IM 67118

Tabliczka gliniana, IM 67118, matematyczna, geometryczno-algebraiczna, podobna do twierdzenia Pitagorasa. Z Tell al-Dhabba'i, Irak. 2003-1595 pne. Muzeum Iraku

IM 67118 , znany również jako Db 2 -146 , to starobabilońska gliniana tabliczka w zbiorach Muzeum Narodowego w Iraku, która zawiera rozwiązanie problemu z geometrii płaszczyzny dotyczącego prostokąta o zadanym polu i przekątnej. W ostatniej części tekstu poprawność rozwiązania została udowodniona za pomocą twierdzenia Pitagorasa . Uważa się, że kroki rozwiązania reprezentują operacje geometrii wycinania i wklejania obejmujące diagram, z którego, jak sugerowano, starożytni mieszkańcy Mezopotamii mogli wcześniej wyprowadzić twierdzenie Pitagorasa.

Opis

Tabliczka została odkopana w 1962 roku w Tell edh-Dhiba'i , osadzie starobabilońskiej niedaleko współczesnego Bagdadu, która była kiedyś częścią królestwa Esznunna , i została opublikowana przez Taha Baqira w tym samym roku. Datuje się ją na około 1770 rok p.n.e. (według środkowej chronologii ), za panowania Ibal-pi-ela II , który rządził Esznunną w tym samym czasie, kiedy Hammurabi rządził Babilonem . Tabliczka ma wymiary 11,5×6,8×3,3 cm (4½" x 2¾" x 1¼"). Jej językiem jest akadyjski , zapisany w klinowe . Na awersie tabliczki znajduje się 19 wierszy tekstu, a na rewersie – sześć. Rewers zawiera również diagram składający się z prostokąta problemu i jednej z jego przekątnych. Wzdłuż tej przekątnej zapisana jest jej długość w notacji sześćdziesiętnej ; obszar prostokąta jest zapisany w obszarze trójkąta poniżej przekątnej.

Problem i jego rozwiązanie

We współczesnym języku matematycznym problem postawiony na tabliczce jest następujący: prostokąt ma pole A = 0,75 i przekątną c = 1,25. Jakie są długości a i b boków tego prostokąta?

Rozwiązanie można rozumieć jako przebiegające w dwóch etapach: w etapie 1 wynosi 0,25 Na etapie 2 do rozwiązania tego, co faktycznie jest układem równań b - a = 0,25, ab = 0,75, użyto dobrze sprawdzonej starobabilońskiej metody uzupełniania kwadratu. Z geometrycznego punktu widzenia jest to problem obliczania długości boków prostokąta, którego pole A i różnica długości boków b - a są znane, co było powracającym problemem w matematyce starobabilońskiej. W tym przypadku stwierdzono, że b = 1 i a = 0,75. Metoda rozwiązania sugeruje, że ktokolwiek wymyślił rozwiązanie, używał własności c 2 − 2 A = c 2 − 2 ab = ( b − a ) 2 . Należy jednak podkreślić, że współczesna notacja równań oraz praktyka przedstawiania parametrów i niewiadomych za pomocą liter były w starożytności niespotykane. Obecnie powszechnie przyjmuje się, że w wyniku obszernej analizy słownictwa matematyki starobabilońskiej przeprowadzonej przez Jensa Høyrupa, u podstaw procedur w tekstach takich jak IM 67118 leżał zestaw standardowych operacji geometrycznych typu „wytnij i wklej”, a nie algebra symboliczna .

Możliwa geometryczna podstawa rozwiązania IM 67118. Linie ciągłe na rysunku przedstawiają etap 1; linie przerywane i cieniowanie pokazują etap 2. Centralny kwadrat ma bok b − a . Jasnoszary region to gnomon obszaru A = ab . Ciemnoszary kwadrat (o boku ( b - a )/2) uzupełnia gnomon do kwadratu o boku ( b + a )/2. Dodawanie ( b − a )/2 do wymiaru poziomego ukończonego kwadratu i odjęcie go od wymiaru pionowego daje żądany prostokąt.

