Uzupełnienia strategiczne

W ekonomii i teorii gier decyzje dwóch lub więcej graczy nazywane są strategicznymi uzupełnieniami , jeśli wzajemnie się wzmacniają, a nazywane są strategicznymi substytutami , jeśli wzajemnie się kompensują. Terminy te zostały pierwotnie ukute przez Bulowa, Geanakoplosa i Klemperera (1985).

Aby zrozumieć, co należy rozumieć przez „wzmocnienie” lub „zrównoważenie”, rozważmy sytuację, w której wszyscy gracze mają do wyboru podobne wybory, jak w artykule Bulow i in., gdzie wszyscy gracze są niedoskonale konkurencyjnymi firmami, z których każdy musi zdecydować ile produkować. Wtedy decyzje produkcyjne są strategicznym uzupełnieniem, jeśli wzrost produkcji jednej firmy zwiększa krańcowe przychody innych, ponieważ daje to innym zachętę do większej produkcji. Dzieje się tak zazwyczaj wtedy, gdy istnieją wystarczająco silne zagregowane rosnące korzyści skali i/lub krzywe popytu ponieważ produkty firm mają wystarczająco niską elastyczność cen własnych . Z drugiej strony decyzje produkcyjne są strategicznymi substytutami, jeśli wzrost produkcji jednej firmy zmniejsza krańcowe przychody innych, dając im bodziec do mniejszej produkcji.

Według Russella Coopera i Andrew Johna strategiczna komplementarność jest podstawową właściwością leżącą u podstaw przykładów wielorakich równowag w grach koordynacyjnych .

Sformułowanie rachunku różniczkowego

Matematycznie rozważmy grę symetryczną z dwoma graczami, z których każdy ma funkcję wypłaty , $)$ Π $\ Displaystyle \, \ Pi (x_ {i}, x_ {j}$ reprezentuje własną decyzję gracza, a ${\ displaystyle \, x_ {j}}$ reprezentuje decyzję drugiego gracza. Załóżmy, że rośnie i jest wklęsły we własnej strategii gracza ${\ Displaystyle \, \ Pi}$ ${\ Displaystyle \, x_ {i}}$ . Przy tych założeniach te dwie decyzje są strategicznymi uzupełnieniami, jeśli wzrost własnej decyzji każdego gracza $Pi _{j}}{\częściowe x_{j}}}}$ krańcową wypłatę $x$ ${\ Displaystyle {\ Frac {\$ drugiego gracza. Innymi słowy, decyzje są strategicznymi uzupełnieniami, jeśli druga pochodna ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ Pi _ {j}} {\ częściowe x_ {j} \ częściowe x_ {i}}}} jest dodatnie$ dla ${\ Displaystyle i \ neq j}$ . $,$ że funkcja jest nadmodułowa .

Z drugiej strony decyzje są strategicznymi substytutami, jeśli $}}}$ $\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ Pi _ {j}} {\ częściowe x_ {j} \ częściowe x_$ $submodularny$ } jest ujemne, to znaczy, jeśli jest .

Przykład

W swoim oryginalnym artykule Bulow i in. użyj prostego modelu konkurencji między dwiema firmami, aby zilustrować swoje pomysły. Przychód dla firmy x ze wskaźnikami produkcji jest określony przez ${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$

{\ Displaystyle U_ {x} ( x_{1},x_{2};y_{2})=p_{1}x_{1}+(1-x_{2}-y_{2})x_{2}-(x_{1}+x_ {2})^{2}/2-F}

podczas gdy przychód dla firmy y ze wskaźnikiem produkcji ${\ displaystyle y_ {2}}$ rynku 2 jest określony przez y

{\ Displaystyle U_ {y} (y_ {2}; x_ {1}, x_{2})=(1-x_{2}-y_{2})y_{2}-y_{2}^{2}/2-F}

w dowolnej równowadze wewnętrznej ${\ Displaystyle (x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*}, y_ {2} ^ {*})}$ , musimy mieć

{\ Displaystyle {\ dfrac {\ częściowe U_ {x}} {\ częściowe x_ {1}}} = 0 ,{\dfrac {\częściowe U_{x}}{\częściowe x_{2}}}=0,{\dfrac {\częściowe U_{y}}{\częściowe y_{2}}}}=0.}

