Hexlet Soddy'ego

Rysunek 1. Rodzina heksletów powiązanych obrotem i skalowaniem. Środki kul leżą na elipsie , co czyni ją hexletem eliptycznym.

W geometrii hekslet Soddy'ego jest łańcuchem sześciu sfer (pokazanych na szaro na rysunku 1), z których każda jest styczna do obu swoich sąsiadów, a także do trzech wzajemnie stycznych danych sfer. Na rycinie 1 trzy kule to czerwona kula wewnętrzna i dwie kule (niepokazane) powyżej i poniżej płaszczyzny, na których leżą środki kul sześciokątnych. Ponadto kule heksletowe są styczne do czwartej kuli (niebieska sfera zewnętrzna na rysunku 1), która nie jest styczna do trzech pozostałych.

Zgodnie z twierdzeniem opublikowanym przez Fredericka Soddy'ego w 1937 roku, zawsze jest możliwe znalezienie heksletu dla dowolnego wyboru wzajemnie stycznych sfer A , B i C . Rzeczywiście, istnieje nieskończona rodzina hexletów powiązanych przez obrót i skalowanie sfer hexletowych (ryc. 1); w tym hexlet Soddy'ego jest sferycznym odpowiednikiem łańcucha Steinera składającego się z sześciu okręgów. Zgodnie z łańcuchami Steinera, środki kul sześciokątnych leżą w jednej płaszczyźnie, na elipsie. Hexlet Soddy'ego został odkryty również niezależnie w Japonii, jak pokazuje Tabliczki Sangaku z 1822 roku w prefekturze Kanagawa.

Definicja

Sześciokąt Soddy'ego to łańcuch sześciu kul, oznaczonych S ₁ – S ₆ , z których każda jest styczna do trzech danych sfer A , B i C , które same są wzajemnie styczne w trzech różnych punktach. (Dla spójności w całym artykule kule heksletowe będą zawsze przedstawiane na szaro, kule A i B na zielono, a kula C na niebiesko). Kule heksletowe są również styczne do czwartej stałej kuli D (zawsze pokazany na czerwono), który nie jest styczny do trzech pozostałych, A , B i C .

Każda kula heksletu Soddy'ego jest również styczna do swoich sąsiadów w łańcuchu; na przykład kula S ₄ jest styczna do S ₃ i S ₅ . Łańcuch jest domknięty, co oznacza, że każda sfera w łańcuchu ma dwóch stycznych sąsiadów; w szczególności sfery początkowa i końcowa, _S1 i S6 , są styczne do siebie _.

Sześciokąt pierścieniowy

Rysunek 2: Pierścieniowy hexlet.

Pierścieniowy hexlet Soddy'ego jest szczególnym przypadkiem (Rysunek 2), w którym trzy wzajemnie styczne kule składają się z pojedynczej kuli o promieniu r (niebieski) umieszczonej pomiędzy dwiema równoległymi płaszczyznami (zielona) oddzielonymi prostopadłą odległością 2 r . W tym przypadku hexlet Soddy'ego składa się z sześciu kul o promieniu r upakowanych jak łożyska kulkowe wokół centralnej kuli i podobnie umieszczonych. Kule sześciokątne są również styczne do czwartej sfery (czerwonej), która nie jest styczna do pozostałych trzech.

Łańcuch sześciu sfer można obracać wokół centralnej kuli bez wpływu na ich styki, co pokazuje, że istnieje nieskończona rodzina rozwiązań dla tego przypadku. Gdy są obracane, kule hexletu kreślą torus ( powierzchnię w kształcie pączka); innymi słowy, torus jest otoczką tej rodziny heksletów.

Rozwiązanie przez odwrócenie

Ogólny problem znalezienia heksletu dla trzech danych wzajemnie stycznych kul A , B i C można sprowadzić do przypadku pierścieniowego za pomocą inwersji . Ta operacja geometryczna zawsze przekształca kule w kule lub płaszczyzny, które można uważać za kule o nieskończonym promieniu. Kula przekształca się w płaszczyznę wtedy i tylko wtedy, gdy przechodzi ona przez środek inwersji. Zaletą odwrócenia jest to, że zachowuje styczność; jeśli dwie kule są styczne przed przekształceniem, pozostają takie po. Tak więc, jeśli transformacja inwersyjna zostanie wybrana rozsądnie, problem można sprowadzić do prostszego przypadku, takiego jak pierścieniowy hexlet Soddy'ego. Inwersja jest odwracalna; powtórzenie inwersji w tym samym punkcie przywraca przekształconym obiektom ich pierwotny rozmiar i położenie.

Odwrócenie w punkcie styczności sfer A i B przekształca je w płaszczyzny równoległe, które można oznaczyć jako a i b . Ponieważ kula C jest styczna zarówno do A , jak i B i nie przechodzi przez środek inwersji, C przekształca się w inną kulę c , która jest styczna do obu płaszczyzn; stąd c jest wciśnięte między dwie płaszczyzny a i b . To jest pierścieniowy hekslet Soddy'ego (ryc. 2). Sześć kul s ₁ – s ₆ może być upakowanych wokół c i podobnie umieszczonych między płaszczyznami ograniczającymi a i b . Ponowna inwersja przywraca trzy oryginalne sfery i przekształca s ₁ – s ₆ w hexlet dla pierwotnego problemu. Ogólnie rzecz biorąc, te sześciokątne kule S ₁ – S ₆ mają różne promienie.