Ze słownika rozwiązania Høyrup wnioskuje, że c 2 , kwadrat przekątnej, należy rozumieć jako kwadrat geometryczny, z którego pole równe 2 A ma zostać „odcięte”, to znaczy usunięte, pozostawiając kwadrat o boku b − a . Høyrup sugeruje, że kwadrat na przekątnej został prawdopodobnie utworzony przez wykonanie czterech kopii prostokąta, z których każda została obrócona o 90 °, oraz że obszar 2 A był obszarem czterech trójkątów prostokątnych zawartych w kwadracie na przekątnej. Pozostała część to mały kwadrat pośrodku figury.

Procedura geometryczna obliczania długości boków prostokąta o zadanym polu A i różnicy długości boków b − a polegała na przekształceniu prostokąta w gnomon o polu A poprzez odcięcie prostokątnego kawałka o wymiarach a× ½ ( b − a ) i wklejamy ten kawałek na bok prostokąta. Gnomon został następnie uzupełniony do kwadratu przez dodanie mniejszego kwadratu o boku ½( b - a ) do tego. W tym problemie bok ukończonego kwadratu jest obliczany jako . Wielkość ½( b − a )=0,125 jest następnie dodawana do poziomego boku kwadratu i odejmowana od pionowego boku. Wynikowe segmenty linii są bokami żądanego prostokąta.

Jedną z trudności w rekonstrukcji starobabilońskich diagramów geometrycznych jest to, że znane tabliczki nigdy nie zawierają diagramów w rozwiązaniach - nawet w rozwiązaniach geometrycznych, w których wyraźne konstrukcje są opisane w tekście - chociaż diagramy są często włączane do formułowania problemów. Høyrup argumentuje, że geometria typu „wytnij i wklej” zostałaby wykonana w innym medium niż glina, być może w piasku lub na „liczniku pyłowym”, przynajmniej na wczesnych etapach szkolenia skryby, zanim rozwinęła się zdolność umysłowa z obliczeniami geometrycznymi .

Friberg opisuje kilka tabliczek zawierających rysunki „figur w figurach”, w tym MS 2192, w którym wstęga oddzielająca dwa koncentryczne trójkąty równoboczne jest podzielona na trzy trapezy. Pisze: „ Pomysł obliczenia pola trójkątnego pasma jako pola łańcucha trapezów jest wariacją na temat obliczania pola kwadratowego pasma jako pola łańcucha czterech prostokątów. Jest to prosty pomysł i jest prawdopodobne, że był znany matematykom starobabilońskim, chociaż nie znaleziono jeszcze żadnego tekstu matematycznego zapisanego pismem klinowym, w którym ten pomysł pojawia się w sposób wyraźny”. tekst IM 67118. Zaprasza on również do porównania z diagramem YBC 7329, na którym pokazane są dwa koncentryczne kwadraty.Wstęga oddzielająca kwadraty nie jest na tej tabliczce podzielona na cztery prostokąty, lecz liczbowa wartość pola jednego z obszar prostokątów pojawia się obok figury.

Sprawdzanie rozwiązania

Rozwiązanie b = 1, a = 0,75 zostało udowodnione przez obliczenie pól kwadratów o odpowiednich długościach boków, dodanie tych pól i obliczenie długości boku kwadratu z otrzymanym polem, czyli biorąc kwadrat źródło. Jest to zastosowanie twierdzenia Pitagorasa, a wynik zgadza się z podaną wartością, {2} = 1,25. To, że obszar jest również poprawny, jest weryfikowane przez obliczenie iloczynu, ab .

Tłumaczenie

Poniższe tłumaczenie pochodzi od Brittona, Prousta i Shnidera i jest oparte na tłumaczeniu Høyrupa, które z kolei opiera się na ręcznej kopii i transliteracji Baqira, z niewielkimi poprawkami. Babilońskie sześćdziesiętne są tłumaczone na zapis dziesiętny z cyframi o podstawie 60 oddzielonymi przecinkami. Stąd 1,15 oznacza 1 + 15/60 = 5/4 = 1,25. Zauważ, że w systemie babilońskim nie było „punktu sześćdziesiętnego”, więc ogólną potęgę mnożenia liczby przez 60 trzeba było wywnioskować z kontekstu. Tłumaczenie jest „konformalne”, co zgodnie z opisem Eleanor Robson , „obejmuje konsekwentne tłumaczenie babilońskich terminów technicznych z istniejącymi angielskimi słowami lub neologizmami, które odpowiadają oryginalnemu znaczeniu tak blisko, jak to możliwe”; zachowuje również akadyjski porządek słów. Matematyka starobabilońska używała różnych słów do mnożenia w zależności od kontekstu geometrycznego i podobnie w przypadku innych operacji arytmetycznych.