Używając rachunku wektorowego, algebry geometrycznej lub geometrii różniczkowej, Bulow i in. wykazało, że wrażliwość równowagi Cournota na zmiany w można obliczyć za pomocą drugich pochodnych cząstkowych funkcji wypłaty: ${\ displaystyle p_ {1}}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} {\ dfrac {dx_ {1} ^ {*}} {dp_ {1}}} \\ [2.2ex] {\ dfrac {dx_ {2} ^ {*}} {dp_ {1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dy_{2}^{*}}{dp_{1}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\częściowy ^{2}U_{x}}{\częściowe x_{1}\częściowe x_{1}}}&{\dfrac {\częściowe ^{2}U_{x}}{\częściowe x_{1}\częściowe x_ {2}}}&{\dfrac {\częściowy ^{2}U_{x}}{\częściowy x_{1}\częściowy y_{2}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\częściowy ^{ 2}U_{x}}{\częściowe x_{1}\częściowe x_{2}}}&{\dfrac {\częściowe ^{2}U_{x}}{\częściowe x_{2}\częściowe x_{2 }}}&{\dfrac {\częściowy ^{2}U_{x}}{\częściowy y_{2}\częściowy x_{2}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\częściowy ^{2} U_{y}}{\częściowe x_{1}\częściowe y_{2}}}&{\dfrac {\częściowe ^{2}U_{y}}{\częściowe x_{2}\częściowe y_{2}} }&{\dfrac {\częściowy ^{2}U_{y}}{\częściowy y_{2}\częściowy y_{2}}}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}- {\dfrac {\częściowy ^{2}U_{x}}{\częściowy p_{1}\częściowy x_{1}}}\\[2.2ex]-{\dfrac {\częściowy ^{2}U_{x }}{\częściowe p_{1}\częściowe x_{2}}}\\[2.2ex]-{\dfrac {\częściowe ^{2}U_{y}}{\częściowe p_{1}\częściowe y_{ 2}}}\end{bmacierz}}}

kiedy ${\ Displaystyle 1/4 \ równoważnik p_ {1} \ równoważnik 2/3}$ ,

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} {\ dfrac {dx_ {1} ^ {*}} {dp_ {1}}} \\ [2.2ex] {\ dfrac {dx_ {2} ^ {*}} {dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dy_{2}^{*}}{dp_{1}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&-1&0 \\-1&-3&-1\\0&-1&-3\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}8\\-3\\1\end{bmatrix}}}

Oznacza to, że wraz ze wzrostem ceny na rynku 1 firma x sprzedaje więcej na rynku 1 i mniej na rynku 2, podczas gdy firma y sprzedaje więcej na rynku 2. Jeśli równowaga Cournota tego modelu zostanie obliczona wprost, znajdziemy

{\ Displaystyle x_ {1} ^ {*} = \ max \ lewo \ {0, {\ Frac {8p_ {1} -2} {5}} \ prawo \}, x_ {2} ^ {*} = \ max \left\{0,{\frac {2-3p_{1}}{5}}\right\},y_{2}^{*}={\frac {p_{1}+1}{5} }.}

Zobacz też

^ J. Bulow, J. Geanakoplos i P. Klemperer (1985), „Wielorynkowy oligopol: strategiczne substytuty i strategiczne uzupełnienia”. Journal of Political Economy 93, s. 488-511, https://www.jstor.org/stable/1832005 .
^ Russell Cooper i Andrew John (1988), „Koordynacja niepowodzeń koordynacji w modelach keynesowskich”. Quarterly Journal of Economics 103 (3), s. 441-63.

[1] J. Bulow, J. Geanakoplos i P. Klemperer (1985), „Wielorynkowy oligopol: strategiczne substytuty i strategiczne uzupełnienia”. Journal of Political Economy 93, s. 488-511, https://www.jstor.org/stable/1832005 .

[2] Russell Cooper i Andrew John (1988), „Koordynacja niepowodzeń koordynacji w modelach keynesowskich”. Quarterly Journal of Economics 103 (3), s. 441-63.