Można wygenerować nieskończoną różnorodność heksletów, obracając sześć kulek s ₁ – s ₆ w ich płaszczyźnie o dowolny kąt przed ich ponownym odwróceniem. Obwiednia wytworzona przez takie obroty to torus otaczający kulę c i umieszczony pomiędzy dwiema płaszczyznami a i b ; zatem torus ma promień wewnętrzny r i promień zewnętrzny 3 r . Po ponownej inwersji torus ten staje się cyklidem Dupina (ryc. 3).

Ryc. 3: Cyklid Dupina, przez który obracają się hexletowe kule, zawsze się stykając. Cyklid jest styczny do kuli wewnętrznej, kuli zewnętrznej i dwóch sfer powyżej i poniżej „dziury” w „pączku”.

Cyklid Dupina

Obwiednia heksletów Soddy'ego to cyklid Dupina , odwrócenie torusa . Tak więc konstrukcja Soddy'ego pokazuje, że cyklid Dupina jest obwiednią 1-parametrowej rodziny sfer na dwa różne sposoby, a każda kula z jednej rodziny jest styczna do dwóch kul z tej samej rodziny i trzech kul z drugiej rodziny. Wynik ten był prawdopodobnie znany Charlesowi Dupinowi , który odkrył cyklidy noszące jego imię w swojej rozprawie z 1803 roku pod kierunkiem Gasparda Monge'a .

Stosunek do łańcuchów Steinera

Rysunek 4: Łańcuch Steinera składający się z sześciu kół odpowiadających hexletowi Soddy'ego.

Przecięcie heksletu z płaszczyzną jego kulistych środków tworzy łańcuch Steinera składający się z sześciu okręgów.

Hekslety paraboliczne i hiperboliczne

Zakłada się, że kule $A$ i $B$ są tej samej wielkości.

W każdym eliptycznym hexlecie, takim jak ten pokazany na górze artykułu, istnieją dwie styczne płaszczyzny do hexletu. Aby istniał eliptyczny hexlet, promień $C$ musi być mniejszy niż jedna czwarta promienia $A$ . Jeśli promień $C wynosi jedną czwartą promienia$ $A$ , każda kula stanie się płaszczyzną w podróży. Odwrócony obraz pokazuje jednak normalny hexlet eliptyczny i paraboliczny Hexlet, punkt, w którym kula zamienia się w płaszczyznę, jest dokładnie wtedy, gdy jej odwrócony obraz przechodzi przez środek inwersji. W takim hexlet jest tylko jedna płaszczyzna styczna do hexlet. Linia środków heksletu parabolicznego jest parabolą.

Jeśli $C$ jest jeszcze większe, powstaje hekslet hiperboliczny i teraz w ogóle nie ma płaszczyzn stycznych. Oznacz kule $od S 1$ do $S 6$ . $S 1$ nie może zatem posunąć się zbyt daleko, dopóki nie stanie się płaszczyzną (gdzie jej odwrócony obraz przechodzi przez środek inwersji), a następnie odwróci swoją wklęsłość (gdzie jej odwrócony obraz otacza środek inwersji). Teraz linia środków jest hiperbolą.

Przypadek graniczny występuje, gdy $A$ , $B$ i $C$ mają ten sam rozmiar. Sześciokąt staje się teraz prosty. $S 1$ jest mały, gdy przechodzi przez otwór między $A$ , $B$ i $C$ , i rośnie, aż stanie się płaszczyzną styczną do nich. Środek inwersji jest teraz również z punktem styczności z obrazem $S 6$ , więc jest to również płaszczyzna styczna do $A$ , $B$ i $C$ . jako $S 1$ postępuje, jego wklęsłość jest odwrócona i otacza teraz wszystkie inne sfery, styczne do $A$ , $B$ , $C$ , $S 2$ i $S 6$ . $S 2$ pcha w górę i rośnie, aby stać się płaszczyzną styczną, a $S 6$ kurczy się. Następnie $S 1$ uzyskuje poprzednią pozycję $S 6$ jako płaszczyznę styczną. Następnie ponownie odwraca wklęsłość i ponownie przechodzi przez otwór, rozpoczynając kolejną podróż w obie strony. Teraz linia centrów jest zdegenerowana hiperbola, gdzie zapadła się na dwie proste linie.

Tabletki Sangaku

Sześciokątny problem Soddy'ego w japońskiej książce matematycznej Kokonsankan (1832).

Replika Sangaku w muzeum Hōtoku w świątyni Samukawa .