Awers

  1. Jeśli o (prostokąt z) przekątną, (ktoś) cię zapyta
  2. zatem 1,15 przekątna, 45 powierzchnia;
  3. długość i szerokość odpowiadają czemu? Ty, swoim postępowaniem,
  4. 1,15, twoja przekątna, jej odpowiednik położył:
  5. trzymaj je: wychodzi 1,33,45,
  6. 1,33,45 może (?) twoja (?) ręka trzyma (?)
  7. 45 twoja powierzchnia do dwóch przynosi: 1,30 wychodzi.
  8. Z 1,33,45 odciąć: 3,45 resztę.
  9. Równy bok 3,45 bierze: 15 wypada. Jego połowa,
  10. Wychodzi 7,30, podbicie do 7,30: wychodzi 56,15
  11. 56,15 twoja ręka. 45 Twoja powierzchnia nad dłonią,
  12. Wychodzi 45,56,15. Równy bok 45,56,15 to:
  13. 52,30 wychodzi, 52,30 jego odpowiednik leży,
  14. 7,30, które zatrzymałeś na jednym
  15. dołącz: od jednego
  16. odciąć. 1 twoja długość, 45 szerokość. Jeśli 1 długość,
  17. 45 szerokość, powierzchnia i przekątna odpowiadające czemu?
  18. (Ty przez twoje) wykonanie, długość trzymaj:
  19. (1 wychodzi ...) niech twoja głowa się trzyma.

Odwracać

  2. [...]: 45, szerokość, trzymać:
  3. Wychodzi 33,45. Do swojej długości dołącz:
  4. Wychodzi 1,33,45. Równy bok 1,33,45 to:
  5. wychodzi 1,15. 1,15 twoja przekątna. Twoja długość
  6. do podniesienia szerokości, 45 powierzchni.
  7. Stąd procedura.

Sformułowanie problemu podane jest w wierszach 1-3, etap 1 rozwiązania w wierszach 3-9, etap 2 rozwiązania w wierszach 9-16, weryfikacja rozwiązania w wierszach 16-24. Zauważ, że „1,15 twoja przekątna, jej odpowiednik połóż: trzymaj” oznacza utworzenie kwadratu poprzez ułożenie prostopadłych kopii przekątnej, „równy bok” to bok kwadratu lub pierwiastek kwadratowy z jego powierzchni , „niech trzymaj głowę” oznacza pamiętanie, a „twoja ręka” może odnosić się do „podkładki lub urządzenia do obliczeń”.

Stosunek do innych tekstów

Zadanie 2 na tabliczce MS 3971 w kolekcji Schøyen , opublikowanej przez Friberg, jest identyczne z problemem na IM 67118. Rozwiązanie jest bardzo podobne, ale polega na dodaniu 2 A do c 2 , zamiast go odejmować. Bok wynikowego kwadratu wynosi w tym przypadku b + a = 1,75. Układ równań b + a = 1,75, ab = 0,75 jest ponownie rozwiązywane przez uzupełnienie kwadratu. MS 3971 nie zawiera diagramu i nie przeprowadza etapu weryfikacji. Jego język jest „zwięzły” i używa wielu sumeryjskich logogramów w porównaniu z „rozwlekłym” IM 67118, który jest w sylabicznym języku akadyjskim. Friberg uważa, że ​​ten tekst pochodzi z Uruk w południowym Iraku i datuje go na rok 1795 pne.

