {es}} \ inf}$ jest niezbędnym infimum .

Zwykła właściwość

, że warunkowa miara ryzyka jest regularna $Displaystyle$ jeśli dla dowolnego i ${\ Displaystyle A \ w {\ mathcal {F}} _ {t}}$$rho _ {$ \ wtedy $}$${\ Displaystyle \ rho _ {t} (1_ {A} X) = 1_$${$$X$ gdzie jest wskaźnika na . Każda znormalizowana warunkowa wypukła miara ryzyka jest regularna.

$,$ że ​​​​ryzyko warunkowe w jakimś przyszłym węźle ( możliwych stanów z węzeł. W modelu dwumianowym byłoby to podobne do obliczania ryzyka na poddrzewie rozgałęziającym się od danego punktu.

Właściwość spójna w czasie

Główny artykuł: Spójność czasowa

Dynamiczna miara ryzyka jest spójna w czasie wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ styl wyświetlania \rho _{t+1}(X)\leq \rho _{t+1}(Y)\strzałka w prawo \rho _{t}(X)\leq \rho _{t}(Y)\;\ forall X,Y\in L^{0}({\mathcal {F}}_{T})}$ .

Przykład: dynamiczna cena superhedgingu

Dynamiczna cena zabezpieczenia obejmuje warunkowe miary ryzyka postaci ${\ Displaystyle \ rho _ {t} (-X) = \ nazwa operatora {*} {ess \ sup} _ {Q \ w EMM} \ mathbb {E} ^ {Q} [X | {\ mathcal { F}}_{t}]}$ . Wykazano, że jest to spójna w czasie miara ryzyka.