Japońscy matematycy odkryli ten sam hekslet ponad sto lat przed Soddym. Analizowali problemy upakowania, w których stykają się koła i wielokąty, kule i wielościany, i często znajdowali odpowiednie twierdzenia niezależnie przed ich odkryciem przez zachodnich matematyków. Często publikowali je jako sangaku . Sangaku o hekslecie zostało wykonane przez Irisawę Shintarō Hiroatsu w szkole Uchidy Itsumi i poświęcone Sanktuarium Samukawa w maju 1822 r. Oryginalne sangaku zaginęło, ale zostało zapisane w księdze Kokonsankan Uchidy w 1832 r. Replika sangaku została wykonana z zapisu i poświęcona muzeum Hōtoku w Sanktuarium Samukawa w sierpniu 2009 r.

Sangaku Irisawy składa się z trzech problemów. Trzeci problem dotyczy heksletu Soddy'ego: „średnica zewnętrznej kuli opisującej wynosi 30 słońc . Średnice kul jądra to 10 słońc i 6 słońc każda. Średnica jednej z kul w łańcuchu kulek wynosi 5 słońc. Następnie poprosiłem o średnice pozostałych kul. Odpowiedź to 15 słońc, 10 słońc, 3,75 słońc, 2,5 słońc i 2 + 8/11 słońc.

W jego odpowiedzi zapisano metodę obliczania średnic kulek i można ją uznać za następujące wzory, które należy podać we współczesnej skali. ^{[ wymagane wyjaśnienie ]} Jeśli stosunki średnicy kuli zewnętrznej do każdej z kul jądra wynoszą a ₁ , a ₂ , a stosunki średnicy do kul łańcucha to c ₁ , ..., c ₆ . chcemy przedstawić c ₂ , ..., c ₆ za pomocą a ₁ , a ₂ ic ₁ . _ Jeśli

{\ Displaystyle K = {\ sqrt {3 \ lewo (a_ {1 }a_{2}+a_{2}c_{1}+c_{1}a_{1}-\left({\frac {a_{1}+a_{2}+c_{1}+1}{2 }}\prawo)^{2}\prawo)}}}

Następnie,

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} c_ {2} & = (a_ {1} + a_ {2} + c_ {1} -1) / 2-K \\ c_ {3} & = (3a_ {1} +3a_{2}-c_{1}-3)/2-K\\c_{4}&=2a_{1}+2a_{2}-c_{1}-2\\c_{5}&=( 3a_{1}+3a_{2}-c_{1}-3)/2+K\\c_{6}&=(a_{1}+a_{2}+c_{1}-1)/2+ K.\end{wyrównane}}}

.

Wtedy do ₁ + do ₄ = do ₂ + do ₅ = do ₃ + do ₆ .

Jeżeli r ₁ , ..., r ₆ to średnice sześciu kul, to otrzymujemy wzór:

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {r_ {1}}} + {\ Frac {1} {r_ {4}}} = {\ Frac {1} {r_ {2}}} + {\ Frac {1 }{r_{5}}}={\frac {1}{r_{3}}}+{\frac {1}{r_{6}}}.}

Zobacz też

Notatki

Amano, Hiroshi (1992), Kolekcja Sangaku w prefekturze Kanagawa (po japońsku Kanagawa-ken Sangaku-syū) , Amano, Hiroshi .
Coxeter, HSM (1952), „Zazębione pierścienie sfer”, Scripta Mathematica , 18 : 113–121 .
Fukagawa, Hidetoshi; Rothman, Tony (2008), Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12745-3
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2000), „Pierre Charles François Dupin” , archiwum historii matematyki MacTutor .
Ogilvy, CS (1990), Wycieczki z geometrii , Dover, ISBN 0-486-26530-7 .
Soddy, Frederick (1937), „Miska liczb całkowitych i hekslet” , Nature , Londyn, 139 (3506): 77–79, doi : 10,1038 / 139077a0 .
Rothman, T (1998), „Japanese Temple Geometry”, Scientific American , 278 : 85–91, doi : 10.1038/scientificamerican0598-84 .
Yamaji, Katsunori; Nishida, Tomomi, wyd. (2009), Dictionary of Wasan (Wasan no Jiten po japońsku) , Asakura, ISBN 978-4-254-11122-4 .

Linki zewnętrzne

Weisstein, Eric W. „Hexlet” . MathWorld .
B. Allanson. „Animacja heksletu Soddy'ego” .
Japanese Temple Geometry at the Wayback Machine (archiwum 19 marca 2019 r.) – animacja 0 z SANGAKU PROBLEM 0 pokazuje przypadek, w którym promienie sfer A i B są sobie równe, a środki sfer A, B i C znajdują się na linia. Animacja 1 przedstawia przypadek, w którym promienie sfer A i B są sobie równe, a środki sfer A, B i C nie leżą na prostej. Animacja 2 pokazuje przypadek, w którym promienie sfer A i B nie są równe sobie. Animacja 3 przedstawia przypadek, w którym środki kul A, B i C leżą na prostej, a promienie kul A i B są zmienne.
Replika Sangaku w muzeum Hōtoku w Samukawa Shrine at the Wayback Machine (archiwum 26 sierpnia 2016 r.) - Trzeci problem dotyczy heksletu Soddy'ego.
Strona Kokonsankan (1832) - Wydział Matematyki Uniwersytetu w Kioto
Strona Kokonsankan (1832) - Lewa strona odnosi się do heksletu Soddy'ego.