Friberg zwraca uwagę, że podobny problem pojawia się w egipskim papirusie Demotic z III wieku pne, P. Cairo , problemy 34 i 35, opublikowanym przez Parkera w 1972 r. Friberg widzi również możliwy związek z wyjaśnieniem AA Vaimana dotyczącym wpisu w Starym Babilońska tablica stałych TMS 3, która brzmi: „57 36, stała šàr”. Vaiman zauważa, że ​​klinowy znak šàr przypomina łańcuch czterech trójkątów prostokątnych ułożonych w kwadracie, jak na proponowanej figurze. Pole takiego łańcucha wynosi 24/25 (równe 57 36 w systemie sześćdziesiętnym), jeśli przyjąć 3-4-5 trójkątów prostokątnych z przeciwprostokątną znormalizowaną do długości 1. Høyrup pisze, że problem IM 67118 „pojawia się, rozwiązany dokładnie w ten sam sposób w hebrajskim podręczniku z 1116 r. n.e.”.

Znaczenie

Chociaż problem w IM 67118 dotyczy określonego prostokąta, którego boki i przekątna tworzą przeskalowaną wersję trójkąta prostokątnego 3-4-5, język rozwiązania jest ogólny, zwykle określając funkcjonalną rolę każdej liczby tak, jak jest używany. W dalszej części tekstu pojawia się miejscami sformułowanie abstrakcyjne, nie odwołujące się do konkretnych wartości („długość trzymaj”, „Twoja długość do szerokości podnieś”). Høyrup widzi w tym „niewątpliwy ślad„ reguły Pitagorasa ”w abstrakcyjnym sformułowaniu”.

Sposób odkrycia reguły Pitagorasa jest nieznany, ale niektórzy uczeni widzą możliwą ścieżkę w metodzie rozwiązania zastosowanej na IM 67118. Obserwacja, że ​​odjęcie 2 A od c 2 daje ( b − a ) 2, wymaga jedynie powiększenia geometrycznego przegrupowania obszarów odpowiadających a 2 , b 2 i −2 A = −2 ab aby uzyskać dowód przegrupowania reguły, który jest dobrze znany w czasach nowożytnych i który jest również sugerowany w III wieku n.e. w komentarzu Zhao Shuanga do starożytnego chińskiego Zhoubi Suanjing ( Gnomon z Zhou ). Sformułowanie rozwiązania w MS 3971, problem 2, bez odjętych obszarów, zapewnia prawdopodobnie jeszcze prostsze wyprowadzenie.

Høyrup wysuwa hipotezę, opartą częściowo na podobieństwach między problemami słownymi, które pojawiają się ponownie w szerokim zakresie czasów i miejsc, oraz na języku i treści numerycznej takich problemów, że znaczna część starobabilońskiego materiału matematycznego została zaimportowana od praktycznego geodety tradycji, gdzie rozwiązywanie zagadek było traktowane jako odznaka umiejętności zawodowych. Høyrup uważa, że ​​ta kultura geodetów przetrwała upadek starobabilońskiej kultury skrybów, który był wynikiem podboju Mezopotamii przez Hetytów na początku XVI wieku pne, i że wpłynęła na matematykę starożytnej Grecji, Babilonu w okresie Seleucydów, imperium islamskiego i średniowiecznej Europy. Wśród problemów, które Høyrup przypisuje tej praktycznej tradycji geodetów, znajduje się szereg problemów prostokątnych wymagających uzupełnienia kwadratu, w tym problem IM 67118. Na tej podstawie, że nie są znane żadne odniesienia do reguły Pitagorasa z trzeciego tysiąclecia pne oraz że sformułowanie IM 67118 jest już przystosowany do kultury skrybów, pisze Høyrup: „ Sądząc na podstawie samych tych dowodów, jest zatem prawdopodobne, że reguła pitagorejska została odkryta w środowisku świeckich mierniczych, być może jako pochodna problemu omówionego w Księdze Rodzaju 2-146 , gdzieś między 2300 a 1825 pne. nazwany na cześć Pitagorasa , który urodził się około 570 r. p.n.e. i zmarł ok . . 495 r . p.n.e., został odkryty około 12 wieków przed jego narodzinami

