Gra zbiorcza

W teorii gier gra agregacyjna to gra, w której wypłata każdego gracza jest funkcją jego własnej strategii i sumy strategii wszystkich graczy. Koncepcja ta została po raz pierwszy zaproponowana przez laureata Nagrody Nobla Reinharda Seltena w 1970 r., który rozważał przypadek, w którym agregat jest sumą strategii graczy.

Definicja

Rozważmy standardową grę niekooperacyjną z n graczami, gdzie ${\ Displaystyle S_ {i} \ subseteq \ mathbb {R}}$ jest zbiorem strategii gracza i , ${\ Displaystyle S = S_ {1} \ razy S_ {2} \ razy \ ldots \ razy S_ {n}}$ to wspólny zestaw strategii i ${\ displaystyle f_ {i}: S \ to \mathbb {R} }$ jest funkcją wypłaty gracza i . Gra jest wtedy nazywana grą agregacyjną , jeśli dla każdego gracza i istnieje funkcja ${\ Displaystyle {\ tylda {f}} _ {i}: S_ {i} \ razy \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$ takie, że dla wszystkich ${\ Displaystyle s \ w S}$ :

{\ Displaystyle f_ {i} (s) = {\ tylda {f}} _ {i} \ lewo (s_ {i} ,\suma _{j=1}^{n}s_{j}\right)}

własnych strategii graczy i agregatu . ${\ displaystyle \ suma s_ {j}}$ . Jako przykład rozważmy model Cournota , w którym firma i ma funkcję wypłaty / zysku ${\ Displaystyle f_ {i} (s) = s_ { i} P \ lewo (\ suma s_ {j} \ prawej) -C_ {i} (s_ {i})} ($ tutaj i są odpowiednio ${\ displaystyle P}$ i do $\ displaystyle C_ {i}}$ odwrotna funkcja popytu i funkcja kosztów firmy i ). Jest to gra agregacyjna, ponieważ ${\ Displaystyle f_ {i} (s) = {\ tylda {f}} _ {i} \ lewo (s_ { ja} \ suma s_ {j} \ prawej)}$ gdzie ${\ Displaystyle {\ tylda {f}} _ {i }(s_{i},X)=s_{i}P(X)-C_{i}(s_{i})}$ .

Uogólnienia

W literaturze pojawiło się wiele uogólnień standardowej definicji gry agregacyjnej. Gra jest ${\ Displaystyle h_ {0}, h_ {1}, \ ldots, h_ {n}: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}} takie,$ $tj$ , funkcja dająca się rozdzielić addytywnie . Jeśli istnieją funkcje rosnące że ${\ Displaystyle g (s) = h_ {0} (\ suma _ {i} h_ {i} (s_ {i}))} )$ takie, że dla każdego gracza i istnieje funkcja ${\ Displaystyle {\ tylda {f}} _ {i}: S_ {i} \ razy \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}} takie,$ że ${\ Displaystyle f_ {i} (s) = {\ tylda {f}} _ {i} (s_ {i}, g (s_ {1} \ ldots, s_ {n}}}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle s \ w S}$ . Oczywiście każda gra agregacyjna jest uogólnioną agregacyjną, jak widać biorąc ${\ Displaystyle g (s_ {1}, \ ldots, s_ {n}) = \ suma s_ {i }}$ . Jeszcze bardziej ogólną definicją są gry quasi-agregacyjne , w których funkcje wypłat agentów mogą zależeć od różnych funkcji strategii przeciwników. Gry agregacyjne można również uogólnić, aby umożliwić nieskończenie wielu graczy, w którym to przypadku agregator będzie zazwyczaj sumą całkową, a nie liniową. Gry agregacyjne z kontinuum graczy są często badane w teorii gier średniego pola .

Nieruchomości

Uogólnione gry agregacyjne (stąd gry agregacyjne) dopuszczają wsteczną korespondencję odpowiedzi iw rzeczywistości jest to najbardziej ogólna klasa, która to robi. Korespondencje wstecznej odpowiedzi, jak również blisko spokrewnione korespondencje akcji , są potężnymi narzędziami analitycznymi w teorii gier. Na przykład wsteczna korespondencja odpowiedzi została wykorzystana do dostarczenia pierwszego ogólnego dowodu na istnienie równowagi Nasha w modelu Cournota bez zakładania quasi-wklęsłości funkcji zysku firm. Odpowiednie odpowiedzi wsteczne również odgrywają kluczową rolę w porównawczej statyki (patrz poniżej).
Gry quasi-agregacyjne (stąd uogólnione gry agregacyjne, stąd gry agregacyjne) są grami z potencjalną najlepszą odpowiedzią , jeśli korespondencje z najlepszą odpowiedzią rosną lub maleją. Dokładnie tak, jak gry ze strategicznymi komplementarnościami , takie gry mają czystą strategię Nasha , niezależnie od tego, czy funkcje wypłat są quasi-wklęsłe i/lub zbiory strategii są wypukłe . Dowód istnienia w jest szczególnym przypadkiem takich bardziej ogólnych wyników istnienia.
Gry agregacyjne mają silne właściwości statyki porównawczej . W bardzo ogólnych warunkach można przewidzieć, jak zmiana parametrów egzogenicznych wpłynie na równowagę Nasha .

Zobacz też

Notatki

Selten, R. (1970). Preispolitik der Mehrproduktenunternehmung in der Statischen Theorie (wyd. Pierwsze). Springer Verlag w Berlinie.