Grupa Baumslag-Solitar

Jeden arkusz wykresu Cayleya grupy Baumslag-Solitar BS(1, 2) . Czerwone krawędzie odpowiadają a , a niebieskie krawędzie odpowiadają b .

Arkusze wykresu Cayleya grupy Baumslag-Solitar BS(1, 2) pasują do siebie w nieskończone drzewo binarne .

Wizualizacja porównująca arkusz i wykres Cayleya drzewa binarnego ${\ Displaystyle {\ tekst {BS}} (1,2)}$ . Czerwone i niebieskie krawędzie odpowiadają i $displaystyle$$b}$ .

W matematycznej dziedzinie teorii grup grupy Baumslaga -Solitara są przykładami grup z dwoma generatorami i jednym relatorem, które odgrywają ważną rolę w kombinatorycznej teorii grup i geometrycznej teorii grup jako (kontr) przykłady i przypadki testowe. Są one podane przez prezentację grupową

${\ Displaystyle \ lewo \ langle a, b \: \ ba ^ {m} b ^ {-1} = a ^ {n} \ prawo \ rangle.}$

Dla każdej liczby całkowitej m i n grupa Baumslag-Solitar jest oznaczona jako BS( m , n ) . Relacja w prezentacji nazywa się relacją Baumslag-Solitar .

Niektóre z różnych BS( m , n ) są dobrze znanymi grupami. BS(1, 1) to swobodna grupa abelowa na dwóch generatorach , a BS(1, −1) to podstawowa grupa butelki Kleina .

Grupy zostały zdefiniowane przez Gilberta Baumslaga i Donalda Solitara w 1962 roku, aby podać przykłady grup innych niż Hopfian . Grupy zawierają resztkowo skończone , grupy hopfiańskie, które nie są resztkowo skończone, oraz grupy niehopfiańskie.

Reprezentacja liniowa

Definiować

${\ Displaystyle A = {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 1 \\ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}, \ qquad B = {\ rozpocząć {pmatrix} {\ Frac {n} {m}} i 0 \\ 0 i 1 \ koniec {pmatrix }}.}$

Grupa macierzowa G wygenerowana przez A i B jest homomorficznym obrazem BS( m , n ) poprzez homomorfizm wywołany przez

${\ Displaystyle a \ mapsto A, \ qquad b \ mapsto B.}$

Warto zauważyć, że na ogół nie będzie to izomorfizm. Na przykład, jeśli BS( m , n ) nie jest resztkowo skończony (tj. jeśli nie jest tak, że | m | = 1 , | n | = 1 , lub | m | = | n | ) nie może być izomorficzny ze skończenie generowana grupa liniowa , o której wiadomo, że jest rezydualnie skończona z twierdzenia Anatolija Malcewa .

Zobacz też

• Kafelkowanie binarne

Notatki

• DJ Collins (2001) [1994], „grupa Baumslag – Solitar” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Gilbert Baumslag i Donald Solitar, Niektóre grupy non-Hopfian z dwoma generatorami i jednym relatorem , Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego 68 (1962), 199–201. MR 0142635