Zobacz też

Notatki

  • Bakir, Taha (1962). „Powiedz Dhiba'i: Nowe teksty matematyczne”. Sumer . 18 : 11–14, pl. 1–3.
  • Bakir, Taha (2019). "P254557" . Inicjatywa Biblioteki Cyfrowej Pisma Klinowego . Źródło 6 sierpnia 2019 r .
  •   Britton, John P.; Proust, Krystyna ; Shnider, Steve (2011). „Plimpton 322: przegląd i inna perspektywa”. Archiwum Historii Nauk Ścisłych . 65 (5): 519–566. doi : 10.1007/s00407-011-0083-4 . S2CID 120417550 .
  •   Friberg, Jöran (2007), A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts: Manuscripts in the Schøyen Collection, Cuneiform Texts I , Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences , Berlin: Springer, ISBN 978-0-387-48977- 3
  •   Guthrie, William Keith Chambers (1978). Historia filozofii greckiej, tom 1: Wcześniejsi presokratycy i pitagorejczycy . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. P. 173. ISBN 978-0-521-29420-1 . Nie można dokładnie ustalić dat życia [Pitagorasa], ale zakładając przybliżoną poprawność stwierdzenia Arystoksenosa (ap. Porph. VP 9), że opuścił Samos, aby uciec przed tyranią Polikratesa w wieku czterdziestu lat, możemy umieścić jego narodziny około 570 rpne lub kilka lat wcześniej. W starożytności różnie oceniano długość jego życia, ale przyjmuje się, że dożył dość sędziwego wieku i najprawdopodobniej zmarł w wieku około siedemdziesięciu pięciu lub osiemdziesięciu lat.
  •   Hoyrup, Jens (1990). „Algebra i geometria naiwna: badanie niektórych podstawowych aspektów starobabilońskiej myśli matematycznej II”. Altorientalische Forschungen . 17 (1–2): 262–354. doi : 10.1524/aofo.1990.17.12.262 . S2CID 201669080 .
  • Hoyrup, Jens (1998). „Reguła” i „Twierdzenie” Pitagorasa - zwierciadło relacji między matematyką babilońską i grecką. W Renger, Johannes (red.). Babylon: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Internationales Colloquium der Deutschen Orient-Gesellschaft 24.–26. März 1998 w Berlinie (PDF) . Berlin: Deutsche Orient-Gesellschaft / Saarbrücken: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag. s. 393–407.
  •   Høyrup, Jens (2002). Długości, szerokości i powierzchnie. Portret starej algebry babilońskiej i jej krewnych . Źródła i studia z historii matematyki i nauk fizycznych. Skoczek. doi : 10.1007/978-1-4757-3685-4 . ISBN 978-1-4419-2945-7 .
  • Høyrup, Jens (2016). „Matematyka Seleucydów, Demotów i Śródziemnomorza a rozdziały VIII i IX z dziewięciu rozdziałów : przypadkowe czy znaczące podobieństwa?” (PDF) . Studia z historii nauk przyrodniczych . 35 (4): 463–476.
  •   Høyrup, Jens (2017). Algebra pismem klinowym: wprowadzenie do starobabilońskiej techniki geometrycznej . Wydanie Open Access. ISBN 978-3-945561-15-7 .
  •   Isma'el, Khalid Salim; Robson, Eleonora (2010). „Tabletki arytmetyczne z irackich wykopalisk w Diyala”. W Baker, HD; Robson, E.; Zólyomi, GG (red.). Twoja pochwała jest słodka: pamiątkowy tom dla Jeremy'ego Blacka od studentów, kolegów i przyjaciół . Londyn: Brytyjski Instytut Studiów nad Irakiem. s. 151–164. ISBN 978-0-903472-28-9 .
  • Robson, Eleonora (22 maja 2002). „Przegląd MAA: długości, szerokości, powierzchnie: portret starej algebry babilońskiej i jej pokrewnych ” . Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne.
  •   Werr, Lamia Al-Gailani (2005). „Rozdział 1: Narodziny muzeum” . W Polk, Milbry; Schuster, Angela MH (red.). Grabież Muzeum Iraku w Bagdadzie: zaginione dziedzictwo starożytnej Mezopotamii . Nowy Jork: Harry N. Abrams. s. 27 –33. ISBN 9780810958722 .

Linki zewnętrzne

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=IM_67118&oldid=1141792078 ”